WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 43 | 44 || 46 | 47 |   ...   | 76 |

Это обозначение употребляется также и в том случае, если, как это часто бывает, две величины x и y явно указываются самими условиями задачи как независимые переменные. Например, давление u газа есть функция объема x и температуры y; площадь u треугольника есть функция u = = f(x, y, z) длин трех его сторон x, y, z.

Рис. 159. Полусфера Рис. 160. Гиперболический параболоид Так же как график дает геометрическое представление функции одного переменного, можно получить и геометрическое представление функции u = f(x, y) двух переменных в виде поверхности в трехмерном пространстве с переменными x, y, u в качестве координат. Каждой точке x, y в плоскости x, y мы сопоставляем точку пространства с координатами x, y и u = f(x, y). Таким образом, u = 1 - x2 - yпредставляется поверхностью сферы с уравнением u2 + x2 + y2 = 1, 314 ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ гл. VI линейная функция u = ax + by + c — плоскостью, функция u = xy — гиперболическим параболоидом, и т. д.

Можно дать и другое представление функции u = f(x, y), притом не выходя за пределы плоскости x, y, именно с помощью линий уровня (горизонталей). Вместо того чтобы рассматривать трехмерный «ландшафт» поверхности u = f(x, y) в трехмерном пространстве, мы вычерчиваем, как это иногда делают на географических картах, «линии уровня» функции, являющиеся проекциями на плоскость x, y всех точек поверхности, находящихся на одном и том же расстоянии u по вертикали от плоскости x, y. Эти линии уровня имеют уравнения вида f(x, y) = c, где c постоянно для каждой кривой. Так, например, функция u = x + y характеризуется рис. 163. Линии уровня поверхности сферы представляют собой семейство концентрических окружностей. Функция u = x2 + y2, которой соответствует параболоид вращения, характеризуется также окружностями (рис. 165). Числами, отнесенными к каждой кривой, можно указывать высоту u = c.

u y x y x Рис. 161. Поверхность вида Рис. 162. Линии уровня поверхноu = f(x, y) сти, изображенной на рис. Функции нескольких переменных встречаются в физике при описании движения непрерывной среды или каких угодно протяженных объектов. Рассмотрим хотя бы струну, натянутую между двумя точками на оси x и затем деформированную таким образом, что частица с координатой x отодвинута на некоторое определенное расстояние перпендикулярно к оси. Если струна будет отпущена, то она придет в движение, т. е.

начнет колебаться; тогда точка (частица) струны с начальной координатой x в момент времени t будет находиться на расстоянии u = f(x, t) от § 1 НЕЗАВИСИМОЕ ПЕРЕМЕННОЕ И ФУНКЦИЯ оси x. Движение струны будет полностью определено, если только будет известна функция u = f(x, t).

Определение непрерывности, данное для функций одного переменного, распространяется непосредственно и на функции нескольких переменных. Говорят, что функция u = f(x, y) непрерывна в точке x = x1, y = y1, если значение f(x, y) всегда стремится к значению f(x1, y1), когда точка x, y приближается к точке x1, y1 по любому направлению или любым спосо- y бом.

Впрочем, имеется одно существенное различие между функциями одного и нескольких переменных. В последнем случае понятие обратной функции теряет смысл, так как мы не x можем решить уравнение u = f(x, y), например u = x + y, так, чтобы каждое из независимых переменных x и y было бы выражено с помощью только одного переменного u. Но это различие между функциями одного и Рис. 163. Линии уровня поверхнонескольких переменных исчезает, ессти u = x + y ли мы перейдем, далее, к рассмотрению преобразований или отображений.

u x y x y Рис. 164. Параболоид враще- Рис. 165.

ния Соответствующие линии уровня 316 ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ гл. VI *7. Функции и преобразования. Соответствие между точками некоторой прямой l, характеризуемыми координатой x на этой прямой, и точками некоторой другой прямой l, характеризуемыми координатой x, есть не что иное, как некоторая функция x = f(x). В случае взаимно однозначного соответствия имеем также и обратную функцию x = g(x ).

Простейшим примером является проективное преобразование, которое задается в самом общем случае дробно-линейной функцией вида ax + b x = f(x) =, cx + d где a, b, c, d — постоянные (мы это утверждаем здесь без доказательства).

-dx + b В этом примере обратная функция имеет вид x =.

cx - a В случае, если устанавливается отображение плоскости с коорди натной системой x, y на другую плоскость с координатной системой x, y, соотношение между точками не может быть задано одной функцией x = f(x); здесь приходится иметь дело с двумя функциями двух переменных x = f(x, y), y = g(x, y).

