WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 42 | 43 || 45 | 46 |   ...   | 76 |

Пожалуй, наиболее простым типом математической функции одного независимого переменного являются многочлены (полиномы), имеющие вид u = f(x) = a0 + a1x + a2x2 +... + anxn, с постоянными «коэффициентами» a0, a1,..., an. За ними следуют рациональные функции, такие как 1 1 2x + u =, u =, u =, x 1 + x2 x4 + 3x2 + которые являются отношениями многочленов, и затем тригонометриsin x ческие функции cos x, sin x и tg x =, которые определяются лучше cos x 2 всего с помощью единичного круга в плоскости, : + = 1. Если точка P (, ) движется по этой окружности и если x есть направленный угол, на который нужно повернуть положительную ось x, чтобы она совпала с радиусом OP, то cos x и sin x являются координатами точки P :

cos x =, sin x =.

§ 1 НЕЗАВИСИМОЕ ПЕРЕМЕННОЕ И ФУНКЦИЯ 2. Радианная мера углов. Во всех практических применениях углы измеряются с помощью единиц, полученных от деления прямого угла на некоторое равное число частей. Если это число равно 90, то единицей измерения является обычный «градус». Деление на 100 частей подходило бы близко к нашей десятичной системе, но принцип измерения при этом оставался бы прежним. В теоретических же применениях выгоднее использовать по существу совершенно другой метод определения величины угла, а именно, так называемое радианное измерение.

Многие важные формулы, содержащие тригонометрические функции углов, имеют в этой системе измерения более простой вид, чем при измерении углов в градусах.

Для того чтобы найти радианную меру некоторого угла, опишем из вершины этого угла как из центра круг радиуса 1.

Длину дуги s той части нашей окружности, которая расположена между сторонами угла, назовем радианной мерой угла. Так как длина всей окружности единичного радиуса равна 2, то «полный» угол в имеет радианную меру 2. Отсюда следует, что если через x обозначить радианную меру угла, а через y его величину в градусах, то x и y связаны y x соотношением =, или 360 y = 180x.

Так, например, угол в 90 (y = 90) имеет радианной мерой x = =, 180 и т. д. С другой стороны, угол в 1 радиан (угол, радианной мерой которого является x = 1) есть центральный угол, стягиваемый дугой, длина которой равна радиусу окружности; градусная мера такого угла содержит y = = 57, 2957... градусов. Для того чтобы от радианной меры угла x перейти к его градусной мере y, нужно величину x умножить на число.

Радианная мера x некоторого угла равна также двойной площади A сектора, вырезаемого этим углом из круга единичного радиуса; в самом деле, эта площадь относится ко всей площади круга так, как длина дуги x A относится к длине всей окружности: = ; итак, x = 2A.

Будем впредь под углом x подразумевать угол, радианная мера которого есть x. Угол, градусное измерение которого равно x, будем в дальнейшем, чтобы устранить всякую неясность, обозначать через x.

Позднее станет совершенно очевидным, насколько выгодно пользоваться радианным измерением при разного рода аналитических операциях. Однако следует признать, что для практического употребления оно скорее неудобно. В самом деле, так как — иррациональное число, то, сколько раз мы ни откладывали бы по кругу единичный угол, т. е.

угол с радианной мерой, равной 1, мы никогда не вернемся в начальную 306 ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ гл. VI точку. Обычное же измерение таково, что после откладывания 1 градуса 360 раз или 90 градусов 4 раза мы возвращаемся в исходную точку.

3. График функции. Обратные функции. Часто характер функции чрезвычайно ясно выражается с помощью простого графика.

Если (x, u) — координаты на плоскости относительно двух взаимно перпендикулярных осей, то линейные функции u = ax + b изображаются прямыми линиями; квадратические функции u = ax2 + bx + c — параболами; функция u = x — гиперболой, и т. д. По определению, график некоторой функции u = f(x) состоит из всех тех точек плоскости, координаты которых (x, u) связаны уравнением u = f(x). Функции sin x, cos x, tg x представлены графически на рис. 151 и 152. Эти графики наглядно показывают, как возрастают или убывают функции при изменении x.

u x O Рис. 151. Графики функций sin x и cos x Одним из важных методов, служащих для введения новых функций, является следующий. Исходя из некоторой известной функции F (X), можно попытаться решить уравнение U = F (X) относительно X — так, чтобы X было выражено как функция от U:

X = G(U).

Тогда функция G(U) называется обратной относительно функции F (X).

Этот процесс приводит к результату однозначно только в том случае, если функция U = F (X) определяет взаимно однозначное отображение области изменения X на область изменения U, т. е. если неравенство X1 = X2 всегда влечет за собой неравенство F (X1) = F (X2).

