WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 51 | 52 || 54 | 55 |   ...   | 76 |

Мы всегда можем представлять себе функцию f(x, y) как высоту z поверхности над плоскостью x, y, и эту картину будем интерпретировать, скажем, как горный ландшафт. Максимум функции f(x, y) соответствует горной вершине, минимум — дну ямы или озера. В обоих случаях, если только поверхность гладкая, касательная плоскость к поверхности обязательно горизонтальна. Но, помимо вершин гор и самых низких точек в ямах, могут существовать и иные точки, в которых касательная плоскость горизонтальна: это «седловые» точки, соответствующие горным перевалам. Исследуем их более внимательно. Предположим (рис. 192), что имеются две вершины A и B в горном хребте и две точки C и D на различных склонах хребта; предположим, что из C нам нужно пройти в D. Рассмотрим сначала те пути, ведущие из C в D, которые получаются при пересечении поверхности плоскостями, проходящими через C и D. Каждый такой путь имеет самую высокую точку. При изменении положения секущей плоскости меняется и путь, и можно будет найти такой путь, для которого наивысшая точка будет в 372 МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ гл. VII самом низком из возможных положений. Наивысшей точкой E на этом пути является точка горного перевала в нашем ландшафте; ее можно назвать также седловой точкой. Ясно, что в точке E нет ни максимума, ни минимума, так как сколь угодно близко к E существуют на поверхности такие точки, которые выше E, и такие, которые ниже E. Можно было бы в предыдущем рассуждении и не ограничиваться рассмотрением только тех путей, которые возникают при пересечении поверхности плоскостями, а рассматривать какие угодно пути, соединяющие C и D.

Характеристика, данная нами точке E, от этого бы не изменилась.

D A B E A B E D C C Рис. 192. Горный перевал Рис. 193. Соответствующая карта с линиями уровня Точно так же, если бы мы пожелали от вершины A пройти к вершине B, то всякий путь, который мы могли бы выбрать, имел бы самую низкую точку; рассматривая хотя бы только плоские сечения, мы нашли бы такой путь AB, для которого наименьшая точка была бы расположена наиболее высоко, причем получилась бы опять прежняя точка E.

Таким образом, эта седловая точка E обладает свойством доставлять самый высокий минимум или самый низкий максимум: здесь имеет место «максиминимум» или «минимаксимум» — сокращенно минимакс. Касательная плоскость в точке E горизонтальна; действительно, так как E — наинизшая точка пути AB, то касательная к AB в E горизонтальна, и аналогично, так как E — наивысшая точка пути CD, то и касательная к CD в E горизонтальна. Поэтому касательная плоскость, обязательно проходящая через эти две касательные прямые, горизонтальна. Итак, мы обнаруживаем три различных типа точек с горизонтальными касательными плоскостями: точки максимума, точки минимума и, наконец, седловые точки; соответственно существует и три различных типа стационарных значений функции.

Другой способ представлять геометрически функцию f(x, y) заключается в вычерчивании линий уровня — тех самых, которые употребляются в картографии для обозначения высот на местности (см. стр. 308).

Линией уровня называется такая кривая в плоскости x, y, вдоль которой функция f(x, y) имеет одно и то же значение; другими словами, линии уровня — то же, что и кривые семейства f(x, y) = c. Через обыкновенную § 3 СТАЦИОНАРНЫЕ ТОЧКИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ точку плоскости проходит в точности одна линия уровня; точки максимума и минимума бывают окружены замкнутыми линиями уровня, в седловых точках пересекаются две (или более) линии уровня. На рис. проведены линии уровня, соответствующие ландшафту, изображенному на рис. 192.

При этом особенно наглядным становится замечательное свойство седловой точки E: всякий путь, связывающий A и B и не проходящий через E, частично лежит в области, где f(x, y) < f(E), тогда как путь AEB на рис. 192 имеет минимум как раз в точке E. Таким же образом мы убеждаемся, что значение f(x, y) в точке E представляет собой наименьший максимум на путях, связывающих C и D.

3. Точки минимакса и топология. Существует глубокая связь между общей теорией стационарных точек и топологическими идеями.

По этому поводу мы можем здесь дать только краткое указание и ограничимся рассмотрением одного примера.

Рассмотрим горный ландшафт на кольцеобразном острове B с двумя береговыми контурами C и C ; если обозначим, как раньше, высоту над уровнем моря через u = f(x, y), причем допустим, что f(x, y) = 0 на контурах C и C и f(x, y) > внутри, то на острове должен существовать по меньшей мере один горный перевал: на рис. 194 такой перевал находится в точке, где пересекаются C две линии уровня. Справедливость высказанного утверждения становится наглядной, если мы поставим своей задачей C найти такой путь, соединяющий C и C, который не поднимался бы на б высоольшую Рис. 194. Стационарные точки в двусвязту, чем это неизбежно. Каждый ной области путь от C к C имеет наивысшую точку, и если мы выберем такой путь, для которого наивысшая точка оказывается самой низкой, то полученная таким образом наивысшая точка и будет седловой точкой функции u = f(x, y). (Следует оговорить представляющий исключение тривиальный случай, когда некоторая горизонтальная плоскость касается кольцеобразного горного хребта по замкнутой кривой.) В случае области, ограниченной p замкнутыми кривыми, вообще говоря, должно существовать не менее чем p - 1 точек минимакса. Подобного же рода соотношения, как установил Марстон Морc, имеют место и для многомерных областей, 374 МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ гл. VII но разнообразие топологических возможностей и типов стационарных точек в этом случае значительно большее. Эти соотношения образуют основу современной теории стационарных точек.

