WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 52 | 53 || 55 | 56 |   ...   | 76 |

QL + QM = QP + P N + QR + RN = QP + P R + RQ = p. Но раньше было показано, что 2QB > QL + QM. Итак, p меньше, чем удвоенная высота QB. Это же рассуждение может быть применено и к каждой из двух других высот. Таким образом, минимальное свойство высотного треугольника доказано полностью.

§ 4 ТРЕУГОЛЬНИК ШВАРЦА Между прочим, приведенное построение позволяет непосредственно вычислить p. Мы знаем, что углы P QC и RQA равны углу B, так что P QB = RQB = 90 - B и cos P QB = sin B. Отсюда следует, с помощью элементарных тригонометрических соображений, что QM = QL = QB sin B, и p = 2QB sin B. Таким же образом можно показать, что p = 2P A sin A = 2RC sin C.

Из тригонометрии известно, что RC = a sin B = b sin A и т. д., откуда следует: p = 2a sin B sin C = 2b sin C sin A = 2c sin A sin B. И наконец, вводя радиус описанного круга r и принимая во внимание, что a = 2r sin A, b = 2r sin B, c = 2r sin C, мы получим симметрическую формулу p = 4r sin A sin B sin C.

3. Тупоугольные треугольники. В обоих предшествующих доказательствах предполагалось, что все три угла A, B, C острые. Если бы, скажем, угол C был тупой (рис. 202), то точки P и Q лежали бы вне треугольника. Поэтому, строго говоря, высотный треугольник уже нельзя было бы считать вписанным в данный, если только мы не условимся заранее называть вписанным такой треугольник, вершины которого лежат на сторонах данного треугольника или на их продолжениях. Как бы то ни было, высотный треугольник в расширенном смысле не обла- Q дает минимальным периметром, P так как P R > CR, QR > CR, C и, значит, p = P R + QR + P Q > > 2CR. Так как рассуждение в первой части последнего доказательства показывает, что миниA R B мальный периметр — если только он не дается высотным треРис. 202. Высотный треугольник в туугольником — должен быть рапоугольном треугольнике вен одной из удвоенных высот, то отсюда легко заключить, что в случае тупоугольного треугольника «вписанный треугольник» с наименьшим периметром есть не что иное, как высота, опущенная из вершины тупого угла, учитываемая в обоих направлениях; хотя треугольника в собственном смысле здесь и нет, однако можно все же указать настоящие вписанные треугольники, периметры которых как угодно мало отличаются от удвоенной высоты.

В промежуточном случае, когда данный треугольник прямоугольный, оба решения (высотный треугольник и удвоенная высота, опущенная из прямого угла) совпадают.

Не лишен интереса вопрос о том, не обладают ли каким-нибудь экстремальным свойством высотные треугольники данных тупоугольных треугольников. Не имея возможности подробно рассматривать этот вопрос, отметим лишь, что такие высотные треугольники не обращают в минимум сумму сторон p + q + r, но зато обеспечивают стационар380 МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ гл. VII ное значение типа минимакса для выражения вида p + q - r, где r — та сторона вписанного (в расширенном смысле) треугольника, которая соответствует тупому углу.

4. Треугольники, образованные световыми лучами. Если допустим, что треугольник ABC изображает комнату с зеркальными стенами, то высотный треугольник определяет единственный треугольный контур, который может быть образован световым лучом. Другие замкнутые многоугольные контуры также не исключены, как показывает рис. 203, но высотный треугольник имеет три стороны.

Обобщим рассматриваемую проблему и спросим себя о возможных «световых треугольниках» в произвольной области, ограниченной одной или несколькими гладкими кривыми; точнее говоря, нас интересуют треугольники, вершины котоРис. 203. Замкнутый световой рых лежат на заданных кривых, а каждые путь в треугольном зеркале две прилежащие стороны образуют равные углы с соответствующей кривой. Мы видели в § 1, что равенство углов является необходимым условием как для максимума, так и для минимума суммы соответствующих сторон, так что, смотря по обстоятельствам, могут возникать различные типы световых треугольников. Так, рассматривая внутренность единственной замкнутой гладкой кривой C, мы можем сказать, что вписанный треугольник максимального периметра должен быть «световым треугольником», обладающим вышеописанными свойствами. Или предположим еще, что каждая из вершин треугольника ABC имеет право находиться на ей соответствующей одной из трех замкнутых гладких кривых (идея Марстона Морса). Тогда световые треугольники характеризуются тем свойством, что их периметры имеют стационарные значения. Но такого рода значение может быть минимальным по отношению ко всем трем вершинам A, B, C; или может быть минимальным по отношению к двум каким-либо вершинам и максимальным по отношению к третьей, или минимальным по отношению к одной какой-нибудь из трех и максимальным относительно двух других; или, наконец, максимальным относительно всех трех. Всего, таким образом, существует по меньшей мере 23 = 8 типов световых треугольников, так как по отношению к каждой из вершин, и притом независимо, возможен максимум или минимум.

