WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 50 | 51 || 53 | 54 |   ...   | 76 |

В случае, если P и Q находятся на равных расстояниях от L, решения задачи о максимуме, как мы видели, нет вовсе, так как прямая P Q (см.

рис. 182) параллельна L. И тогда при удалении R в бесконечность в том или в другом направлении величина |p - q| стремится к некоторому конечному пределу. Этот предел есть не что иное, как длина s проекции отрезка P Q на прямую L (читатель может доказать это в качестве упражнения). Величина |p - q| при рассматриваемых обстоятельствах всегда меньше, чем предел s, и максимума не существует, так как, какова бы ни была данная точка R, всегда можно указать другую, более удаленную, для которой |p - q| будет больше и, однако, еще не совсем равно s.

*5. Экстремальные расстояния точки от данной кривой.

Начнем с того, что определим наибольшее и наименьшее расстояния данной точки P от точек данной кривой C. Предположим для простоты, что C есть простая замкнутая кривая, имеющая всюду касательную (рис. 184). Понятие касательной к кривой, принимаемое здесь на интуитивной основе, будет подвергнуто анализу в следующей главе. Ответ очень прост: если для некоторой точки R на C расстояние P R достигает минимума или максимума, то прямая P R непременно перпендикулярна к касательной к C в точке R; короче говоря, пряRмая P R перпендикулярна к C.

Доказательство вытекает из слеRP дующего обстоятельства: окружность с центром P, проходящая через R, должна быть касательной к кривой C. Действительно, если R есть точка наименьшего расстояния, то кривая C должна целиком лежать вне круга и Рис. 184. Экстремальные расстояния до точек кривой поэтому в точке R не может его пересекать; если же R есть точка наибольшего расстояния, то C должна целиком лежать внутри круга и потому опять-таки в точке R пересекать его не может. (Это следует из того очевидного факта, что расстояние некоторой точки от P меньше, § 1 ЗАДАЧИ ИЗ ОБЛАСТИ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ чем RP, если эта точка внутри круга, и больше, чем RP, если она вне его.) Итак, окружность и кривая касаются в точке R, и касательная у них в этой точке одна и та же. Остается заметить, что отрезок P R как радиус окружности перпендикулярен к касательной к окружности в точке R и, следовательно, к самой кривой C в той же точке.

В теснейшей связи с предыдущим стоит следующее предложение, доказательство которого предоставляется читателю: диаметр замкнутой кривой C (т. е. наибольшая из ее хорд) в своих концах обязательно перпендикулярен к C. Аналогичное утверждение можно сформулировать и доказать для трехмерного случая.

Упражнение. Докажите, что наикратчайший и наидлиннейший отрезки, связывающие две взаимно непересекающиеся замкнутые кривые, перпендикулярны в своих концах к самым кривым.

Можно обобщить и задачи пункта 4, касающиеся суммы и разности расстояний. Рассмотрим вместо прямой линии L простую замкнутую кривую C, обладающую касательной в каждой точке, и еще две точки P и Q, не лежащие на C. Постараемся охарактеризовать те точки на кривой C, для которых сумма p + q или разность p - q принимают экстремальные значения (причем p и q обозначают P соответственно расстояния переменной точки на C от точек P и Q). Теперь уже нельзя применить то простое, основанR ное на отражении, построение, с помоQ щью которого мы решили обе задачи R в случае, когда C была прямой линией. Но мы можем воспользоваться для поставленной здесь цели свойствами элC липса и гиперболы. Так как C на этот раз — замкнутая кривая, а не линия, уходящая в бесконечность, то и максимум и минимум на ней действительРис. 185. Максимум и минимум но реализуются: в самом деле, можно сумм P R + QR не подвергать сомнению то обстоятельство, что величины p + q и p - q достигают и наибольшего и наименьшего значений на всяком конечном сегменте кривой, следовательно, на замкнутой кривой (см. § 7).

Останавливаясь на случае суммы p + q, предположим, что R — та точка на C, в которой имеет место максимум; пусть 2a есть значение p + q в этой точке. Рассмотрим эллипс с фокусами P и Q — геометрическое место точек, для которых p + q = 2a. Этот эллипс в точке R должен касаться кривой C (доказательство предоставляется читателю в 366 МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ гл. VII качестве упражнения). Но мы видели, что отрезки P R и QR образуют одинаковые углы с эллипсом в точке R, и так как эллипс в точке R касается кривой C, то отрезки P R и QR образуют в той же точке также одинаковые углы и с C. Совершенно аналогичное рассуждение приводит нас к тому же результату и в случае, если в точке R сумма p + q обращается в минимум.

Итак, мы пришли к теореме: дана замкнутая кривая C и две точки P и Q вне ее; тогда в каждой из точек R, в которых сумма p + q принимает наибольшее или наименьшее значение на кривой C, отрезки P R и QR образуют одинаковые углы с самой кривой (т. е. с ее касательной).

Если точка P внутри C, а точка Q вне C, то теорема остается справедливой для той точки, где p + q принимает наибольшее значение, но она теряет смысл для точки, где p + q принимает наименьшее значение, так как эллипс вырождается в отрезок прямой.

