WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 49 | 50 || 52 | 53 |   ...   | 76 |

Г Л А В А VII Максимумы и минимумы Введение Отрезок прямой линии определяет кратчайший путь между двумя его конечными точками. Дуга большого круга представляет собой кратчайшую кривую, которой можно соединить две точки на сфере. Среди всех замкнутых плоских кривых одной и той же длины наибольшая площадь охватывается окружностью, а среди всех замкнутых поверхностей одной и той же площади наибольший объем охватывается сферой.

Максимальные и минимальные свойства подобного рода были известны еще древнегреческим математикам, хотя и не всегда со строгими их доказательствами. Одно из самых замечательных относящихся сюда открытий приписывается Герону, александрийскому ученому I столетия нашей эры. Издавна было известно, что световой луч, выходящий из точки P и встречающийся с плоским зеркалом L, отражается в направлении некоторой точки Q таким образом, что P R и QR образуют одинаковые углы с зеркалом. По преданию, Герон установил, что если R — любая точка зеркала, отличная от R, то сумма отрезков P R + R Q больше, чем P R + RQ. Эта теорема (которую мы скоро докажем) характеризует истинный путь светового луча P RQ между P и Q как кратчайший путь от P к Q с заходом на зеркало L — открытие, которое можно рассматривать как зародыш теории геометрической оптики.

Нет ничего удивительного в том, что математики живейшим образом интересуются подобного рода вопросами. В повседневной жизни постоянно возникают проблемы наибольшего и наименьшего, наилучшего и наихудшего. Именно в такой форме могут быть поставлены многие задачи, имеющие практическое значение. Например, каковы должны быть очертания судна, для того чтобы оно испытывало при движении в воде наименьшее сопротивление Каково должно быть соотношение размеров цилиндрического резервуара, чтобы при заданном расходе материала объем был наибольшим Возникнув в XVII столетии, общая теория экстремальных, т. е.

максимальных и минимальных, значений величин выдвинула обширный ряд принципов науки, служащих целям обобщения и систематизации.

358 МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ гл. VII Первые шаги, сделанные Ферма в области дифференциального исчисления, были ускорены стремлением найти общие методы для изучения вопросов о максимумах и минимумах. В последующем столетии эти методы были значительно обогащены с изобретением вариационного исчисления. Становилось все яснее и яснее, что физические законы природы в высшей степени удачно формулируются в терминах принципа минимальности, обеспечивающего естественный подход к более или менее полному решению частных проблем. Одним из самых замечательных достижений современной математики является теория стационарных значений, дающая такого рода расширение понятия максимума и минимума, которое базируется одновременно на анализе и на топологии.

Мы будем здесь рассматривать весь вопрос в целом с совершенно элементарной точки зрения.

§ 1. Задачи из области элементарной геометрии 1. Треугольник наибольшей площади при двух заданных сторонах. Даны два отрезка a и b; требуется найти треугольник возможно большей площади, у которого две стороны были бы a и b. Решением является прямоугольный треугольник с катетами a и b. Рассмотрим в самом деле какой-нибудь треугольник с двумя сторонами a и b (рис. 176).

Если h есть высота, соответствующая основанию a, то площадь треугольника A равна ah. Это последнее выражение, очевидно, принимает наиb большее значение при наибольшем b возможном значении h, что случитh ся именно при h, равном b, т. е. тоa гда, когда треугольник прямоугольный. Итак, максимальная площадь Рис. 176. Максимум площади треравна ab.

угольника при двух данных сторонах 2. Теорема Герона. Экстремальное свойство световых лучей. Дана прямая L и две точки P и Q по одну и ту же ее сторону. Как выбрать точку R на прямой L с таким расчетом, чтобы сумма отрезков P R + RQ давала кратчайший путь от P к Q с заходом на L В этом заключается проблема Герона о световом луче (точно такую же проблему приходится решать тому, кто, желая из точки P как можно скорее пройти в точку Q, должен был бы по дороге подойти к L: представьте себе, что L — берег реки, и там нужно зачерпнуть ведро воды). Чтобы получить решение, построим зеркальное отраже§ 1 ЗАДАЧИ ИЗ ОБЛАСТИ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ ние P точки P относительно прямой L, и тогда прямая P Q пересекает L как раз в искомой точке R. Легко доказать, что P R + RQ меньше, чем P R + R Q, где R — любая точка на L, отличная от R. Дей ствительно, P R = P R и P R = P R, значит, P R + RQ = P R + RQ = = P Q и P R + R Q = P R + R Q. Но P R + R Q больше, чем P Q (так как сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны), т. е.

P R + R Q больше, чем P R + RQ, что и требовалось доказать.

P Q В дальнейшем существенно предполагать, что P и Q не лежат на самой прямой L.

L Из рис. 177 видно, что 3 = 2 R R = 2 и 2 = 1, так что 1 = 3.

Другими словами, точка R такова, что P R и QR образуют одинаковые углы с L. Отсюда следует, P что световой луч, отражающийся от L (а при отражении, как Рис. 177. Теорема Герона показывает эксперимент, угол падения равен углу отражения), действительно обращает в минимум путь из P в Q с заходом на L — в согласии с высказанным утверждением.

