WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 41 | 42 || 44 | 45 |   ...   | 76 |

Для этого заметим, что если радиус круга t удовлетворяет неравенствам t > 1 и t > |a0| + |a1| +... + |an-1|, ПРИЛОЖЕНИЕ то |f(z) - zn| = |an-1zn-1 + an-2zn-2 +... + a0| |an-1| · |z|n-1 + |an-2| · |z|n-2 +... + |a0| = |an-2| |a0| = tn-1 |an-1| + +... + t tn- tn-1 |an-1| + |an-2| +... + |a0| < tn = |zn|.

Так как выражение слева есть не что иное, как расстояние между точками zn и f(z), а выражение в самой правой части неравенства — расстояние точки zn от начала координат, то мы видим отсюда, что отрезок, соединяющий точки zn и f(z), не пройдет через начало координат, если только z будет находиться на круге радиуса t с центром в начале.

В таком случае имеется возможность деформировать кривую, описываемую точкой f(t), в кривую, описываемую точкой zn, без прохода через начало, смещая непрерывным движением каждую точку f(z) к соответствующей точке zn по прямоугольному отрезку. При этом порядок начала может принимать только целые значения и вместе с тем во время деформации может меняться не иначе, как непрерывно; значит, для обеих функций f(z) и zn он одинаков, и так как для zn он равен n, то имеет то же самое значение и для f(z). Доказательство закончено.

Г Л А В А VI Функции и пределы Введение Важнейшие разделы современной математики сосредоточиваются вокруг понятий функции и предела. В этой главе мы займемся систематическим анализом этих понятий.

Такие выражения, как, например, x2 + 2x - 3, не имеют определенного числового значения, пока не указано значение x.

Говорят, что значение этого выражения есть функция значения x, и пишут x2 + 2x - 3 = f(x).

Например, если x = 2, то 22 + 2 · 2 - 3 = 5, так что f(2) = 5. Таким же образом непосредственной подстановкой можно найти значение функции f(x) при любом целом, дробном, иррациональном и даже комплексном значении x.

Количество простых чисел, меньших чем n, есть функция (n) целого числа n. Когда задано значение числа n, то значение функции (n) определено, несмотря на то что неизвестно никакого алгебраического выражения для его подсчета. Площадь треугольника есть функция длин трех его сторон; она меняется вместе с ними и делается фиксированной, если зафиксированы длины сторон. Если плоскость подвергается проективному или топологическому преобразованию, то координаты точки после преобразования зависят от первоначальных координат точки, т. е. являются их функциями. Понятие «функция» выступает каждый раз, как только величины связаны каким-нибудь определенным физическим соотношением. Объем газа, заключенного в цилиндр, есть функция температуры и давления, оказываемого на поршень. Замечено, что давление атмосферы на воздушный шар есть функция высоты шара над уровнем моря. Целая область периодических явлений — движение приливов, колебание натянутой струны, распространение световых волн, испускаемых накаленной проволокой, — «регулируется» простыми тригонометрическими функциями sin x и cos x.

300 ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ гл. VI Для самого Лейбница (1646–1716), который впервые ввел термин «функция», и для математиков XVIII в. идея функциональной зависимости более или менее идентифицировалась с существованием простой математической формулы, точно выражающей эту зависимость.

Такая концепция оказалась слишком узкой по отношению к требованиям, предъявленным математической физикой, и понятие «функция» вместе с упомянутым выше понятием «предел» впоследствии длительно подвергалось обобщениям и шлифовке.

В этой главе мы дадим краткий очерк того, как протекал этот процесс.

§ 1. Независимое переменное и функция 1. Определения и примеры. Нередко приходится иметь дело с математическими объектами, которые мы выбираем свободно, по нашему собственному выбору, из некоторой совокупности (множества) S.

Избираемый объект в таких случаях носит название переменного (или переменной), а совокупность S — области его (ее) изменения. Переменные принято обозначать последними буквами алфавита. Например, если буквой S обозначено множество всех целых чисел, то переменное X из области S обозначает некоторое произвольное целое число. Говорят, что «переменное X пробегает множество S», подразумевая под этим, что переменное X мы можем отождествить с любым элементом множества S.

Пользоваться понятием переменного удобно, если мы хотим высказать утверждение относительно элементов, которые можно произвольно выбирать из целого множества. Например, если S обозначает, как было указано, множество целых чисел, а X и Y — переменные из области S, то формула X + Y = Y + X представляет удобное символическое выражение того обстоятельства, что сумма любых двух целых чисел не зависит от порядка слагаемых.

Частный случай этого выражен равенством 2 + 3 = 3 + 2, в котором фигурируют постоянные числа; но для того чтобы выразить общий закон, справедливый для всех пар чисел, нужно применить символы, имеющие значение переменных.

Нет никакой необходимости в том, чтобы область S изменения переменного X была множеством чисел. Например, S может быть множеством всех кругов на плоскости; тогда переменное X будет обозначать любой индивидуальный круг. Или S может быть множеством всех замкнутых многоугольников плоскости, и тогда X — любой индивидуальный многоугольник. Не является также необходимым, чтобы область изменения переменного содержала бесконечное число элементов. Например, X § 1 НЕЗАВИСИМОЕ ПЕРЕМЕННОЕ И ФУНКЦИЯ может обозначать любого отдельного человека из населения S данного города в определенный момент времени. Или же X может обозначать любой из возможных остатков при делении целого числа на 5; в этом последнем случае область S состоит из пяти чисел: 0, 1, 2, 3, 4.

