WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 45 | 46 || 48 | 49 |   ...   | 76 |

Что же это за число Неравенство pn < 2 < qn дает на это полный ответ при развертывании последовательности вложенных интервалов, которые стягиваются к точке 2. И все же этот ответ оставляет желать еще чего-то, поскольку он ничего не говорит о природе как действительного числа: является ли оно рациональным или иррациональным, алгебраическим или трансцендентным Как мы уже указывали на стр. 127, число есть число трансцендентное, а следовательно, и иррациональное. В противоположность доказательству для e доказательство иррациональности, впервые данное Ламбертом (1728–1777), в достаточной мере трудно и здесь приведено не будет. Однако ряд сведений о числе мы можем сообщить. Имея в виду, что целые числа являются существенной основой математики, мы можем задать вопрос:

связывается ли число сколько-нибудь просто и непосредственно с целыми числами Десятичное разложение числа, хотя и вычисленное с несколькими сотнями знаков, не обнаруживает ни малейшей закономерности. Это и не удивительно: ведь и число 10 не имеют между собой ничего общего. Однако Эйлер (XVIII в.) и другие нашли изящные выражения, связывающие число с целыми числами с помощью бесконечных рядов и произведений. Простейшей из таких формул является, вероятно, следующая:

1 1 = 1 - + - +..., 4 3 5 выражающая как предел при возрастающем n сумм 1 sn = 1 - + -... + (-1)n 1.

3 5 2n + Эту формулу мы выведем в главе VIII. Вот другой бесконечный ряд, который может служить для вычисления :

1 1 1 1 1 = + + + + + +...

6 12 22 32 42 52 И еще одно удивительное выражение для было открыто английским математиком Джоном Уоллисом (1616–1703). Его формула утверждает следующее:

2 2 4 4 6 6 2n 2n · · · · · ·... · · при n.

1 3 3 5 5 7 2n - 1 2n + 1 В сокращенном виде она часто записывается так:

2 2 4 4 6 6 8 = · · · · · · ·...

2 1 3 3 5 5 7 7 (выражения, подобные стоящему в правой части, называются бесконечными произведениями).

Доказательство последних двух формул можно найти в любом достаточно полном курсе анализа.

§ 2 ПРЕДЕЛЫ *5. Непрерывные дроби. Интересные бесконечные процессы возникают в связи с непрерывными дробями. Конечная непрерывная дробь, такая как 57 = 3 +, 2 + 1 + представляет собой некоторое рациональное число. На стр. 67 мы показали, что каждое рациональное число может быть выражено в такой форме с помощью алгоритма Евклида. Однако в случае иррациональных чисел алгоритм не заканчивается после конечного числа операций. Напротив, он ведет к последовательности все более «длинных» дробей, из которых каждая представляет собой рациональное число.

В частности, все действительные алгебраические числа (см. стр. 123) степени 2 могут быть выражены таким образом. Рассмотрим, например, число x = 2 - 1, являющееся корнем квадратного уравнения x2 + 2x = 1, или x =.

2 + x Если в правой части заменить x снова дробью x =, то это дает 2 + x выражение x =, 2 + 2 + x а затем x = 2 + 2 + 2 + x и т. д., так что после n «шагов» получим равенство x = 2 + 2 + (n «шагов»).

2 +...

· · · + 2 + x Если n стремится к бесконечности, мы получим «бесконечную непрерывную дробь» 2 = 1 +.

2 + 2 + 2 +...

Эта замечательная формула связывает число 2 с целыми числами гораздо удивительным образом, чем это делает десятичное разложеболее ние 2, которое не обнаруживает никакой правильности в чередовании десятичных знаков.

Для положительного корня любого квадратного уравнения вида x2 = ax + 1, или x = a +, x 330 ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ гл. VI мы получаем разложение x = a +.

a + a + a +...

Например, полагая a = 1, мы находим 1 x = (1 + 5) = 1 +.

1 + 1 + 1 +...

Эти примеры являются частными случаями общей теоремы, утверждающей, что действительные корни квадратного уравнения с целыми коэффициентами разлагаются в периодическую непрерывную дробь, подобно тому как рациональные числа разлагаются в периодические десятичные дроби.

Эйлер сумел найти почти столь же простые разложения в непрерывные дроби для чисел e и. Приведем их без доказательств:

e = 2 + ;

1 + 2 + 1 + 1 + 4 + 1 + 1 + 6 +...

1 e = 2 + ; =.

4 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 2 + 4 + 2 + 5 +...

2 + 2 +...

§ 3. Пределы при непрерывном приближении 1. Введение. Общие определения. В § 2, пункт 1, нам удалось дать точное определение утверждению: «Последовательность an (т. е.

функция an = F (n) натурального переменного n) имеет предел a при n, стремящемся к бесконечности». Теперь мы дадим соответствующее определение утверждению: «Функция u = f(x) непрерывной переменной x имеет предел a при стремлении x к значению x1».