*5. Замечания, касающиеся задач на отражение и эргодическое движение. В динамике и в оптике представляется задачей первостепенной важности дать описание пути или «траектории» части§ 4 ТРЕУГОЛЬНИК ШВАРЦА цы или светового луча в пространстве на протяжении неограниченного промежутка времени. Предполагая, что то или иное приспособление физически принуждает частицу или луч оставаться в некоторой ограниченной части пространства, особенно интересно установить, заполняет ли траектория в пределе эту часть пространства повсюду с приблизительно одинаковой «плотностью». Траектория, обладающая таким свойством, называется эргодической. Допущение существования эргодической траектории является исходной гипотезой для применения статистических методов в современных динамических и атомных теориях. Но известно лишь очень немного ситуаций, при которых может быть проведено строгое математическое доказательство «эргодической гипотезы».

Рис. 204–207. Четыре типа световых треугольников между тремя кругами Простейшие примеры относятся к случаю, когда движение происходит на плоскости внутри замкнутой кривой C, причем предполагается, что «стенка» C представляет собой математически совершенное зеркало, отражающее частицу (в остальном — свободную) под тем же углом, под каким она падает на стенку. Так, например, прямоугольный ящик — идеализированный бильярдный стол с совершенным отражением, причем рассматриваемая частица играет роль бильярдного шара, — обеспечивает, вообще говоря, эргодическое движение: идеальный «бильярдный шар» на протяжении бесконечного промежутка времени побывает в окрестности любой наперед заданной точки, если только исключить некоторые особые начальные положения и направления движения. Мы не приводим здесь доказательства, впрочем, не представляющего труд382 МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ гл. VII ностей принципиального порядка.

Особенно любопытно движение на эллиптическом столе с фокусами F1 и F2. Так как касательная к эллипсу образует одинаковые углы с отрезками, проведенными из фокусов в точку касания, то каждая траектория, проходящая через один из фокусов, дает отражение, проходящее через другой фокус, и т. д. Нетрудно усмотреть, что после n отражений, независимо от начального положения, траектория при n, неограниченно возрастающем, будет приближаться к большой оси F1F2. Если начальный луч не проходит через фокус, то возникают две возможности. Или начальный луч проходит между фокусами: тогда все отраженные траектории будут проходить между фокусами, причем будут касательными к некоторой гиперболе с теми же фокусами F1 и F2. Или же начальный луч не разделяет фокусов: тогда этим же свойством будут обладать все отраженные лучи, причем все они будут касаться некоторого эллипса с теми же фокусами F1 и F2. Таким образом, движение внутри эллипса ни при каких начальных условиях не оказывается эргодическим.

Упражнения. 1) Докажите, что если начальный луч проходит через какой-нибудь фокус эллипса, то его n-е отражение при неограниченном возрастании n стремится к большой оси.

2) Докажите, что если начальный луч проходит между фокусами эллипса, то этим же свойством обладают все отраженные лучи, и все они касательны к некоторой гиперболе с фокусами F1 и F2; точно так же, если начальный луч не проходит между фокусами, то этим же свойством обладают все отраженные лучи, и все они касательны к некоторому эллипсу с фокусами Fи F2. (Указание: установите, что до отражения и после отражения в точке R луч образует соответственно одинаковые углы с отрезками RF1 и RF2, потом докажите, что софокусные конические сечения характеризуются отмеченным обстоятельством.) § 5. Проблема Штейнера 1. Проблема и ее решение. Очень простая и вместе с тем поучительная проблема была изучена в начале прошлого столетия знаменитым берлинским геометром Якобом Штейнером. Требуется соединить три деревни A, B, C системой дорог таким образом, чтобы их общая протяженность была минимальной. В более точной математической формулировке: на плоскости даны три точки A, B, C; требуется найти такую четвертую точку P, чтобы сумма a + b + c (где a, b, c — расстояния P соответственно от A, B, C) обратилась в минимум. Решение проблемы таково: если в треугольнике ABC все углы меньше 120, то в качестве точки P следует взять ту, из которой все три стороны AB, BC, CA видны под углом в 120; если же один из углов треугольника ABC, например C, больше или равен 120, то точку P нужно совместить с вершиной C.

§ 5 ПРОБЛЕМА ШТЕЙНЕРА Обосновать этот результат не представляет труда, если воспользоваться решением уже рассмотренных экстремальных задач. Предположим, что P есть искомая точка. Возможны две альтернативы: или точка P совпадает с одной из вершин A, B, C, или P отлична от всех трех вершин. В первом случае очевидно, что P должна быть вершиной именно самого большого угла C в треугольнике ABC, так как сумма CA + CB меньше, чем сумма каких-нибудь двух других сторон треугольника ABC. Что- B бы исчерпать вопрос, остается проанализировать второй возможный случай.