Только при этом условии каждому значению U будет соответствовать единственное значение X. Здесь будет кстати вспомнить приведенный выше пример, в котором роль независимого переменного X играл любой треугольник на плоскости, а в качестве функции U = § 1 НЕЗАВИСИМОЕ ПЕРЕМЕННОЕ И ФУНКЦИЯ u x O Рис. 152. u = tg x F (X) рассматривался его периметр. Очевидно, что такое отображение множества S треугольников на множество T положительных чисел не является взаимно однозначным, так как имеется бесконечное количество различных треугольников с одним и тем же периметром.

Итак, в этом случае соотношение U = u F (X) не может служить для однозначного определения обратной функции. С другой стороны, функция m = 2n, где n пробегает множество S всех целых чисел, а m — множество T четных чисел, напротив, дает взаимно однозначное соответствие между x двумя множествами, и обратная функO m ция n = будет определена. В качестве другого примера данного однозначного отображения приведем функцию u = x3.

Когда x пробегает множество всех дейРис. 153. u = xствительных чисел, u тоже пробегает множество всех действительных чисел, принимая каждое значение один и только один раз. Однозначно определенная в этом примере обратная функция имеет вид x = u.

В случае функции u = x308 ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ гл. VI обратная функция не определена однозначно. В самом деле, в силу того, что u = x2 = (-x)2, каждому положительному значению u соответству ют два разных значения («прообраза») x. Но если под символом u подразумевать (как это часто и делается) положительное число, квадрат которого есть x, то обратная функция x = u существует, если только мы условимся, что будем рассматривать лишь положительные значения x и u.

Существование обратной функции может быть сразу установлено при взгляде на график данной функции. Обратная функция существует, определяясь однозначно, в том случае, если каждому значению u соответствует только одно значение x. Геометрически это означает, что нет такой прямой, параллельной оси x, которая пересекала бы график более чем в одной точке. Само собой разумеется, что так будет в том случае, если функция u = f(x) монотонная, т. е. или все время возрастающая, или, наоборот, все время убывающая (при возрастании x).

Например, если функция u = f(x) всюду возрастающая, то при x1 < xмы всегда имеем u1 = f(x1) < u2 = f(x2). Следовательно, для данного значения u существует не более одного значения x такого, что u = f(x), и обратная функция будет определяться однозначно. График обратной функции x = g(u) получается из данного графика просто симметрией относительно пунктирной прямой (рис. 154); при этом оси x и u меняu x x u O O Рис. 154. Взаимно обратные функции ются местами. Новое положение графика изображает x как функцию от u. В основном положении график указывает значение u как высоты над горизонтальной осью x, в то время как после симметрии вновь полученный график указывает значение x как высоты над горизонтальной § 1 НЕЗАВИСИМОЕ ПЕРЕМЕННОЕ И ФУНКЦИЯ осью u.

Рассуждения этого параграфа можно иллюстрировать на примере функции u = tg x.

Эта функция монотонна в промежутке - < x < (рис. 152): значе2 ния u, все время возрастающие вместе с x, изменяются от - до +;

отсюда ясно, что обратная функция x = g(u) определена для всех значений u. Эту функцию обозначают arctg u. Таким образом, arctg(1) =, поскольку tg = 1. График arctg u изобра4 жен на рис. 155.

x u O Рис. 155. x = arctg u 4. Сложные функции. Вторым важным методом создания новых функций из двух или большего числа данных является составление сложных функций («композиция»). Так, например, функция u = f(x) = 1 + x«составлена» из двух простых функций z = g(x) = 1 + x2, u = h(z) = z и может быть записана так:

u = f(x) = h(g[x]) (читается «h от g от x»). Аналогично, функция u = f(x) = 1 - xсоставлена из трех функций z = g(x) = 1 - x2, w = h(z) = z, u = k(w) =, w так что можно написать u = f(x) = k(h[g(x)]).

310 ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ гл. VI Функция u = f(x) = sin x составлена из двух функций z = g(x) =, u = h(z) = sin z.

x 1 Функция f(x) = sin не определена при x = 0, так как при x = 0 выражение x x не имеет смысла. График этой замечательной функции находится в некоторой связи с графиком синуса. Мы знаем, что sin z = 0 при z = k, где k — произвольное положительное или отрицательное целое число. Кроме того, 1 при z = (4k + 1), sin z = -1 при z = (4k - 1), где k — произвольное целое число. Отсюда имеем 0 при x =, k 1 при x =, sin = (4k + 1) x -1 при x =.

(4k - 1) Если мы последовательно станем полагать k = 1, 2, 3, 4,..., знаменатели этих дробей будут возрастать неограниченно и, следовательно, значения x, при которых функция sin имеет значения 1, -1, 0, будут сгущаться все больше x и больше около точки x = 0. Между каждой такой точкой и началом будет всегда бесконечное количество колебаний. График этой функции показан на рис. 156.

u x Рис. 156. u = sin x 5. Непрерывность. Графики уже рассмотренных функций дают интуитивное представление о свойстве, называемом непрерывностью.