В интуитивной форме понятие предела при непрерывном приближении независимого переменного x употреблялось уже в § 1, пункт 5, когда § 3 ПРЕДЕЛЫ ПРИ НЕПРЕРЫВНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ нужно было установить, непрерывна ли рассматриваемая функция в данной точке.

x + xНачнем опять с частного примера. Функция f(x) = определена x для всех значений x, не равных нулю; при этом последнем значении x знаменатель уничтожается. Если мы вычертим график функции y = f(x) для значений x в окрестности точки 0, то станет очевидным, что при x, «стремящемся» к 0 с любой стороны, соответствующие значения u = f(x) «стремятся» к пределу 1. Для того чтобы дать точное описание этого факта, найдем явную формулу разности между значением функции f(x) и постоянного числа 1:

y x + x3 x + x3 - x xf(x) - 1 = - 1 = =.

x x x Если мы условимся рассматривать лишь значения x, близкие к 0, но не равные самому нулю (для которого функция f(x) даже не определена), мы можем разделить числитель и знаменатель на x и получить более простую формулу x O f(x) - 1 = x2.

x + xРис. 168. u = x Ясно, что эту разность мы можем сделать сколь угодно малой, ограничивая изменение переменной x достаточно малой окрестностью значения x = 0. Так, 1 1 например, при x = ± имеем f(x) - 1 = ; при x = ± имеем f(x) 10 100 1 =, и т. д. Вообще, если есть некоторое положительное число, то, как бы мало оно ни было, разность между f(x) и 1 будет меньше чем, если только расстояние точки x от точки 0 меньше числа =.

В самом деле, если |x| <, то |f(x) - 1| = |x2| <.

Аналогия с нашим определением предела последовательности полная.

На стр. 313 мы дали определение: последовательность an имеет предел a при n, стремящемся к бесконечности, если каждому положительному числу, как бы мало оно ни было, можно поставить в соответствие такое целое N (зависящее от ), что неравенство |an - a| < выполняется для всех n, удовлетворяющих неравенству n N.

В случае функции f(x) непрерывного переменного x при x, стремящемся к некоторому конечному значению x1, мы просто слова «достаточно 332 ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ гл. VI большое n» (что характеризуется числом N) заменяем словами «достаточно близко к x1» (что характеризуется числом ) и приходим к следующему определению предела при непрерывном приближении, впервые данному Коши около 1820 г.: функция f(x) имеет предел a, когда x стремится к значению x1, если каждому положительному числу, как бы мало оно ни было, можно поставить в соответствие такое положительное число (зависящее от ), что |f(x) - a| < для всех значений x = x1, удовлетворяющих неравенству |x - x1| <.

Если это имеет место, принято писать f(x) a при x x1.

x + xВ случае функции f(x) = мы выше показали, что эта функx ция f(x) имеет предел 1 при x, стремящемся к значению x1 = 0. В этом случае достаточно было всегда выбирать =.

2. Замечания по поводу понятия предела. - -определение предела — результат столетних попыток и блужданий; оно кратко воплощает результат неустанных усилий поставить понятие предела на здоровую математическую основу. Важнейшие понятия анализа — производная и интеграл — могут быть определены не иначе, как с помощью перехода к пределу. Но ясное понимание и строгое определение самого понятия предела долгое время казались непреодолимо трудными.

При изучении движения в частности и какого бы то ни было изменения в общем случае математики XVII и XVIII столетий принимали, как нечто достаточно наглядное и не подлежащее дальнейшему анализу, концепцию величины x, меняющейся и в своем непрерывном течении приближающейся к предельному значению x1. Они рассматривали другую величину u = f(x), зависящую от времени или от какой-нибудь другой зависящей от времени величины. Оставалось все же проблемой:

какой точный математический смысл следует приписывать представлению о том, что f(x) «стремится» или «приближается» к определенному значению a, когда x движется к x1 Однако еще со времен Зенона и его парадоксов все попытки дать точную математическую формулировку интуитивному физическому или метафизическому понятию непрерывного движения были безуспешными. Нет затруднений в продвижении шаг за шагом по дискретной последовательности значений a1, a2, a3,... Но когда приходится иметь дело с непрерывной переменной x, пробегающей целый интервал значений на числовой оси, то описание того, как x «приближается» к заданному § 3 ПРЕДЕЛЫ ПРИ НЕПРЕРЫВНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ значению x1, затруднено тем, что принимаемые значения из интервала не могут быть указаны последовательно в порядке их возрастания.

В самом деле, точки прямой представляют везде плотное множество, и не существует точки, «следующей» за данной. Остается неизбежное расхождение между интуитивной идеей и точным математическим языком, предназначенным для того, чтобы описывать ее основные линии в научных, логических терминах. Парадоксы Зенона ярко обнаруживают это несоответствие.