4. Расстояние точки от поверхности. Для расстояний точки P от различных точек замкнутой кривой существуют (по меньшей мере) два стационарных значения: минимальное и максимальное. При переходе к трем измерениям не обнаруживается никаких новых фактов, если мы ограничимся рассмотрением такой поверхности C, которая топологически эквивалентна сфере (как, например, эллипсоид). Но если поверхность рода 1 или более высокого, то дело обстоит иначе. Рассмотрим поверхность тора C. Какова бы ни была точка P, всегда, конечно, существуют на торе C точки, дающие наибольшее и наименьшее расстояние от P, причем соответствующие отрезки перпендикулярны к самой поверхности. Но мы сейчас установим, что в этом случае существуют и точки минимакса. Вообразим на торе один из «меридианных» кругов L (рис. 195) и на этом круге L найдем точку Q, ближайшую к P. Затем, перемещая круг L по тору, найдем такое его положение, чтобы расстояние P Q стало: а) минимальным — тогда получается точка на C, ближайшая к P ; б) максимальным — тогда получится стационарная точка минимакса. Таким же образом мы могли бы найти на L точку, наиболее удаленную от P, и затем искать положение L, при котором найденное наибольшее расстояние было бы: в) максимальным (получится точка на C, наиболее удаленная от P ), г) минимальным. Итак, мы получим четыре различных стационарных значения для расстояния точки тора C от точки P.

Рис. 195–196. Расстояние от точки до поверхности Упражнение. Повторите то же рассуждение для иного типа L замкнутой кривой на C, которая также не может быть стянута в точку (рис. 196).

§ 4 ТРЕУГОЛЬНИК ШВАРЦА § 4. Треугольник Шварца 1. Доказательство, предложенное Шварцем. Герман Амандус Шварц (1843–1921), выдающийся математик, профессор Берлинского университета, сделал многое для развития современной теории функций и анализа. Он не считал ниже своего достоинства писать на темы элементарного содержания, и одна из его работ посвящена следующей задаче:

в данный остроугольный треугольник вписать другой треугольник с минимальным периметром. (Говоря, что некоторый треугольник вписан в данный, мы подразумеваем, что на каждой из сторон данного треугольника имеется вершина рассматриваемого треугольника.) Мы убедимся в дальнейшем, что существует только один искомый треугольник: именно, его вершинами являются основания высот данного треугольника. Такой треугольник условимся называть высотным треугольником.

Шварц доказал минимальное свойство высотного треугольника, применяя метод отражения и основываясь на следующей теореме элементарной геометрии: в каждой из вершин P, Q, R (рис. 197) две стороны высотного треугольника образуют одинаковые углы со стороной данного треугольника, именно, каждый из этих углов равен углу при противоположной вершине данного треугольника. Например, углы ARQ и BRP равны каждый углу C и т. д.

C P Q O A R B Рис. 197. Высотный треугольник в треугольнике ABC Докажем прежде всего эту теорему. Так как углы OP B и ORB прямые, то около четырехугольника OP BR можно описать окружность.

Следовательно, P BO = P RO, так как названные углы опираются на одну и ту же дугу описанной окружности. Но угол P BO дополнительный к углу C, так как треугольник CBQ прямоугольный, а угол P RO дополнительный к углу P RB. Поэтому P RB = C. Таким же образом, рассуждая по поводу четырехугольника QORA, заключаем, что QRA = C и т. д.

376 МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ гл. VII Этот результат приводит к следствию, относящемуся к высотному треугольнику: так как, например, AQR = CQP, то при отражении относительно стороны AC данного треугольника сторона RQ направляется по стороне P Q, и обратно. Аналогично для других сторон.

Перейдем теперь к до- B P казательству минимального свойства высотноU го треугольника. В треугольнике ABC рассмотрим, наряду с высотным C A треугольником, какойнибудь другой вписанный треугольник, скажем, UV W. Отразим всю фигуру сначала относительно стороны AC треB угольника ABC, затем вновь получившуюся фигуру отразим отC носительно стороны AB, потом — относительно BC, потом — относительно AC и, наконец, относиA тельно AB. Таким образом мы получим всего шесть конгруэнтных треугольников, причем в каждом из них будет заключен высотный B треугольник и еще другой вписанP ный треугольник (рис. 198). Сто- U рона BC последнего треугольника параллельна стороне BC первого треугольника. В самом деле, при C первом отражении сторона BC поРис. 198. Доказательство минимальворачивается по часовой стрелке ного свойства высотного треугольнина угол 2C, затем опять по часовой ка, данное Шварцем стрелке на угол 2B; при третьем отражении — остается неизменной;

при четвертом — поворачивается на угол 2C против часовой стрелки и при пятом — на угол 2B опять против часовой стрелки. Итого, общий угол поворота равен нулю.