Рассуждая аналогичным обP разом (воспользовавшись вместо свойств эллипса свойством гиперQ болы), читатель сможет доказать R следующую теорему: дана замкC нутая кривая C и две точки P и Q — одна внутри, другая вне C;

тогда в каждой из тех точек R на C, где разность p - q принимает наибольшее или наименьРис. 186. Минимум разности P R - QR шее значение, отрезки P R и QR образуют одинаковые углы с самой кривой C. Но нужно вместе с тем отметить, что между случаем, когда C — прямая, и случаем, когда C — замкнутая кривая, есть существенное различие: в первом случае приходится разыскивать максимум абсолютной величины разности, т. е.

максимум |p - q|, тогда как во втором сама разность p - q достигает и наибольшего и наименьшего значений.

§ 2. Общий принцип, которому подчинены экстремальные задачи 1. Принцип. Предыдущие задачи являются частными случаями некоторой общей проблемы, которую удобнее всего сформулировать аналитически. Возвращаясь к первой из рассмотренных задач, касающейся суммы p + q, мы видим, что она заключается в том, чтобы, обозначив через x, y координаты точки R, через x1, y1, координаты точки P и через § 2 ОБЩИЙ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЙ ПРИНЦИП x2, y2 координаты точки Q, найти экстремальные значения функции f(x, y) = p + q, где положено p = (x - x1)2 + (y - y1)2, q = (x - x2)2 + (y - y2)2.

Рассматриваемая функция непрерывна во всей плоскости, но точка R с координатами x, y подчинена требованию находиться на кривой C.

Эта последняя кривая, допустим, определена уравнением g(x, y) = 0;

например, уравнением x2 + y2 - 1 = 0, если C — единичная окружность.

f(x, y) RRРис. 187. Экстремумы функции на кривой Обратимся теперь к общей задаче: найти экстремальные значения некоторой данной функции f(x, y), если переменные x и y подчинены условию g(x, y) = 0. Постараемся охарактеризовать решение этой задачи. Для этого рассмотрим семейство кривых f(x, y) = c; при этом под «семейством» кривых понимаем совокупность всех кривых, определяемых указанным уравнением при различных значениях постоянной c (но такое значение неизменно для всех точек каждой кривой в отдельности).

Предположим, что через каждую точку плоскости — или по крайней мере некоторой ее части, содержащей кривую C, — проходит одна и только одна кривая семейства f(x, y) = c. Тогда при непрерывном увеличении c кривая f(x, y) = c «заметает» некоторую часть плоскости, однако при этом ни одну точку не «заметает» дважды. (Примеры такого рода семейств: x2 + y2 = c, x + y = c, x = c.) В частности, одна кривая рассматриваемого семейства пройдет через точку R1, в которой f(x, y) принимает наибольшее значение на кривой C, и другая — через точку R2, в которой f(x, y) принимает наименьшее значение на C. Пусть наибольшее значение есть a, наименьшее — b. По одну сторону кривой f(x, y) = a значение f(x, y) = a меньше, чем a, по другую — больше, чем a. Так как 368 МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ гл. VII на кривой C имеет место неравенство f(x, y) a, то кривая C должна целиком лежать по одну и ту же сторону кривой f(x, y) = a; отсюда следует, что она в точке R1 касается кривой f(x, y) = a. Точно так же кривая C касается в точке R2 кривой f(x, y) = b.

Итак, доказана общая теорема: если в точке R на кривой C функция f(x, y) имеет экстремальное значение a, то кривая f(x, y) = a в точке R касается кривой C.

2. Примеры. Легко понять, что ранее полученные результаты являются частным случаем этой общей теоремы. Если речь идет об экстремуме суммы p + q, то функция f(x, y) есть p + q, а кривые f(x, y) = c — софокусные эллипсы с фокусами P и Q. В согласии с общей теоремой эллипсы, проходящие через те точки кривой C, где достигается экстремум одного или другого вида, касаются кривой C в этих точках. Если речь идет об экстремуме разности p - q, то функция f(x, y) есть p - q, и тогда кривые f(x, y) = c — софокусные гиперболы с фокусами P и Q;

и в этом случае гиперболы, проходящие через точки, где достигается экстремум, касаются кривой C.