Задачу можно обобщить, вводя несколько прямых L, M,... Рассмотрим, например, случай, когда имеются две прямые L, M и две точки P, Q, расположенные, как на рис. 178, и поставим целью найQ R L Q P O S M Q Рис. 178. Отражение в двух зеркалах ти кратчайший путь из P в Q с заходом сначала на L, потом на M.

Пусть Q — отражение Q относительно M и Q — отражение Q относительно L. Проведем прямую P Q, пересекающую L в точке R, и прямую RQ, пересекающую M в точке S; тогда P R + RS + SQ и есть искомый кратчайший путь. Доказательство подобно приведенному выше 360 МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ гл. VII и предоставляется читателю в качестве упражнения. Если бы L и M были зеркалами, то световой луч из P, приходящий после отражения в L, потом в M в точку Q, попадал бы на L в точке R, а на M — в точке S;

итак, световой луч опять-таки избрал бы для себя путь наименьшей длины.

L S P O Q R M Рис. 179. Вариант предыдущей задачи Можно было бы также поставить задачу нахождения кратчайшего пути из P в Q с заходом сначала на M, потом на L. Таким должен быть путь P RSQ (рис. 179), определяемый аналогично пути P RSQ, рассмотренному раньше. Длина этого нового пути может оказаться или большей, или меньшей, или равной длине прежнего пути.

* Упражнение. Покажите, что новый путь больше прежнего в том случае, если точка P и прямая M лежат по одну сторону прямой OQ. В каком случае новый и прежний пути окажутся равными 3. Применения к задачам о треугольниках. С помощью теоремы Герона можно легко решить следующие две задачи.

а) Задана заранее площадь A R R и одна сторона c = P Q треугольника; среди всех такого рода треугольников требуется найти тот, b для которого сумма двух других a h сторон a и b наименьшая. Вместо того чтобы задавать сторону c и площадь A треугольника, можно P Q задать сторону c и высоту h, опуРис. 180. Треугольник наименьшего пещенную на c, так как A = hc.

риметра при данных основании и пло- Таким образом, задача сводится щади к тому, чтобы найти точку R (рис. 180), находящуюся на расстоянии h от прямой P Q, и притом такую, что сумма сторон a + b обращается в минимум. Из первого условия следует, что точка R долж§ 1 ЗАДАЧИ ИЗ ОБЛАСТИ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ на быть расположена на прямой, параллельной прямой P Q и отстоящей от нее на расстоянии h. Раз это установлено, становится ясно, что задача решается с помощью теоремы Герона в применении к тому случаю, когда P и Q находятся на одном и том же расстоянии от прямой L: искомый треугольник P RQ равнобедренный.

б) Пусть в треугольнике даны одна сторона c и сумма a + b двух других сторон; требуется из всех таких треугольников выбрать тот, у которого площадь наибольшая. Эта задача — обратная по отношению к задаче а). Решением является опять-таки равнобедренный треугольник, для которого a = b. Как мы уже видели, для такого треугольника при заданной площади сумма a + b принимает наименьшее значение; это значит, что во всяком другом треугольнике с основанием c и той же площадью сумма a + b имеет большее значение. С другой стороны, из а) ясно, что во всяком треугольнике с основанием c и площадью большей, чем площадь рассматриваемого равнобедренного треугольника, значение a + b также будет больше. Отсюда следует, что всякий другой треугольник, имеющий заданные значения для a + b и для c, должен иметь меньшую площадь, так что наибольшую площадь при заданных c и a + b имеет именно равнобедренный треугольник.

4. Свойства касательных к эллипсу и гиперболе. Соответствующие экстремальные свойства. С теоремой Герона связаны некоторые важные геометрические задачи. Мы установили, что если R — такая точка на прямой L, что P R + RQ обращается в минимум, то прямые P R и RQ образуют одинаковые углы с L. Обозначим минимальное значение P R + RQ через 2a. Пусть, с другой стороны, p и q обозначают расстояния произвольной точки плоскости соответственно от тоR L чек P и Q; рассмотрим геоp метрическое место всех точек плоскости, для которых p + q P q = 2a. Это геометрическое место — эллипс с фокусами P и Q, проходящий через точку R на прямой L, причем Q прямая L касается этого эллипса в точке R. Действительно, если бы прямая L пеРис. 181. Свойство касательной к эллипсу ресекала эллипс еще в какойто точке, кроме R, то существовал бы отрезок прямой L, лежащий внутри эллипса; для каждой точки этого отрезка p + q было бы меньше, чем 2a: в самом деле, легко убедиться, что p + q меньше или больше, 362 МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ гл. VII чем 2a, смотря по тому, находится ли рассматриваемая точка внутри или вне эллипса. Но так как мы знаем, что для точек на прямой L непременно p + q 2a, то сделанное предположение приходится отбросить. Итак, прямая L — касательная к эллипсу в точке R. Кроме того, мы знаем, что P R и RQ образуют одинаковые углы с L; отсюда в качестве побочного результата наших рассуждений вытекает важная теорема:

касательная к эллипсу образует равные углы с прямыми, проведенными из фокусов в точку касания.

