WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 48 | 49 || 51 | 52 |   ...   | 76 |

A B Рис. 175. Проблема Уитни К счастью, доказательство не подразумевает точного знания законов динамики. (Исходя из этих законов, решить задачу было бы чрезвычайно трудно.) Достаточно принять только одно допущение физического содержания: последующее движение стержня зависит непрерывно от его начального положения; в частности, если при данном начальном положении стержень во время пути упадет на пол в одну из сторон, то при всяком начальном положении, достаточно мало отличающемся от данного, он не упадет на пол в противоположную сторону.

Обратим теперь внимание на то, что во всякий момент времени положение стержня характеризуется углом, который он составляет с полом.

Углам = 0 и = 180 соответствуют два взаимно противоположных горизонтальных (лежачих) положения. Обозначим через x значение угла в начальном положении стержня. Доказательство нашего утверждения будет косвенное, в соответствии с чисто экзистенциальным характером самой проблемы. Допустим, что всегда, т. е. при любом начальном положении стержня, стержень непременно упадет или в одну, или в другую сторону, так что примет значение или 0, или 180. Определим тогда функцию f(x) так: f(x) = +1 или -1 смотря по тому, упадет ли стержень в сторону, соответствующую углу = 0 или углу = 180.

Свойства функции f(x) таковы: она задана в интервале 0 x 180, непрерывна в нем, и притом f(0) = +1, f(180) = -1. Отсюда, по теореме Больцано, следует, что при каком-то промежуточном значении x (0 < x < 180) должно выполняться равенство f(x) = 0. А это противоречит тому, что функция f(x) может принимать только значения +1 и -1.

350 ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ НА ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ гл. VI Значит, приходится отвергнуть сделанное допущение, согласно которому стержень упадет на пол во время движения поезда при каком угодно начальном его положении.

Совершенно ясно, что приведенное доказательство носит чисто теоретический характер, потому что не дает решительно никаких указаний на то, как определить искомое начальное положение стержня. Вместе с тем, даже если бы такое положение и могло быть вычислено теоретически с абсолютной точностью, практически оно было бы бесполезно вследствие своей неустойчивости. Так, например, в предельном случае, если поезд неподвижен в течение всего «путешествия», решение совершенно очевидно: x = 90; но всякий, кто пытался уравновесить иголку в стоячем положении на гладкой горизонтальной поверхности, понимает, насколько это решение практически нереально. Тем не менее с математической точки зрения приведенное доказательство имеет неоспоримый интерес.

Упражнения. 1) Обобщите это рассуждение на случай, когда «путешествие» продолжается бесконечно долго.2) Обобщите также на случай, когда поезд движется по произвольной кривой на плоскости, а стержень может падать в любом направлении, т. е.

стержень обладает двумя степенями свободы. (Указание: невозможно непрерывно отобразить круговой диск на одну его окружность, оставляя все точки окружности неподвижными — см. стр. 272.) ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ VI Дальнейшие примеры на пределы и непрерывность § 1. Примеры пределов 1. Общие замечания. Во многих случаях сходимость последовательности an может быть доказана по следующей схеме. Мы рассматриваем две другие последовательности bn и cn, члены которых, вообще говоря, имеют более простую структуру и обладают тем свойством, что bn an cn (1) Например, воспользуйтесь принципом стягивающихся отрезков (см. стр. 88);

если из какого-то положения стержень не упадет за фиксированное конечное время, то за это же время он не успеет упасть также из всех достаточно близких положений. — Прим. ред. наст. изд.

§ 1 ПРИМЕРЫ ПРЕДЕЛОВ при всех значениях n. Тогда, если будет установлено, что последовательности bn и cn имеют один и тот же предел, можно будет утверждать, что последовательность an также имеет предел.

Формальное доказательство этой теоремы мы можем предоставить читателю.

