WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 53 | 54 || 56 | 57 |   ...   | 76 |

3. Дополнительная проблема. Формальные математические методы нередко ведут дальше поставленных заранее целей. Так, если угол при вершине C больше 120, то вместо точки P (каковая совпадает на этот раз с точкой C) процедура геометрического построения дает другую точку P — ту, из которой наибольшая сторона треугольника AB видна под углом в 120, а две другие стороны под углом P в 60. Конечно, точка P не дает решения рассматриваемой проблемы, но можно C догадываться, что она имеет какое-то к ней отношеA B ние. Оказывается, в самом деле, что точка P решает Рис. 213. Дополнительная проблема следующую проблему: минимизировать выражение a + b - c. Доказательство, вполне аналогичное изложенному выше для случая выражения a + b + c и основанное на прямых результатах (§ 1, пункт 5), предоставляется в качестве упражнения читателю. Соединяя вместе полученные выводы, мы приходим к общей теореме.

Если все углы треугольника ABC меньше 120, то сумма a + b + c расстояний a, b, c некоторой точки от точек A, B, C (соответственно) обращается в минимум в точке P, из которой каждая из сторон видна под углом в 120, а выражение a + b - c обращается в минимум в вершине C; W если же один из углов, скажем C, больше 120, то a + b + c минимизируется в точке C, а a + b - c — в точ ке P, из которой две меньшие стороны треугольника видны под углом A в 60, а б — под углом в 120.

ольшая Таким образом, из двух мини- B P мальных проблем всегда одна решаP ется построением окружностей, решение другой дается одной из вершин. В случае, когда C = 120, U C V решения обеих проблем совпадают, Рис. 214. Другое доказательство так как точка, получаемая при геоправильности решения Штейнера метрическом построении, оказывается вершиной C.

§ 5 ПРОБЛЕМА ШТЕЙНЕРА 4. Замечания и упражнения. Из произвольной точки P, взятой внутри равностороннего треугольника UV W, опустим перпендикуляры P A, P B, P C на три стороны (рис. 214). Тогда точки A, B, C и P образуют как раз такую фигуру, как мы рассматривали выше. Это замечание может быть использовано при решении проблемы Штейнера:

достаточно, исходя из точек A, B, C, найти вершины равностороннего треугольника U, V, W.

Упражнения. 1) Выполните указанное построение, основываясь на том обстоятельстве, что сумма трех перпендикуляров, опущенных на стороны из произвольной точки P внутри равностороннего треугольника, постоянна, а именно, равна высоте треугольника.

2) Основываясь на аналогичном обстоятельстве в случае, когда P находится вне UV W, исследуйте дополнительную проблему.

В трехмерном пространстве можно рассмотреть проблему, подобную штейнеровской: по заданным четырем точкам A, B, C, D найти такую пятую точку P, чтобы сумма a + b + c + d обращалась в минимум.

* Упражнение. Исследуйте эту трехмерную проблему и дополнительную к ней методами § 1 или же пользуясь правильным тетраэдром.

5. Обобщение: проблема уличной сети. В проблеме Штейнера были заданы три точки A, B, C. Было бы естественно обобщить эту проблему на случай n заданных точек A1, A2,..., An следующим образом: требуется найти в плоскости такую точку P, чтобы сумма расстояний a1 + a2 +... + an (где ai обозначает расстояние P Ai) обращалась в минимум. (В случае четырех точек, расположенных так, как показано на рис. 215, в качестве P нужно взять точку пересечения диагоналей Aчетырехугольника A1A2A3A4; пусть AP читатель проверит это в качестве упражнения.) Эта обобщенная проAблема, также изученная Штейнером, Aне ведет к интересным результатам.

Рис. 215. Минимум суммы расстоВ данном случае мы имеем дело с пояний до четырех точек верхностным обобщением, подобных которому немало встречается в математической литературе. Чтобы получить действительно достойное внимания обобщение проблемы Штейнера, приходится отказаться от поисков одной-единственной точки P.

Вместо того поставим задачей построить «уличную сеть» или «сеть дорог между данными деревнями», обладающую минимальной общей длиной. Точнее, даны n точек A1, A2,..., An; требуется найти такую связную систему прямолинейных отрезков, чтобы: 1) любые две из данных точек могли быть связаны ломаной линией, стороны которой входили бы в состав системы, 2) общая длина всей системы была наи388 МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ гл. VII меньшей.Решение этой задачи имеет тот или иной вид в зависимости от расположения данных точек. Читатель с пользой сможет заняться более внимательным рассмотрением этого вопроса, исходя из проблемы Штейнера. Мы ограничимся здесь указанием результатов в типических примерах, изображенных на рис. 216–218. В первом примере решение дается системой из пяти отрезков с двумя «кратными точками», в которых сходятся по три сегмента, образуя между собой углы в 120. Во втором примере число кратных точек равно трем. При некоторых иных расположениях данных точек указанные фигуры не получаются: возможны случаи «вырождения», когда какая-нибудь одна из данных точек (или несколько таких точек) становится сама «кратной точкой» сети — таков третий из приведенных примеров.