Например, проективное преобразование задается системой функций ax + by + c x =, gx + hy + k dx + ey + f y =, gx + hy + k где a, b,..., k — постоянные, а x, y и x, y, как сказано, — соответственные координаты в двух плоскостях. Теперь идея обратного отображения снова приобретает смысл. Мы просто должны решить данную систему уравнений относительно x и y, выразив их через x и y. Геометрически это сводится к осуществлению обратного отображения плоскости на плоскость. Это отображение будет однозначно определено, если соответствие между точками обеих плоскостей взаимно однозначное.

Преобразования плоскости, изучаемые в топологии, задаются не простыми алгебраическими уравнениями, а произвольной системой двух функций x = f(x, y), y = g(x, y), при условии, чтобы ими определялось взаимно однозначное и взаимно непрерывное преобразование.

Упражнения. *1) Покажите, что преобразование инверсии (стр. 162– x 165) в единичном круге аналитически задается уравнениями x =, x2 + yy y =. Найдите обратное преобразование. Докажите аналитически, x2 + y§ 2 ПРЕДЕЛЫ что путем инверсии совокупность прямых и окружностей преобразуется в совокупность опять-таки прямых и окружностей.

ax + b 2) Докажите, что преобразованием x = четверка точек на оси x cx + d переводится в четверку точек на оси x с тем же двойным отношением (см.

стр. 216).

§ 2. Пределы 1. Предел последовательности an. Определение непрерывности функции, как мы это уже видели в § 1, основывается на понятии предела.

До сих пор мы пользовались этим понятием в более или менее интуитивной форме. В настоящем и последующих разделах мы введем его более систематическим путем. Поскольку последовательности несколько проще, чем функции непрерывного переменного, мы начнем с изучения последовательностей.

В главе II мы имели дело с числовыми последовательностями an и изучали их пределы при условии, что n неограниченно увеличивается или «стремится» к бесконечности. Например, последовательность с общим членом an = :

n 1 1 1,,,...,,... (1) 2 3 n при неограниченном возрастании n имеет предел 0:

0 при n. (2) n Постараемся выразить точно, что под этим подразумевается. При продвижении по последовательности все дальше и дальше мы видим, что члены становятся все меньше и меньше. После 100-го члена члены уже 1 меньше, после 1000-го — меньше, и т. д. Ни один из членов не 100 равен в действительности 0. Но если мы продвинемся достаточно далеко по последовательности (1), то мы можем быть уверены, что каждый из ее членов будет отличаться от 0 сколь угодно мало.

В этом объяснении может смущать единственно то, что смысл подчеркнутых слов не вполне ясен. Что значит «достаточно далеко» и что значит «сколь угодно мало» Если мы сумеем придать точный смысл этим выражениям, то этим самым будет установлен точный смысл понятия предела последовательности.

Геометрическая интерпретация поможет нам разобраться в интересующем нас вопросе. Если мы изобразим члены последовательности (1) в виде соответствующих им точек на числовой оси, то заметим, что члены последовательности в нашем примере «накопляются» или «сгущаются» около точки 0. Выберем на числовой оси некоторый интервал I с центром в точке 0 и общей длиной 2, так чтобы интервал простирался на 318 ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ гл. VI расстояние с каждой стороны от точки 0. Если мы возьмем = 10, то, конечно, все члены an = нашей последовательности будут лежать n внутри интервала I. Если же мы возьмем =, то несколько первых членов окажутся лежащими вне интервала I; однако все члены, начиная с a11, а именно 1 1 1,,,,..., 11 12 13 будут лежать внутри I. Даже при = лишь первая тысяча членов последовательности не попадет внутрь интервала I, тогда как бесконечное множество членов, начиная с a1001, a1001, a1002, a1003,...

окажется внутри него. Ясно, что это рассуждение справедливо для любого положительного числа : если положительное выбрано, то независимо от того, как оно мало, мы всегда можем подобрать настолько большое целое число N, что <.

N Отсюда следует, что все члены an последовательности, для которых n N, будут лежать внутри интервала I, и только конечное число членов a1, a2,..., aN-1 может лежать вне его. Основные моменты здесь таковы: во-первых, длина интервала I определяется произвольно посредством выбора. Затем может быть подобрано подходящее целое число N. Этот процесс первоначального выбора числа и последующего подбора целого числа N может быть осуществлен при любом положительном независимо от его малости; тем самым устанавливается точный смысл утверждения, что «все члены последовательности (1) отличаются от 0 сколь угодно мало, если только мы достаточно далеко продвинемся по последовательности».

Подведем итоги: пусть — какое-нибудь положительное число. Тогда мы можем подобрать такое целое положительное число N, что все члены an последовательности (1), для которых n N, будут лежать внутри интервала I длины 2 с центром в точке. Таков смысл предельного соотношения (2).