Ясно, что применение указанной схемы потребует оперирования неравенствами. В связи с этим своевременно напомнить небольшое число элементарных правил, которым подчинены арифметические операции с неравенствами.

1. Если a > b, то a + c > b + c (к обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число).

2. Если a > b и c — положительно, то ac > bc (можно умножить неравенство на положительное число).

3. Если a > b, то -b > -a (направление неравенства меняется при умножении на -1). Так, 2 < 3, но -3 < -2.

4. Если a и b одного и того же знака, то из неравенства a < b следу1 ет >.

a b 5. |a + b| |a| + |b|.

2. Предел qn. Если q — число большее чем 1, то члены последовательности qn неограниченно возрастают; например, так будет при q = 2:

q, q2, q3,...

Такие последовательности «стремятся к бесконечности» (см. стр. 316).

В самом общем случае доказательство этого основывается на важном неравенстве (см. стр. 34) (1 + h)n 1 + nh nh, (2) где h — какое угодно положительное число. Мы положим q = 1 + h, где h > 0; тогда qn = (1 + h)n > nh.

Пусть k — сколь угодно большое положительное число; в таком случае k достаточно взять n >, чтобы получить неравенство h qn > nh > k;

значит, qn. Если q = 1, то все члены последовательности равны 1, и значит, предел последовательности есть 1. Если q отрицательно, то знаки qn чередуются, и в случае |q| 1 предела нет.

Упражнение. Дайте строгое доказательство последнему утверждению.

На стр. 84 мы установили, что если -1 < q < 1, то qn 0. Дадим здесь еще другое, очень простое доказательство. Рассмотрим случай 0 < q < 1. Тогда члены последовательности q, q2, q3,... монотонно убывают, 352 ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ НА ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ гл. VI оставаясь положительными. Отсюда следует (см. стр. 317), что последовательность имеет предел: qn a. Умножая обе части последнего соотношения на q, получим: qn+1 aq.

Но qn+1 должно иметь тот же предел, что и qn, так как дело не меняется от того, как обозначен возрастающий показатель — через n или через n + 1. Значит, aq = a, или a(q - 1) = 0. Так как по условию (1 - q) = 0, то отсюда следует a = 0.

Если q = 0, предыдущее утверждение тривиально. Если, наконец, -1 < q < 0, то 0 < |q| < 1; поэтому, как только что доказано, |qn| = |q|n 0. Но в таком случае qn 0 при условии |q| < 1. Доказательство закончено.

Упражнения. Докажите, что при n n x1) 0, 1 + x n x 2) 0, 1 + x n x3) стремится к бесконечности при x > 2, к нулю при |x| < 2.

4 + x n 3. Предел p. Последовательность чисел n an = p, т. е.

2 p, p, p, p,...

имеет предел 1, каково бы ни было положительное число p:

n p 1 при n. (3) n (Символ p обозначает, как всегда, положительный корень степени n.

В случае, если p отрицательно, при n четном не существует действительных корней степени n.) Докажем соотношение (3). Предположим прежде всего, что p > 1;

тогда также p > 1. Мы можем положить n p = 1 + hn, причем hn — положительная величина, зависящая от n. Из неравенства (2) следует p = (1 + hn)n > nhn.

Деление на n дает p 0 < hn <.

n p Так как последовательности bn = 0 и cn = обе имеют предел 0, то на n основании рассуждения, приведенного в пункте 1, hn также при возрастании n имеет предел 0, и наше утверждение, таким образом, доказано в случае p > 1. Мы встретились здесь с очень типическим примером, когда предельное соотношение, в данном случае hn 0, устанавливается § 1 ПРИМЕРЫ ПРЕДЕЛОВ посредством заключения hn между двумя границами, пределы которых определяются более просто.

n Кстати, мы получили оценку для разности hn между p и 1: эта p разность непременно меньше, чем.

n n Если 0 < p < 1, то p < 1, и можно положить n p =, 1 + hn где hn — снова положительное число, зависящее от n. Отсюда следует 1 p = <, (1 + hn)n nhn так что 0 < hn <, np n и, значит, hn стремится к нулю при n. И тогда, очевидно, p 1.