AAAA4 AAAAAAA3 A3 AРис. 216–218. Кратчайшая система путей, соединяющих данные точки Если число данных точек равно n, то всего будет не более n - кратных точек, в которых сходятся по три отрезка, образуя углы в 120.

Решение проблемы не всегда единственно. Так, если четыре данные точки расположены в вершинах квадрата, то возникают два эквивалентных решения (рис. 219, 220). Если точки A1, A2,..., An являются вершинами ломаной линии с углами при вершинах, достаточно близкими к 180, то сама ломаная является решением.

§ 6. Экстремумы и неравенства Одной из характерных черт высших разделов математики является та выдающаяся роль, которую в них играют неравенства. В сущности, любая максимальная проблема всегда приводит к неравенству, выражающему тот факт, что рассматриваемая переменная величина не превышает некоторого максимального значения, доставляемого решением этой Выработка общих методов для решения прикладных задач типа описанной составила в последние годы предмет так называемого линейного программирования;

см., например, [60]. — Прим. ред.

§ 6 ЭКСТРЕМУМЫ И НЕРАВЕНСТВА проблемы. Во многих случаях получаемые таким образом неравенства заслуживают внимания и независимо от экстремальной проблемы, к ним приводящей. В качестве примера мы рассмотрим сейчас важное неравенство, связывающее арифметическое и геометрическое средние.

1. Среднее арифметическое и среднее геометрическое двух положительных величин. Займемся прежде всего очень простой максимальной проблемой, с которой часто приходится встречаться и в самой математике, и в ее приложениях. В геометрической формулировке проблема эта заключается в следующем: среди всех прямоугольников с наперед заданным периметром найти тот, который имеет наибольшую площадь. Решением, как нетрудно догадаться, является квадрат. Доказать это можно следующим рассуждением. Пусть заданный периметр равен 2a. Тогда сумма x + y длин двух прилежащих сторон прямоугольника x и y равна постоянной величине a, а в максимум следует обратить произведение xy. «Среднее арифметическое» величин x и y есть не что иное, как выражение x + y m =.

Введем еще величину x - y d =, причем получатся соотношения x = m + d, y = m - d;

из них вытекает, что x + y xy = (m + d)(m - d) = m2 - d2 = - d2.

Так как d2 не может быть отрицательно, а обращается в нуль только при x = y, то мы немедленно приходим к неравенству x + y xy, (1) причем знак равенства здесь возможен только при d = 0, т. е. при x = y.

Рис. 219–220. Кратчайшие системы путей, соединяющие вершины квадрата 390 МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ гл. VII Так как x + y имеет постоянное значение a, то отсюда следует, что выражение xy, а значит, и интересующая нас площадь xy принимают наибольшие возможное значение при x = y. Выражение g = xy, где радикал взят в арифметическом смысле — со знаком +,— называется «средним геометрическим» положительных величин x и y; неравенство (1) выражает основное соотношение между средними арифметическим и геометрическим.

Неравенство (1) вытекает также непосредственно из того факта, что выражение ( x - y)2 = x + y - 2 xy, будучи точным квадратом, не может быть отрицательным и обращается в нуль только при x = y.

Вот еще геометрический вывод того же неравенства. Рассмотрим в плоскости x, y неподвижную прямую линию x + y = 2m и вместе с ней семейство кривых (гипербол) xy = y c, причем c постоянно для каждой кривой, но меняется при переходе от одной кривой к другой. Из рис. 221 ясно, что кривой, имеющей хоть одну общую точку с нашей прямой линией и соответствующей наибольшему значению c, является та гипербола, которая касается прямой в точке x = y = m;

для этой гиперболы, следовательно, c = m2. Итак, x O x + y xy.

x Следует заметить, что всякое неравенство вида f(x, y) g(x, y) Рис. 221. Минимум xy при заданном можно прочесть двумя способами, значении x + y и потому оно порождает как максимальное, так и минимальное свойства.

Например, неравенство (1) выражает также тот факт, что среди всех прямоугольников с данной площадью именно квадрат имеет наименьший периметр.

2. Обобщение на случай n переменных. Неравенство (1), связывающее средние арифметическое и геометрическое двух положительных величин, может быть обобщено на любое число n положительных величин, которые мы будем обозначать x1, x2, x3,..., xn. Средним арифметическим этих величин называют выражение x1 + x2 +... + xn m =, n § 6 ЭКСТРЕМУМЫ И НЕРАВЕНСТВА а средним геометрическим — выражение n g = x1x2... xn, причем имеется в виду всегда положительное значение радикала. Общая теорема утверждает, что g m (2) и что равенство g = m возможно только в том случае, если все величины xi равны между собой.





