WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 46 | 47 || 49 | 50 |   ...   | 76 |

1 + cos x 1 + cos x 1 + cos x Так как sin x < x, то отсюда следует, что 1 - cos x < x2, (3) или 1 - x2 < cos x.

Совместно с неравенством (2) это дает окончательно нужные нам неравенства sin x 1 - x2 < < 1. (4) x Мы предполагаем, что 0 < x < ; однако неравенства (4) справедливы sin(-x) - sin x sin x и при условии - < x < 0, поскольку = = и (-x)2 = 2 (-x) -x x x2.

Предельное соотношение (1) вытекает немедленно из неравенств (4).

sin x В самом деле, разность между и 1 меньше, чем x2, а x2 может быть x сделано меньше, чем любое число, если только взять |x| < =.

Упражнения. 1) Выведите из неравенства (3) предельное соотношение 1 - cos x 0 при x 0.

x § 3 ПРЕДЕЛЫ ПРИ НЕПРЕРЫВНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ Найдите пределы при x 0 следующих функций:

sin2 x sin x tg x sin ax sin ax x sin x sin x 2), 3), 4), 5), 6), 7), 8), x x(x - 1) x x sin bx 1 - cos x x предполагая, что x измеряется в градусах, 1 1 1 9) -, 10) -.

x tg x sin x tg x 4. Пределы при x. Если непрерывная переменная x достаточно велика, то функция f(x) = становится произвольно малой, или x «стремится к 0». В самом деле, поведение этой функции при возрастающем x по существу то же самое, что и поведение последовательности n при возрастании n. Мы вводим общее определение: функция f(x) имеет предел a при x, стремящемся к бесконечности, и записываем это в форме f(x) a при x, если, как бы мало ни было положительное число, можно к нему подобрать такое положительное число K (зависящее от ), что неравенство |f(x) - a| < выполняется при условии |x| > K (сравните с соответствующим определением на стр. 313).

В случае функции f(x) =, для которой a = 0, достаточно выбрать x K =, в чем читатель может убедиться немедленно.

Упражнения. 1) Покажите, что с точки зрения вышеприведенного определения, утверждение f(x) a при x эквивалентно следующему:

f(x) a при 0.

x Докажите, что имеют место следующие предельные соотношения при x :

x + 1 x2 + x + 2) 1 при x, 3) 1 при x, x - x2 - x - sin x x + 4) 0 при x, 5) 0 при x, x x2 + sin x sin x 6) 0 при x, 7) не имеет предела при x.

x + cos x cos x 8) Дайте определение «f(x) при x ». Приведите пример.

Имеется следующая разница между случаем функции f(x) и случаем последовательности an. В случае последовательности n может стремиться к бесконечности не иначе, как возрастая, тогда как в случае функции переменная x, неограниченно возрастая, имеет право принимать как положительные, так и отрицательные значения. Если желательно направить внимание на 338 ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ гл. VI поведение функции f(x) только при больших положительных значениях, то условие |x| > K мы должны заменить условием x > K; напротив, для случая больших по абсолютной величине отрицательных значений x вводим условие x < -K. Чтобы символизировать эти два способа «одностороннего» стремления к бесконечности, мы пишем, соответственно, x +, x -.

§ 4. Точное определение непрерывности В § 1, пункт 5, мы ввели следующее определение непрерывности функции: функция f(x) непрерывна в точке x = x1, если при стремлении x к x1 величина f(x) стремится к пределу, равному f(x1). Если мы проанализируем эту формулировку, то увидим, что она подразумевает выполнение следующих двух требований:

а) существует предел a функции f(x) при стремлении переменной x к x1, б) этот предел a должен быть равен f(x1).

Если в определении предела на стр. 326 мы подставим вместо a его значение f(x1), то условие непрерывности принимает следующий вид:

функция f(x) непрерывна при x = x1, если, как бы мало ни было положительное число, можно подобрать такое положительное число (зависящее от ), что неравенство |f(x) - f(x1)| < будет выполнено для всех x, удовлетворяющих условию |x - x1| < (ограничение x = x1, введенное в определении предела, здесь излишне, поскольку неравенство |f(x) - f(x1)| < при x = x1 удовлетворяется автоматически).

В качестве примера постараемся установить непрерывность функции f(x) = x3, скажем, в точке x1 = 0. Мы имеем f(x1) = 03 = 0.

Выберем теперь маленькое положительное число, например, =.

Мы должны показать, что, ограничивая значения x числами, достаточно близкими к 0, получим соответствующие значения функции f(x), 1 отличающиеся от 0 меньше, чем на, т. е. заключенные между 1000 и +. Мы сразу видим, что значения f(x) не выйдут из этих границ, если мы ограничим изменение x значениями, отличающимися от 0 мень 1 1 ше чем на = = ; в самом деле, если |x| <, то |f(x)| = |x3| < 1000 10 § 4 ТОЧНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ 1. Совершенно так же мы можем взять вместо = любое мень1000 шее значение = 10-4, 10-5 и т. д.; числа = будут удовлетворять нашему требованию, так как из неравенства |x| < следует неравенство |f(x)| = u = |x3| <.