«Уравнивающее» воздействие извлечения корня степени n, выражающееся в том, что результаты извлечения корней последовательно возрастающих степеней из данного положительного числа приближаются к единице, остается в силе иногда и в том случае, если само подрадикальное выражение не остается постоянным. Мы проверим сейчас, что n n 1 при n.

Небольшое ухищрение позволит нам сослаться опять на неравен ство (2). Вместо корня степени n из n возьмем корень степени n из n.

n Полагая n = 1 + kn, где kn — положительная величина, зависящая от n, получим с помощью упомянутого неравенства n = (1 + kn)n > nkn, так что n kn < =.

n n Значит, 2 n 1 < n = (1 + kn)2 = 1 + 2kn + kn < 1 + +.

n n Правая часть этого неравенства стремится к 1 при n, и потому то n же самое можно сказать относительно n.

4. Разрывные функции как предел непрерывных. Будем рассматривать такие последовательности an, в которых члены an — не постоянные числа, а функции некоторой переменной x, именно an = fn(x).

Если только такая последовательность сходящаяся, то ее предел также есть функция x:

f(x) = lim fn(x).

Такого рода представления функции f(x) в виде предела других функций часто бывают полезны, так как «более сложные» функции таким образом приводятся к «более простым».

354 ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ НА ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ гл. VI В частности, это обнаруживается при рассмотрении некоторых явных формул, определяющих функции с разрывами. Рассмотрим, например, последовательность fn(x) =. При |x| = 1 мы получаем x2n = 1 + x2n 1 1, fn(x) =, так что fn(x). С другой стороны, при |x| < 1 мы 2 имеем x2n 0 и fn(x) 1; наконец, при |x| > 1 получается x2n и, следовательно, fn(x) 0. В итоге 1 при |x| < 1, 1 f(x) = lim = при |x| = 1, 1 + x2n 0 при |x| > 1.

Мы видим, что разрывная функция f(x) представлена как предел последовательности непрерывных рациональных функций.

Другой интересный пример в таком же роде дается последовательностью x2 x2 xfn(x) = x2 + + +... +.

1 + x2 (1 + x2)2 (1 + x2)n При x = 0 все функции fn(x) обращаются в нуль, и потому f(0) = = lim fn(0) = 0. При x = 0 выражение положительно и меньше 1 + xчем 1, и потому теория геометрической прогрессии позволяет утверждать, что fn(x) сходится при n. Предел, т. е. сумма бесконечной x2 xпрогрессии, равен =, т. е. 1 + x2. Итак, fn(x) стремится 1 - q 1 1 + xк функции f(x) = 1 + x2 при x = 0 и к f(x) = 0 при x = 0. Получается функция f(x) с устранимым разрывом в точке x = 0.

*5. Пределы при итерации. Нередко приходится рассматривать последовательности, сконструированные таким образом, что an+1 получается из an посредством тех же операций, посредством каких an получается из an-1: эта процедура позволяет вычислить любой член последовательности, если известен первый. В подобных случаях говорят о процедуре «итерации».

Примером может служить последовательность 1, 1 + 1, 1 + 2, 1 + 1 + 2,... ;

каждый член ее получается из предыдущего посредством прибавления единицы и затем извлечения квадратного корня. Таким образом, последовательность определяется соотношениями a1 = 1, an+1 = 1 + an.