Точное определение этого понятия мы дадим в § 4, после того как понятие предела будет поставлено на строго логический фундамент. Здесь § 1 НЕЗАВИСИМОЕ ПЕРЕМЕННОЕ И ФУНКЦИЯ же, ограничиваясь описательной формулировкой, мы скажем, что функция непрерывна, если ее график есть плавная, нигде не «прерывающаяся» кривая. Чтобы уяснить себе, является ли функция u = f(x) непрерывной в точке x = x1, заставим независимую переменную x приближать- y ся непрерывно справа и слева к значению x1. При этом значения функции u = f(x) меняются, если только эта функция не является постоянной в окрестности точки x1. Если оказывается, что значение функции f(x) неограниченно приближается к x O значению f(x1) этой функции в выбранной точке x = x1 («стремится к пределу f(x1)»), и притом независимо от того, приближается ли x к x1 с одной стороны или с другой, то тогда говорят, что функция f(x) непрерывна в точке x1. Если это имеет место в каждой точке x1 из некоторого интервала, Рис. 157. Разрыв «скачком» то говорят, что функция непрерывна в этом интервале.

Хотя каждая функция, представляемая плавным графиком, непрерывна, очень легко определить и такие функции, которые не везде непрерывны. Например, функция на рис. 157, определенная для всех значений x с помощью формул f(x) = 1 + x при x > 0, f(x) = -1 + x при x 0, разрывна в точке x1 = 0, в которой она имеет значение -1. Если мы станем чертить карандашом график этой функции, нам придется в этой точке оторвать карандаш от бумаги. Когда мы приближаемся к значению x1 = 0 справа, то f(x) стремится к +1. Но значение это отличается от значения функции в самой этой точке, именно -1.

Одно то обстоятельство, что функция f(x) стремится к -1, когда x стремится к нулю слева, еще недостаточно для установления непрерывности.

Функция f(x), определенная для всех значений x с помощью формул f(x) = 0 при x = 0, f(0) = 1, при x1 = 0 имеет разрыв другого вида. Здесь существуют пределы и справа и слева, и они равны между собой, но это общее предельное значение отлично от f(0). Еще иного типа разрыв дается функцией, график которой изображен на рис. 158, u = f(x) = x312 ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ гл. VI в точке x = 0. Если мы заставим x стремиться к 0 с любой стороны, то u неизменно будет стремиться к бесконечности, но график функции «прерывается» в этой точке, причем малым изменениям независимого переменного x в окрестности точки x = 0 могут соответствовать очень большие изменения зависимого переменного u. Строго говоря, значение функции не определено при x = 0, поскольку мы не считаем бесконечность числом, и поэтому нельзя говорить, что функция f(x) равна бесконечности при x = 0. Итак, мы говорим только, что функция f(x) «стремится к бесконечности», когда x приближается к нулю.

Совсем иной характер разрыва, наконец, у функции u = sin в точx ке x = 0 (рис. 156).

Приведенные примеры показывают несколько различных типических случаев, когда функция перестает быть непрерывной в некоторой точке x = x1.

1) Может случиться, что функция станет непрерывной в точке x = xпосле того, как надлежащим образом будет определено или будет изменено уже определенное значение ее при x = x1. Например, функция u = x x постоянно равна 1 при x = 0;

u она не определена при x = 0, поскольку — лишенный смысла символ. Но если в этом примере мы условимся считать, что значение u = 1 соответствует также и значению x = 0, то функция, «расширенная» таким образом, x становится непрерывной во всех O точках без исключения. Тот же результат будет достигнут, если Рис. 158. Разрыв с уходом в бесконеч- мы изменим значение функции ность при x = 0 во втором из приведенных выше примеров, и вместо f(0) = 1 положим f(0) = 0. Разрывы этого рода называются устранимыми.

2) Функция стремится к различным пределам в зависимости от того, справа или слева x приближается к x1, как на рис. 157.

3) Не существует предела ни с одной, ни с другой стороны, как на рис. 156.

4) Функция стремится к бесконечности, когда x приближается к x(рис. 158).

Разрывы трех последних типов называются существенными или неустранимыми, они не могут быть устранены с помощью надлежащего определения значения функции в одной лишь точке x = x1.

§ 1 НЕЗАВИСИМОЕ ПЕРЕМЕННОЕ И ФУНКЦИЯ x - 1 x2 - 1 x Упражнения. 1) Наметьте графики функций,, x3 x2 + 1 (x2 - 1)(x2 + 1) и найдите точки разрыва.

1 2) Наметьте графики функций x sin и x2 sin ; проверьте, что непрерывx x ность не нарушена в точке x = 0, если принять, что u = 0 при x = 0 в обоих случаях.

*3) Покажите, что функция arctg имеет разрыв второго типа (скачок) x при x = 0.

*6. Функции нескольких переменных. Вернемся к систематическому рассмотрению понятия функции. Если независимым переменным P является точка плоскости с координатами x, y и если каждой такой точке P соответствует единственное число u (например, u может быть расстоянием точки P от начала), тогда принято писать u = f(x, y).

Pages:     | 1 |   ...   | 42 | 43 || 45 | 46 |   ...   | 76 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.