Рис. 188. Софокусные эллипсы Рис. 189. Софокусные гиперболы Вот еще пример задачи того же типа. Дан отрезок прямой P Q и прямая l, его не пересекающая; требуется установить: из какой точки l отрезок P Q виден под наибольшим углом Функция, максимум которой надлежит определить в этой задаче, есть угол, под которым из точки, движущейся по прямой l, виден отрезок P Q; если R — какая угодно точка плоскости с координатами x, y, то угол, под которым отрезок P Q виден из R, есть функция = f(x, y) от переменных x, y. Из элементарной геометрии известно, что семейство кривых = f(x, y) = const состоит из окружностей, проходящих через P и Q, так как хорда круга видна под одним и тем же углом из всех точек дуги окружности, расположенной по одну сторону хорды. Из рис. § 3 СТАЦИОНАРНЫЕ ТОЧКИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ видно, что, вообще говоря, имеется две окружности рассматриваемого семейства, касающиеся прямой l: их центры расположены по разные стороны отрезка P Q. Одна из точек касания дает абсолютный максимум величины, тогда как другая — лишь «относительный» максимум: это значит, что значения в этой точке больше, чем значения в некоторой окрестности рассматриваемой точки. Больший из двух максимумов — абсолютный максимум — дается той точкой касания, которая расположена в остром угле, образованном прямой l и продолжением отрезка P Q, а меньший — той точкой касания, которая расположена в тупом угле, образованном этими прямыми. (Точка пересечения прямой l с продолжением отрезка P Q дает минимальное значение угла, именно = 0.) P Q l Рис. 190. Из какой точки l отрезок P Q виден под наибольшим углом Обобщая рассмотренную задачу, мы можем заменить прямую l какой-нибудь кривой C и искать точки R на кривой C, из которых данный отрезок P Q, не пересекающий C, виден под наибольшим или наименьшим углом. В этой задаче, как и в предыдущей, окружность, проходящая через P, Q и R, должна в точке R касаться кривой C.

§ 3. Стационарные точки и дифференциальное исчисление 1. Экстремальные и стационарные точки. В предшествующих рассуждениях мы совсем не пользовались техническими приемами дифференциального исчисления.

Трудно не признать, что наши элементарные методы являются более простыми и более прямыми, чем методы анализа. Вообще, занимаясь той или иной научной проблемой, лучше исходить из ее индивидуальных 370 МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ гл. VII особенностей, чем полагаться исключительно на общие методы, хотя, с другой стороны, общий принцип, уясняющий смысл применяемых специальных процедур, конечно, всегда должен играть руководящую роль.

Таково именно значение методов дифференциального исчисления при рассмотрении экстремальных проблем. Наблюдаемое в современной науке стремление к общности представляет только одну сторону дела, так как то, что в математике является подлинно жизненным, без всякого сомнения обусловливается индивидуальными чертами рассматриваемых проблем и применяемых методов.

В своем историческом развитии дифференциальное исчисление в весьма значительной степени испытало воздействие индивидуальных проблем, связанных с разысканием наибольших и наименьших значений величин. Связь между экстремальными проблемами и дифференциальным исчислением можно уяснить себе следующим образом. В главе VIII мы займемся обстоятельным изучением производной f (x) от функции f(x) и ее геометрического смысла. Там мы увидим, что, говоря кратко, производная f (x) есть наклон касательной к кривой y = f(x) в точке (x, y). Геометрически очевидно, что в точках максимума или минимума гладкой кривой y = f(x) касательная к кривой непременно должна быть горизонтальной, т. е. наклон должен равняться нулю.

Таким образом, мы получаем для точек экстремума условие f (x) = 0.

Чтобы отдать себе ясно отчет в том, что означает обращение в нуль производной f (x), рассмотрим кривую, изображенную на рис. 191. Мы видим здесь пять точек A, B, C, D, E, в которых касательная к кривой горизонтальна; обозначим соответствующие значения f(x) в этих точках через a, b, c, d, e. Наибольшее значение f(x) (в пределах области, изображенной на чертеже) достигается в точке D, наименьшее — в точке A.

В точке B имеется максимум — в том смысле, что во всех точках некоторой окрестности точки B значение f(x) меньше, чем b, хотя в точках, близких к D, значение f(x) все же больше, чем b. По этой причине принято говорить, что в точке B имеется относительный максимум функции f(x), тогда как в точке D — абсолютный максимум. Точно так же в точке C имеет место относительный минимум, а в точке A — абсолютный минимум. Наконец, что касается точки E, то в ней нет ни максимума, ни минимума, хотя в ней все же осуществляется равенство f (x) = 0. Отсюда следует, что обращение в нуль производной f (x) есть необходимое, но никак не достаточное условие для появления экстремума гладкой функции f(x); другими словами, во всякой точке, где имеется экстремум (абсолютный или относительный), непременно имеет место равенство f (x) = 0, но не во всякой точке, где f (x) = 0, обязан быть экстремум. Те точки, в которых производная f (x) обращается в нуль, — независимо от того, имеется ли в них экстремум, — называются стационарными. Дальнейший анализ приводит к более или менее § 3 СТАЦИОНАРНЫЕ ТОЧКИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ сложным условиям, касающимся высших производных функции f(x) и полностью характеризующим максимумы, минимумы и иные стационарные точки.

y D B E x C A Рис. 191. Стационарные точки функции 2. Максимумы и минимумы функций нескольких переменных. Седловые точки. Существуют экстремальные проблемы, которые не могут быть выражены с помощью понятия функции f(x) от одной переменной. Простейшим относящимся сюда примером является проблема нахождения экстремумов функции z = f(x, y) от двух независимых переменных.

Pages:     | 1 |   ...   | 50 | 51 || 53 | 54 |   ...   | 76 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.