Опираясь на этот пример, мы можем теперь дать точное определение следующего общего утверждения: «Последовательность действительных чисел a1, a2, a3,... имеет предел a». Число a мы заключаем внутрь некоторого интервала I числовой оси: если этот интервал мал, то некоторые числа an могут лежать вне этого интервала, но как только n становится достаточно большим, скажем, б или равным некоторому ольшим числу N, то все числа an, для которых n N, должны лежать внутри § 2 ПРЕДЕЛЫ интервала I. Конечно, может случиться, что придется брать очень большое целое число N, если интервал I выбран очень малым; однако, как бы мал ни был этот интервал I, такое целое число N должно существовать, раз предполагается, что последовательность имеет предел.

Тот факт, что последовательность an имеет предел a, выражается символически следующей записью:

lim an = a при n, lim an = a, n или просто an a при n («предел an равен a», или «an стремится к пределу a»). Если последовательность имеет предел в указанном смысле, она называется сходящейся. Определение сходимости последовательности an можно сформулировать более сжато, а именно следующим образом:

Последовательность a1, a2, a3,... имеет предел a при неограниченном возрастании n, если каждому сколь угодно малому положительному числу можно поставить в соответствие такое целое положительное число N (зависящее от ), что неравенство |a - an| < (3) выполняется для всех значений n N.

Такова общая, «абстрактная» формулировка понятия предела последовательности. Немудрено, если тот, кто встречается с ней впервые, не может сразу схватить и исчерпать ее содержание. К несчастью, авторы некоторых руководств, стоящие на позиции, граничащей со снобизмом, преподносят читателю это определение без тщательной подготовки, как будто снизойти до разъяснений ниже достоинства математика.

Определение предполагает своего рода дискуссию между двумя лицами A и B. A выдвигает требование: заданная величина a должна быть приближена числами an так, чтобы ошибка не превышала границы = ; B отвечает на это требование указанием, что существует такое целое N = N1, что все члены an, следующие за aN, удовлетворяют этому условию. Тогда A становится более требовательным и предлагает новую, меньшую границу = ; B снова встречает это требование подбором некоторого, может быть значительно большего, целого числа N = N2, обладающего аналогичным свойством, и т. д. Если B может удовлетворить A независимо от того, какую малую границу назначает A, то мы имеем дело с положением, которое кратко выражается соотношением: an a.

Имеется определенная психологическая трудность в том, чтобы составить правильное представление о понятии предела. Наша интуиция 320 ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ гл. VI предполагает «динамическую» идею предела как результат процесса «движения»: мы продвигаемся по ряду целых чисел 1, 2, 3,..., n,...

и при этом наблюдаем за поведением последовательности an. Мы ждем, что числа an должны все меньше и меньше отличаться от числа a. Но эта «естественная» точка зрения не поддается ясной математической формулировке. Чтобы прийти к точному определению, надо обратить ход рассуждения: вместо того чтобы прежде всего обращаться к независимому переменному n, а затем уже к переменному an, мы должны основывать наше определение на том, что следует делать, если мы по существу хотим проконтролировать утверждение an a. При такой постановке вопроса мы прежде всего должны выбрать произвольно малый интервал около a и затем решить: можем ли мы добиться, чтобы an с помощью выбора достаточно большого n в него попало. Затем, вводя символы и N для обозначения «произвольно малого интервала» и «достаточно большого n», мы приходим к точному определению предела.

Обращаясь теперь к другому примеру, рассмотрим последовательность 1 2 3 4 n,,,,...,,..., 2 3 4 5 n + n где an =. Я утверждаю, что lim an = 1. Если вы выберете интервал n + с центром в точке 1 и возьмете =, то я смогу удовлетворить вашему требованию (3), выбрав N = 10; в самом деле, n n + 1 - n 1 0 < 1 - = = < n + 1 n + 1 n + 1 при n 10. Если вы усилите ваше требование, выбирая =, то я снова могу ему удовлетворить, выбирая N = 1000; и так далее — для любого положительного числа, которое вы пожелаете выбрать, независимо от его малости: действительно, мне только нужно будет выбрать любое целое N, большее чем. Этот процесс, заключающийся, во-первых, в выборе произвольно малого интервала длины 2 вокруг числа a и, во-вторых, в доказательстве того, что все члены последовательности an находятся на расстоянии, меньшем чем от a, раз только мы продвинемся достаточно далеко по последовательности, и есть не что иное, как подробное описание того факта, что an a. Если члены последовательности a1, a2, a3,... представлены в виде бесконечных десятичных дробей, то утверждение lim an = a обозначает попросту то, что для любого целого положительного m первые m цифр числа an совпадают с первыми m цифрами бесконечного десятичного разложения числа a, раз только n выбрано достаточно боль§ 2 ПРЕДЕЛЫ шим, скажем, б некоторого значения N (зависящего от m).1 Это ольшим просто соответствует выбору в форме 10-m.

Pages:     | 1 |   ...   | 43 | 44 || 46 | 47 |   ...   | 76 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.