Основываясь на определении непрерывности с помощью,, uможно доказать аналогично, что все полиномы, рациональные функции и тригонометрические функции непрерывны в любой точке, за исключениx1 x ем, может быть, тех изолированных значений x, около которых функции Рис. 170. Функция, непрерывная в становятся бесконечными.

точке x = xСвязывая определение непрерывности с графиком функции u = f(x), u можно придать ему следующую геометрическую форму. Выберем некоторое положительное число и начертим прямые, параллельные оси x на высоте f(x1) - и f(x1) + над ней. Тогда должно найтись такое положительное число, что вся x часть графика, лежащая внутри вертикальной полоски шириной в 2 около x1, содержится также и в горизонтальной полоске шириной в 2 окоРис. 171. Функция имеет разрыв в ло f(x1). Рис. 170 показывает функточке x = xцию, непрерывную в точке x1, в то время как рис. 171 показывает функцию, имеющую разрыв в этой точке. В последнем случае, как бы ни была узка вертикальная полоска около x1, она всегда будет содержать часть графика, лежащую вне горизонтальной полоски ширины 2.

Если я утверждаю, что данная функция u = f(x) непрерывна в точке x = x1, то это значит, что я беру на себя по отношению к вам следующие обязательства: вы можете выбрать любое положительное число, сколь угодно малое, но определенное. Тогда я обязуюсь подыскать такое положительное число, чтобы неравенство |x - x1| < влекло за собой неравенство |f(x) f(x1)| <. Но при этом я не обязуюсь найти такое число, которое подошло бы ко всякому, которое вы назовете потом: мой выбор зависит от вашего выбора. Если вы можете выбрать хоть одно, для которого я не смогу подобрать подходящего, то моя игра проиграна — мое утверждение опро340 ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ гл. VI вергнуто. Для того чтобы доказать, что я могу выполнить мое обязательство в конкретном случае некоторой функции u = f(x), мне нужно построить явно такую положительную функцию = ( ), определенную для всякого положительного числа, для которой я могу доказать, что из неравенства |x - x1| < всегда следует неравенство |f(x) f(x1)| <. В случае функции u = f(x) = x3 при x1 = 0 функцией = ( ) была =.

Упражнения. 1) Докажите, что sin x и cos x — непрерывные функции.

2) Докажите непрерывность функций и 1 + x2.

1 + xТеперь становится ясным, что определение непрерывности с помощью, не находится в противоречии с тем, что мы могли бы назвать «наблюдаемыми фактами», относящимися к функциям. Таким образом, оно соответствует основному принципу современной науки, который выдвигает в качестве критерия полезности некоторого понятия или «существования» явления (в научном смысле) возможность непосредственно его наблюдать (по крайней мере в принципе) или сводить его к фактам, доступным наблюдению.

§ 5. Две основные теоремы о непрерывных функциях 1. Теорема Больцано. Бернард Больцано (1781–1848), католический священник, знаток схоластической философии, был одним из первых, кто ввел в математический анализ современное понятие строгости. Его замечательная книжка «Paradoxien des Unendlichen» появилась в 1850 г. Здесь впервые было признано, что многие казалось бы очевидные утверждения, касающиеся непрерывных функций, могут и должны быть доказаны, если имеется в виду применять их во всей их общности.

Примером этого может служить следующая теорема о функциях одного переменного.

Непрерывная функция переменного x, положительная при некотором значении x и отрицательная при некотором другом значении x из замкнутого интервала непрерывности a x b, должна обращаться в нуль при некотором промежуточном значении x. Итак, если функция f(x) непрерывна при изменении x от a до b, и при этом f(a) < и f(b) > 0, то существует такое значение переменного x, что a < < b и f( ) = 0.

Теорема Больцано прекрасно согласуется с нашим интуитивным представлением о непрерывной кривой, которая неизбежно должна пересечь в какой-нибудь точке ось x, чтобы перейти с одной ее стороны § 5 ДВЕ ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЯХ на другую. Что, напротив, это не обязательно в случае разрывной функции, показывает рис. 157 на стр. 305.