Следующая задача родственна предыдущей. Дана прямая линия L и две точки P и Q по разные стороны L (рис. 182); требуется найти такую точку R на L, чтобы величина |p - q|, т. е. абсолютная величина разности расстояний точки R от P и Q, была как можно больQ ше. (Мы допускаем, что L не P является перпендикуляром, восставленным из середины отрезка P Q: иначе p - q равнялось бы нулю для всякой точки L, и задаL ча потеряла бы смысл.) ПристуR R пая к решению задачи, построим зеркальное отражение точки P относительно L: полученная точ ка P расположена по ту же стоP рону L, что и Q. Какова бы ни Рис. 182. |P R - QR| = maximum была точка R на L, мы имеем:

p = R P = R P, q = R Q. Так как разность двух сторон треугольника никогда не превышает третьей сто роны, то, рассматривая треугольник R QP, можно заключить, что величина |p - q| = |R P - R Q| меньше или равна P Q; и, как видно из чертежа, только при условии, что R, P и Q расположены на одной прямой, |p - q| может оказаться равным P Q. Поэтому искомая точка R есть точка пересечения прямой L с прямой, проведенной через P и Q.

Как и в предыдущей задаче, не представляет труда установить, ссылаясь на конгруэнтность треугольников RP R и RP R, что углы, которые отрезки RP и RQ составляют с прямой L, одинаковы.

Отсюда, как и в прежней задаче, уже ничего не стоит получить свойство касательной к гиперболе. Принимая наибольшее значение разности |P R - RQ| равным 2a, рассмотрим геометрическое место всех точек в плоскости, для которых абсолютная величина p - q равна 2a.

Это — гипербола с фокусами P и Q, проходящая через точку R. Легко убедиться, что абсолютная величина p - q меньше чем 2a в области, заключенной между двумя ветвями гиперболы, и больше чем 2a по ту сторону каждой из ветвей, по которую лежит соответствую§ 1 ЗАДАЧИ ИЗ ОБЛАСТИ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ щий фокус. Отсюда — в основном с помощью такой же аргументации, как и в случае эллипса, — вытекает, что прямая L касается гиперболы в точке R. К которой именно из ветвей прямая L является касательной, — это зависит от того, которая из точек P и Q ближе к L: если ближе точка P, то касается прямой L та ветвь, которая окружает P ; и аналогично для Q (рис. 183). Если P и Q находятся на равных расстояниях от прямой L, P то L не касается ни той, ни другой R ветви гиперболы, а является одной из ее асимптот. Об этом результате позволительно догадываться исL ходя из того соображения, что описанное выше построение в рассматQ риваемом случае не дает никакой (конечной) точки R, так как пря Рис. 183. Свойство касательной к мая P Q оказывается параллельной гиперболе прямой L.

Так же как и в случае эллипса, наши рассуждения приводят к хорошо известной теореме: касательная, проведенная в любой точке гиперболы, делит пополам угол между отрезками, проведенными из фокусов в точку касания.

Может показаться странным, что приходится решать задачу о минимуме, если точки P и Q лежат по одну сторону L, тогда как если точки лежат по разные стороны L, мы рассматриваем задачу о максимуме.

Но нетрудно прийти к заключению, что указанное различие совершенно естественно. В первой задаче при удалении по прямой L в бесконечность — в одну или в другую сторону — каждое из расстояний p и q, следовательно, и их сумма, неограниченно возрастает. Таким образом, было бы невозможно найти наибольшее значение p + q, и единственной возможной является постановка задачи о минимуме. Дело обстоит совершенно иначе во второй задаче, когда P и Q лежат по разные стороны L. В этом случае не будем смешивать три различные величины:

разность p - q, обратную разность q - p и абсолютную величину |p - q|;

именно, для последней величины мы определяли максимум. Как обстоит дело, легче всего понять, если представить себе, что точка R движется по прямой L, занимая различные положения R1, R2, R3,... Существует такое положение R, для которого разность p - q обращается в нуль; при этом прямая L пересекается с перпендикуляром к отрезку P Q, проведенным из его середины. Ясно, что при этом положении точка R дает минимум для абсолютной величины |p - q|. Но по одну сторону от этой точки p больше, чем q, по другую — меньше; значит, величина p - q положительна по одну сторону точки и отрицательна — по другую. Сле364 МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ гл. VII довательно, сама эта величина не имеет ни максимума, ни минимума в точке, где |p - q| = 0. С другой стороны, та точка, в которой |p - q| имеет максимум, наверняка дает экстремум для p - q. Если p > q, то имеется максимум для p - q; если q > p, то максимум для q - p и, значит, минимум для p - q. Имеется ли максимум или минимум для p - q, это зависит от положения двух данных точек относительно прямой L.

Pages:     | 1 |   ...   | 49 | 50 || 52 | 53 |   ...   | 76 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.