Было предложено много различных остроумных доказательств этого общего результата. Простейший метод заключается в применении того же простого рассуждения, которое мы провели в пункте 1. Перед нами стоит проблема: разбить данное положительное число C на n положительных слагаемых, C = x1 + x2 +... + xn, таким образом, чтобы произведение P = x1x2... xn было возможно большим. Мы будем исходить из допущения, на первый взгляд очевидного, но мы позднее будем иметь случай его проанализировать (§ 7), что наибольшее значение P существует и достигается, скажем, при значениях x1 = a1, x2 = a2,..., xn = an. Нам достаточно установить, что a1 = a2 =... = an, ибо в этом случае g = m. Допустим, что это не так: пусть, например, a1 = a2. Тогда рассмотрим значения x1 = s, x2 = s, x3 = a3,..., xn = an, где a1 + as =.

Другими словами, мы заменим прежнюю систему значений величин xi новой системой, которая отличается от прежней лишь тем, что значения двух первых величин x1 и x2 сделаны равными между собой, причем общая сумма C остается неизменной. Мы можем написать a1 = s + d, a2 = s - d, где положено a1 - ad =.

Новое произведение равно P = s2 · a3... an, тогда как прежнее произведение было P = (s + d)(s - d) · a3... an = (s2 - d2) · a3... an.

Отсюда ясно, что при d = P < P, а это противоречит сделанному допущению, что произведение P имеет максимальное значение. Итак, d = 0, и тогда a1 = a2. Таким же образом 392 МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ гл. VII доказывается, что a1 = ai, где ai обозначает любое из чисел a; отсюда следует, что все числа a равны между собой. Мы убедились в том, что 1) g = m, если все числа xi равны между собой, 2) наибольшее значение g получается только тогда, когда все числа xi равны между собой. Отсюда можно заключить, что во всех прочих случаях g < m. Теорема доказана.

3. Метод наименьших квадратов. Среднее арифметическое n чисел x1, x2,..., xn (которые здесь нет необходимости считать обязательно положительными) обладает замечательным минимальным свойством. Пусть u — числовое значение некоторой неизвестной величины, которое мы хотим определить насколько возможно точнее с помощью какого-то измерительного инструмента. Пусть произведено для этой цели n измерений, которые дали результаты x1, x2,..., xn, слегка различающиеся между собой, что обусловливается неизбежными и зависящими от разных причин измерительными ошибками. Возникает вопрос: какое же значение следует приписать величине u в качестве заслуживающего наибольшего доверия В качестве «истинного» или «оптимального» значения принято выбирать среднее арифметическое x1 + x2 +... + xn m =.

n Дать подлинное обоснование указанной процедуре было бы невозможно, не углубляясь в пространные рассуждения, относящиеся к области теории вероятностей. Все же мы можем здесь отметить некоторое минимальное свойство средней арифметической m, которое до некоторой степени оправдывает ее выбор. Пусть u — какое угодно числовое значение измеряемой величины. Тогда разности u - x1, u - x2,..., u - xn представляют собой отклонения этой величины от результатов отдельных наблюдений. Эти отклонения могут быть частью положительными, частью отрицательными, и совершенно естественно стремиться к такому оптимальному выбору u, при котором «тотальное» (в каком-то смысле) отклонение было бы возможно меньше. Следуя Гауссу, берут обыкновенно в качестве «измерителей неточности» не сами отклонения, а их квадраты (u - xi)2 и затем выбирают оптимальное значение u с таким расчетом, чтобы минимизировать «тотальное» отклонение, под каковым понимают сумму квадратов отдельных отклонений (u - x1)2 + (u - x2)2 +... + (u - xn)2.

Определенное таким образом оптимальное значение u есть не что иное, как среднее арифметическое m: в этом заключается исходное положение знаменитого «метода наименьших квадратов», созданного Гауссом. Мы постараемся возможно проще доказать это утверждение. Если мы напишем (u - xi) = (m - xi) + (u - m), § 6 ЭКСТРЕМУМЫ И НЕРАВЕНСТВА то получим (u - xi)2 = (m - xi)2 + (u - m)2 + 2(m - xi)(u - m).

Сложим, далее, все такие равенства, полагая i = 1, 2,..., n. Последний член при этом дает 2(u - m)(nm - x1 -... - xn), а это выражение по определению m равно нулю. Следовательно, мы получаем:

(u - x1)2 + (u - x2)2 +... + (u - xn)2 = = (m - x1)2 + (m - x2)2 +... + (m - xn)2 + n(u - m)2.

Отсюда уже ясно, что (u - x1)2 + (u - x2)2 +... + (u - xn) (m - x1)2 + (m - x2)2 +... + (m - xn)2, причем знак равенства возможен только при u = m. Как раз это самое мы и собирались доказать.

Pages:     | 1 |   ...   | 53 | 54 || 56 | 57 |   ...   | 76 |





© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.