Благодаря указанному выше свойству высотного треугольника пря молинейный отрезок P P равен удвоенному периметру треугольни ка P QR: действительно, P P составляется из шести отрезков, по очереди равных первой, второй и третьей стороне P QR, причем каждая из § 4 ТРЕУГОЛЬНИК ШВАРЦА сторон входит дважды. Таким же образом ломаная линия, соединяющая U и U, имеет длину, равную удвоенному периметру треугольника UV W. Эта ломаная не короче, чем прямолинейный отрезок UU.

Что же касается прямолинейного отрезка UU, то он равен P P, так как отрезок UU параллелен P P. Значит, ломаная линия UU не короче, чем прямая P P, т. е. периметр высотного треугольника не больше, чем периметр любого другого треугольника, вписанного в данный. Это и нужно было доказать. Итак, установлено, что минимум существует и что он реализуется в случае высотного треугольника. Что нет иного вписанного треугольника с тем же периметром — это, однако, не доказано, и это мы докажем дальше.

2. Другое доказательство. Следующее решение задачи Шварца является, вероятно, самым простым. Оно основывается на теореме, ранее доказанной в этой главе: если точки P и Q лежат по одну сторону прямой L (но не на ней самой), то сумма расстояний P R + RQ, где R — точка на L, обращается в минимум в том случае, если P R и QR образуют одинаковые углы с L. Пусть треугольник P QR, вписанный в данный треугольник ABC, решает поставленную минимальную задачу. Тогда точка R на стороне AB должна быть такой, чтобы сумма P R + QR была наименьшей, следовательно, углы ARQ и BRP должны быть равны; и точно так же AQR = CQP, BP R = CP Q. Таким образом, для искомого треугольника с минимальным периметром — если только таковой существует — должно быть выполнено то же самое свойство равенства углов, каким обладает высотный треугольник. Остается показать, что при таком условии наш треугольник не может отличаться от высотного. Кроме того, так как в теореме, на которую мы ссылались, C C Q Q r P P p q A R B A R B Рис. 199–200. Другое доказательство минимального свойства высотного треугольника предполагается, что P и Q не лежат на AB, то доказательство не годится для случая, когда одна из точек P, Q, R совпадает с какой-нибудь вершиной данного треугольника (при этом периметр треугольника выродился бы в удвоенную соответствующую высоту); чтобы доказательство 378 МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ гл. VII было исчерпывающим, нужно еще установить, что периметр высотного треугольника меньше любой из удвоенных высот данного треугольника.

Обращаясь сначала к первому пункту, заметим, что если вписанный треугольник обладает указанным выше свойством равенства углов, то рассматриваемые углы при вершинах P, Q и R соответственно равны углам A, B и C. В самом деле, допустим, например, что ARQ = BRP = C +. Тогда, применяя теорему о сумме углов треугольника к треугольникам ARQ и BRP, мы видим, что углы при Q должны равняться B -, а углы при P должны равняться A -.

Но тогда сумма углов треугольника CP Q равна (A - ) + (B - ) + C = 180 - 2 ; с другой стороны, она же равна 180. Поэтому = 0.

Мы уже видели, что высотный треугольник обладает отмеченным свойством. Всякий иной вписанный треугольник, обладающий тем же свойством, имел бы стороны, соответственно параллельные сторонам высотного треугольника; другими словами, он был бы ему подобен и подобно расположен. Читатель докажет самостоятельно, C что, кроме самого высотного треугольника, другого такого треугольника не существует P Q L (рис. 200).

Покажем, наконец, по-прежнему ограничиваясь случаем остN роугольного треугольника, что периметр высотного треугольниB R ка меньше, чем любая удвоенA ная высота данного треугольниM ка. Проведем прямые QP и QR и затем из вершины B (рис. 201) Рис. 201. К доказательству минимального свойства высотного треугольника опустим перпендикуляры на прямые QP, QR и P R; пусть L, M и N — основания этих перпендикуляров. Так как отрезки QL и QM являются проекциями высоты QB на прямые QP и QR, то QL + QM < < 2QB. Но QL + QM = p, где через p обозначен периметр высотного треугольника. Действительно, треугольники MRB и NRB равны, так как MRB = NRB, а углы при вершинах M и N прямые. Значит, RM = RN; и поэтому QM = QR + RN. Точно так же мы убеждаемся, что P N = P L и, следовательно, QL = QP + P N. Отсюда вытекает:

Pages:     | 1 |   ...   | 51 | 52 || 54 | 55 |   ...   | 76 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.