*2. Доказательство теоремы Больцано. Дадим строгое доказательство этой теоремы. Если следовать Гауссу и другим великим математикам, то можно принять этот факт и без доказательства. Нашей целью является сведение этой теоремы к основным свойствам системы действительных чисел, в частности, к постулату Дедекинда—Кантора о стягивающихся отрезках (стр. 88). Для этого рассмотрим отрезок I, a x b, в котором задаa + b на функция f(x), и разобьем его на два средней точкой x1 =. Если в этой средней точке мы получим f(x1) = 0, то доказывать больше уже нечего. Если, однако, f(x1) = 0, то f(x1) должно быть или больше, или меньше нуля. В обоих случаях одна из половинок отрезка I будет снова y обладать тем свойством, что знаки значений функции f(x) на его концах различны.

Обозначим этот отрезок через I1.

Мы повторим этот процесс, деля a отрезок I1 пополам; тогда либо мы в x середине I1 имеем f(x) = 0, либо мы x2 x3 xможем выбрать такую половину Iотрезка I1, для которой опять знаки значений функции на двух концах Рис. 172. Теорема Больцано различны. Повторяя эту процедуру, мы, в конце концов, или найдем после конечного числа делений точку, в которой f(x) = 0, или получим последовательность стягивающихся отрезков I1, I2, I3,... В последнем случае постулат Дедекинда—Кантора обеспечивает существование в исходном отрезке I такой точки, которая принадлежит всем отрезкам сразу. Мы утверждаем, что f( ) = 0, так что и будет той точкой, существование которой нужно доказать.

До сих пор предположение о непрерывности функции f(x) использовано еще не было. Сейчас придется на него сослаться, заканчивая доказательство способом от противного. Мы докажем, что f( ) = 0, допуская противоположное и приходя затем к противоречию. Предположим, что f( ) = 0: пусть, например, f( ) = 2 > 0. Так как функция f(x) непрерывна, то мы найдем (может быть, маленький) отрезок J длины 2 с центром в точке — такой, что значение функции f(x) во всем промежутке J отличается от f( ) меньше чем на. Затем, так как f( ) = 2, то мы можем быть уверены, что f(x) > в каждой точке J, т. е. что f(x) > 0 в отрезке J. Но отрезок J фиксирован, и если n достаточно велико, то маленький отрезок In должен непременно попасть внутрь J, поскольку последовательность длин In стремится к нулю.

В этом заключается противоречие: в самом деле, из того, каким образом был выбран промежуток In, вытекает, что функция f(x) имеет противоположные знаки в двух конечных точках каждого промежутка In, так что функция f(x) 342 ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ гл. VI принимает отрицательные значения где-то в промежутке J. Отсюда следует нелепость предположения f( ) > 0, а также (совершенно таким же образом) f( ) < 0; следовательно, доказано, что f( ) = 0.

3. Теорема Вейерштрасса об экстремальных значениях.

Другой существенный и интуитивно ясный факт, касающийся непрерывных функций, был сформулирован Карлом Вейерштрассом (1815–1897), который, возможно, более чем кто-либо другой является ответственным за современное стремление к строгости в математическом анализе. Эта теорема утверждает: если функция f(x) непрерывна в интервале I, a x b, не исключая также и конечных точек интервала a и b, то в интервале I должна существовать по крайней мере одна точка, в которой функция f(x) достигает своего наибольшего значения M, и другая точка, в которой функция f(x) достигает своего наименьшего значения m. Говоря интуитивно, это значит, что график непрерывной функции u = f(x) должен иметь по крайней мере одну наивысшую и одну наинизшую точки.

Существенно отметить, что это утверждение может быть неверным, если функция u = f(x) перестает быть непрерывной в конечных точках промежутка I. Например, функция f(x) = не имеет наибольшего x значения в промежутке 0 < x 1, хотя она и непрерывна внутри промежутка. И вместе с тем разрывная функция вовсе не обязательно достигает наибольшего и наименьшего значений, даже если она ограниченная.

Рассмотрим, например, «чрезвычайно» разрывную функцию f(x), определенную следующим образом:

f(x) = x при иррациональном x, f(x) = при рациональном x в промежутке 0 x 1. Все значения, которые принимает эта функция, заключены между 0 и 1. Среди них имеются сколь угодно близкие к 0 и 1: они получаются, если x будем выбирать иррациональным и достаточно близким к 0 или 1. Но f(x) никогда не может быть равным ни 0, ни 1, поскольку для рациональных x мы имеем f(x) =, а для иррациональных мы имеем f(x) = x. Итак, значения 0 и 1 ни в какой точке не достигаются.

* Теорема Вейерштрасса может быть доказана почти таким же образом, как и теорема Больцано. Разобьем интервал I на два замкнутых полуинтервала I и I и фиксируем наше внимание на I, как на интервале, в котором следует искать наибольшее значение функции f(x), если только в интервале I не найдется такой точки, что f( ) больше всех значений функции f(x) в интервале I ; в этом последнем случае мы выберем интервал I.

Pages:     | 1 |   ...   | 46 | 47 || 49 | 50 |   ...   | 76 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.