Существенным достижением Коши является то, что он ясно осознал, что, поскольку дело касается математических понятий, всякая ссылка на интуитивное представление о непрерывном движении должна быть отброшена. Как случается нередко, подлинный научный прогресс был осуществлен тогда, когда последовал отказ от попыток прибегать к метафизическим объяснениям и было принято решение вести рассуждение, оставаясь на почве строго математических понятий, соответствующих «наблюдаемым фактам» в физике. Если мы проанализируем логически, что надлежит понимать под «непрерывным приближением» и какие существуют способы для того, чтобы в каждом отдельном случае проверить, имеет ли место таковое, то мы вынуждены будем принять именно то самое определение, которое дано Коши, и никакое иное. Это определение — статическое; оно не опирается на интуитивную идею движения.

Более того, только такое статическое определение позволяет подвергнуть точному математическому анализу само непрерывное движение и разрешает парадоксы Зенона, по крайней мере в той их части, которая относится к математике.

В определении с помощью, независимое переменное не «движется»; оно не «стремится» и не «приближается» к пределу x1 в каком бы то ни было физическом смысле. Правда, эти обороты речи, как и символ, сохраняются, причем математик вовсе не обязан отказываться от тех, в общем-то весьма полезных, интуитивных представлений, которые с ними связываются. Но когда в частном случае нужно дать ответ на вопрос, существует предел или не существует, то приходится прибегнуть именно к определению с помощью,. Спрашивать о том, насколько удовлетворительно это определение соответствует интуитивному «динамическому» представлению о стремлении к пределу, можно с таким же правом, как и о том, насколько удовлетворительно аксиомы геометрии описывают то, что мы называем пространством (в интуитивном смысле).

Обе формулировки в какой-то степени предоставляют возможность работать воображению, и вместе с тем обе они создают адекватную математическую основу для дальнейшего логического построения.

Как и в случае предела последовательности, ключ к правильному пониманию определения Коши лежит в обращении «естественного» порядка, в котором рассматриваются переменные. Прежде мы отмечаем 334 ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ гл. VI границу для зависимого переменного, а уже потом стремимся определить подходящую границу для независимого переменного. Когда мы говорим, что «f(x) a при x x1», то лишь сокращенно высказываем ту мысль, что этот процесс может быть выполнен для любого положительного числа. В частности, ни одна из частей этого утверждения (например, «x x1») не имеет смысла сама по себе.

Еще нужно подчеркнуть следующее. Заставляя x «стремиться» к x1, мы можем позволить x быть больше или меньше, чем x1, но возможность равенства явно исключается требованием x = x1: x стремится к x1, но никогда не принимает значения x1. Таким образом, мы можем применять наше определение к функциям, не определенным вовсе при x = x1, но имеющим тот или иной предел при x, стремящемся к x1, например, к x + xфункции f(x) =, рассмотренной на стр. 325. Исключение значеx ния x = x1 как раз соответствует тому факту, что, рассматривая после довательности an при n например, предел an =, мы никогда n не подставляем в формулу значения n =.

Однако, что касается функции f(x), то когда x стремится к x1, ей не запрещено стремиться к пределу a таким образом, что при некоторых значениях x = x1 осуществляется равенство f(x) = a. Например, x рассматривая функцию f(x) = при x, стремящемся к 0, мы никогда x не позволяем x быть равным 0, но зато, напротив, равенство f(x) = справедливо при всех x = 0, и предел a существует и равен 1 в точном согласии с определением.

sin x 3. Предел. Если x обозначает угол в радианном измерении, x sin x то выражение определено для всех значений x, за исключением x значения x = 0, при котором оно принимает вид не имеющего смысла символа. С помощью таблиц тригонометрических функций читатель sin x может подсчитать значение частного для малых значений x. Эти x таблицы обычно даются для градусного измерения углов; мы напоминаем (см. § 1, пункт 2), что градусная мера x связана с радианной мерой y следующим соотношением: x = y = 0,01745y (с точностью до пятого десятичного знака). Из четырехзначных таблиц мы находим следующие § 3 ПРЕДЕЛЫ ПРИ НЕПРЕРЫВНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ значения:

sin x x sin x x 10 0,1745 0,1736 0,5 0,0873 0,0872 0,2 0,0349 0,0349 1,1 0,0175 0,0175 1,Хотя точность чисел здесь ограничивается четырьмя знаками, все же эти данные приводят к мысли, что sin x 1 при x 0. (1) x Сейчас мы дадим строгое доказательство этому предельному соотношению.

336 ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ гл. VI В силу определения тригонометрических функций с помощью единичного круга, мы имеем следующие соотношения для величины x, являющейся радианной мерой угла BOC (см. рис. 169) при ограничении 0 < x <.

Площадь треугольника OBC = · 1 · sin x.

A C Площадь кругового сектора OBC = · x.

Площадь треугольника OBA = · 1 · B O tg x.

Отсюда вытекает двойное неравенство sin x < x < tg x.

Деля на sin x, получим, далее, Рис. 169. Основное триx гонометрическое неравен1 < <, sin x cos x ство или sin x cos x < < 1. (2) x Но, с другой стороны, 1 + cos x 1 - cos2 x sin2 x 1 - cos x = (1 - cos x) · = = < sin2 x.

Pages:     | 1 |   ...   | 45 | 46 || 48 | 49 |   ...   | 76 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.