Пусть K — окружность с центром C P и радиусом c. Тогда точка P должна A быть расположена на K таким образом, что P A + P B обращается в минимум. Если обе точки A и B вне K (как на рис. 209), то на основании § C отрезки P A и P B должны образовывать одинаковые углы с окружностью K Рис. 208. Проблема Штейнера:

и, следовательно, с радиусом P C, ко- P A + P B + P C = minimum торый перпендикулярен к K. Так как это рассуждение можно повторить относительно окружности с центром A и радиусом a, то отсюда следует, что все углы, образованные отрезками P A, P B, P C, равны между собой и, значит, каждый из них равен 120, как и было сказано выше. Наше доказательство было построено на допущении, что обе точки A и B находятся вне круга K;

докажем, что иначе быть не может.

B Пусть хотя бы одна из точек A, B, например A, находится внутри окружности K или на ней самой. Тогда AC c; так как, с другой стороны, A при любом расположении точек A, P B, P сумма a + b AB, то a + b + c AB + AC. Это последнее неравенство C показывает, что наименьшее возможное значение суммы a + b + c получилось бы, если бы P совпадало с A, K что противоречит сделанному допуРис. 209. К проблеме Штейнера щению, что P отлично от A, B, C. Таким образом, доказано, что точки A и B находятся вне круга K. Точно таким же образом доказывается, что точки B, C находятся вне круга с центром A и радиусом a, а точки A, C — вне круга с центром B и радиусом b.

384 МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ гл. VII 2. Анализ возникающих возможностей. Чтобы установить, которая именно из двух возможностей имеет место, нам придется обратиться к построению точки P. Для нахождения точки P, из которой две стороны треугольника, например AC и BC, видны под углом в 120, достаточно через точки A, C провести такую окружность K1, у которой меньшая из дуг AC содержала бы 120, и через точки B, C провести окружность K2, обладающую таким же свойством; затем взять точку пересечения двух дуг, содержащих по 120, если только эти дуги действительно пересекаются. Из точки P, найденной таким образом, сторона AB непременно также будет видна под углом в 120, так как сумма трех углов с вершиной P равна 360.

Из рис. 210 видно, что если все три угла треугольника ABC меньше 120, то две упомянутые дуги непременно пересекутся внутри треугольника. С другой стороны, если один из углов треугольника ABC, например C, больше чем 120, то дуги, о которых идет речь, не пересекутся (рис. 211). В этом случае не существует точки P, из которой каждая из трех сторон ABC была бы видна под углом в 120: окружности K1 и K пересекаются в точке P, из которой стороны AC и BC видны под углом в 60, и только одна сторона AB, противолежащая тупому углу, видна под углом в 120.

Если один из углов треугольника больше 120, то, как мы только что видели, нет такой точки P, из которой каждая из сторон видна под углом в 120; значит, искомая точка (в которой достигается минимум) должна совпадать с одной из вершин (так как это на основании § 1 — единственная иная возможность), а именно, с вершиной тупого угла.

Если же у треугольника все углы меньше 120, тогда, как мы видели, точку P, из которой все стороны видны под углом в 120, можно построить. Но, чтобы доказательство было закончено, нужно еще доказать, что для такой точки P сумма a + b + c меньше, чем для любой из вершин треугольника (так как еще покамест неизвестно, которая из двух возможностей в рассматриваемом случае имеет место). Итак, докажем, например, что a + b + c меньше, чем AB + AC (рис. 212). С этой целью продолжим отрезок BP и спроектируем точку A на полученную прямую;

пусть найденная проекция есть D. Так как, очевидно, AP D = 60, то длина проекции P D равна a. Так как BD есть проекция AB на пря1 мую BP, то, значит, BD < AB. Но BD = b + a; поэтому b + a < AB.

2 Совершенно таким же образом, проектируя A на продолжение отрезка P C, мы убеждаемся, что c + a < AC. Складывая два последних неравенства, получаем: a + b + c < AB + AC. Итак, искомая точка не может находиться в вершине A. Так как, аналогично, она не может § 5 ПРОБЛЕМА ШТЕЙНЕРА C P B A P C A B A E D P C B Рис. 210–212. К анализу различных возможностей в проблеме Штейнера 386 МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ гл. VII находиться также в вершинах B или C, то, следовательно, найденная точка P, из которой стороны видны под углом в 120, решает задачу.

Pages:     | 1 |   ...   | 52 | 53 || 55 | 56 |   ...   | 76 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.