Найдем ее предел. Очевидно, что при n > 1 имеем an > 1. Далее, последовательность наша монотонно возрастает, так как a2 - a2 = (1 + an) - (1 + an-1) = an - an-1.

n+1 n § 1 ПРИМЕРЫ ПРЕДЕЛОВ Раз только an > an-1, то значит, an+1 > an; но a2 - a1 = 2 - 1 > 0, и потому (с помощью индукции) отсюда следует, что an+1 > an при всех значениях n. Мы замечаем дальше, что рассматриваемая последовательность ограниченная; в самом деле, 1 + an 1 + an+1 an+1 = < = 1 + < 2.

an+1 an+1 an+В силу принципа монотонных последовательностей отсюда вытекает существование предела: an a, причем 1 < a 2. Но ясно видно, что a есть положительный корень уравнения x2 = 1 + x: действительно, соотношение a2 = 1 + an в пределе при n дает нам a2 = 1 + a. Решая n+ 1 + уравнение, мы убеждаемся, что a =.

Отсюда, наоборот, легко сделать тот вывод, что это квадратное уравнение можно решать приближенно, с какой угодно степенью точности, посредством итерационной процедуры.

Таким же образом, с помощью итераций, можно решать и другие алгебраические уравнения. Например, кубическое уравнение x3 - 3x + 1 = 0 напишем в форме x = 3 - xи затем, взяв в качестве a1 произвольное число, скажем a1 = 0, определим дальше последовательность an по формуле an+1 = ;

3 - an при этом получим 1 9 a2 = = 0,3333..., a3 = = 0,3461..., a4 = = 0,3472...

3 26 Можно показать, что последовательность имеет предел, равный корню данного кубического уравнения, а именно a = 0,3473...

Итерационные процессы в этом роде имеют громадное значение в математике, так как с их помощью большей частью даются «доказательства существования»; они полезны и в приложениях, где доставляют методы приближенного решения разнообразных проблем.

Упражнения на пределы. При n :

1) Докажите, что n + 1 - n 0. Указание: напишите разность в виде n + 1 - n · ( n + 1 + n).

n + 1 + n 2) Найдите предел + a - n2 + b.

n 3) Найдите предел n2 + an + b - n.

4) Найдите предел.

n + 1 + n n 5) Докажите, что предел n + 1 равен 1.

n 6) Каков предел an + bn, если a > b > 0 356 ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ НА ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ гл. VI n n 7) Каков предел + bn + cn, если a > b > c > 0 a n 8) Каков предел anbn + ancn + bncn, если a > > c > b 0 n 9) Мы увидим позднее (стр. 473), что e = lim 1 +. Используя это, n n найдите предел lim 1 +.

n§ 2. Пример, относящийся к непрерывности Чтобы дать формальное доказательство непрерывности данной функции, требуется проверка согласно определению, приведенному на стр. 332. Иногда соответствующая процедура оказывается очень громоздкой, но, к счастью, мы имеем право сослаться на обстоятельство, которое будет установлено в главе VIII, а именно: непрерывность следует из дифференцируемости. Так как дифференцируемость там же будет установлена систематически для всех элементарных функций, то мы (как это обычно делается) воздержимся от того, чтобы приводить скучные доказательства непрерывности функций различных типов.

Но в качестве дальнейшей иллюстрации общего определения мы все же рассмотрим здесь еще один пример, именно функцию f(x) =.

1 + xМы имеем право ограничить возможные изменения x конечным интервалом |x| M, где, впрочем, M как угодно велико. Написав 1 1 x2 - x2 (x + x1) f(x1) - f(x) = - = = (x - x1), 1 + x2 1 + x2 (1 + x2)(1 + x2) (1 + x2)(1 + x2) 1 1 мы видим, что при |x| M будет и |x1| M. Отсюда следует неравенство |f(x1) - f(x)| |x - x1| · |x + x1| |x - x1| · 2M.

Значит, разность в левой части станет меньше, чем наперед заданное положительное число, при условии, что будет |x1 - x| < =.

2M Следует отметить, что мы были слишком великодушны в этих оценках. Читатель без труда убедится, что при больших значениях x и xможно было бы удовлетвориться гораздо большими значениями.

Pages:     | 1 |   ...   | 48 | 49 || 51 | 52 |   ...   | 76 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.