Наиболее важным оказывается случай числового переменного; в этом случае употребляется обычно маленькая буква x — это тот случай, когда областью изменения S является некоторый интервал (промежуток) a x b действительной числовой оси. В этом случае говорят, что x есть непрерывное (или действительное) переменное в рассматриваемом интервале. Область изменения непрерывного переменного может простираться и до бесконечности. Так, например, S может быть множеством всех положительных действительных чисел x > 0 или даже множеством всех действительных чисел без всякого исключения. Аналогичным образом мы можем рассматривать переменное X, значениями которого являются точки плоскости или некоторой данной области плоскости, подобной внутренности прямоугольника или круга. Так как каждая точка плоскости определяется своими двумя координатами (x, y), взятыми относительно некоторой фиксированной пары осей, то в этом случае часто говорят, что имеют дело с парой действительных (непрерывных ) переменных x и y.

Может случиться так, что каждому значению переменного X сопоставляется некоторое определенное значение другого переменного U.

Тогда переменное U называется функцией переменного X. Способ, посредством которого U связано с X, выражается символом вроде U = F (X) (читается «равно F от X»). Если X пробегает множество S, то переменное U пробегает некоторое другое множество, скажем, T. Например, если S есть множество треугольников X на плоскости, то под функцией U = F (X) можно подразумевать длину периметра рассматриваемого треугольника X; T будет, следовательно, множеством всех положительных чисел. Отметим, что два различных треугольника Xи X2 свободно могут иметь равные по длине периметры, так что равенство F (X1) = F (X2) возможно и в том случае, если X1 = X2. Проектив ное преобразование одной плоскости S в некоторую другую T ставит в соответствие каждой точке X плоскости S единственную точку U плоскости T согласно определенному правилу, которое можно выразить функциональным символом U = F (X). В этом примере, в противоположность предыдущему, мы имеем всегда неравенство F (X1) = F (X2), если только X1 = X2, и мы говорим в связи с этим, что отображение плоскости S на плоскость T — взаимно однозначное (см. стр. 204).

Функции непрерывного переменного часто определяются с помощью алгебраических выражений. Примерами могут служить следующие 302 ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ гл. VI функции:

1 u = x2, u =, u =.

x 1 + xВ первом и в последнем из этих выражений x может пробегать множество всех действительных чисел, в то время как во втором примере x может пробегать множество всех действительных чисел за исключением 0 (значение 0 исключается, так как символ не есть число).

Число B(n) простых множителей числа n есть функция n, причем n пробегает множество натуральных чисел. Вообще, любую последовательность чисел a1, a2, a3,... можно рассматривать как множество значений некоторой функции u = F (n), причем областью изменения независимого переменного при этом является множество натуральных чисел.

Только ради сокращения записи принято обозначать n-й член последовательности символом an, вместо того чтобы употреблять более отчетливое функциональное обозначение F (n). Следующие выражения, о которых говорилось в главе I:

n(n + 1) S1(n) = 1 + 2 +... + n =, n(n + 1)(2n + 1) S2(n) = 12 + 22 +... + n2 =, n2(n + 1)S3(n) = 13 + 23 +... + n3 =, являются функциями целого переменного n.

Пусть дано соотношение U = F (X); принято переменное X называть независимым переменным, а переменное U — зависимым, поскольку его значения зависят от выбора значения X.

Может случиться, что всем значениям переменного X соответствует одно и то же значение переменного U, т. е. что множество T состоит из одного-единственного элемента. Мы тогда встречаемся с частным случаем, при котором переменное U в сущности не меняется, т. е. U есть постоянное (постоянная или константа). Мы включим этот случай в общее понятие функции, несмотря на то что начинающему это может показаться странным, так как он склонен полагать, что основное в самой идее функции лежит как раз в изменении переменного U (при изменении переменного X). Но беды не произойдет — а на самом деле это окажется весьма полезным, — если мы постоянное будем рассматривать как частный случай переменного, «область изменения» которого состоит из одного-единственного элемента.

Понятие функциональной зависимости имеет исключительное значение не только в самой «чистой» математике, но также и в практических ее приложениях. Физические законы являются не чем иным, как выражением способа, посредством которого некоторые величины зависят § 1 НЕЗАВИСИМОЕ ПЕРЕМЕННОЕ И ФУНКЦИЯ от других, способных изменяться так или иначе. Так, например, высота звука, производимого колеблющейся струной, зависит от ее длины, от ее веса и от степени ее натяжения; давление атмосферы зависит от высоты;

энергия пули зависит от ее массы и скорости. Задача физики состоит в точном или приближенном определении природы всех подобного рода зависимостей.

С помощью понятия функции можно дать точную в математическом смысле характеристику движения. Если представим себе, что движущаяся частица сосредоточена в некоторой точке пространства с прямоугольными координатами x, y, z, и если переменное t измеряет время, то движение частицы полностью определено заданием координат x, y, z как функций времени:

x = f(t), y = g(t), z = h(t).

Примером этого может служить свободное падение частицы по вертикали под действием одной лишь силы тяжести: мы имеем в этом случае соотношения x = 0, y = 0, z = - gt2, где g обозначает ускорение силы тяжести. Если частица равномерно вращается по единичной окружности в плоскости x, y, то движение ее характеризуется функциями x = cos t, y = sin t, где — постоянное число (так называемая угловая скорость вращения).

Под математической функцией следует понимать просто закон, управляющий взаимными зависимостями переменных величин — и не более того. Понятие функции не подразумевает существования чего-либо близкого к «причине и следствию» в отношениях между независимой и зависимой переменными. Хотя в обыденной речи термин «функциональная зависимость» сплошь и рядом употребляется именно в этом последнем смысле, мы будем избегать такого рода философских интерпретаций. Так, например, закон Бойля, относящийся к газу, заключенному в некоторую замкнутую оболочку при постоянной температуре, утверждает, что произведение давления газа p на его объем v есть величина постоянная, равная c (последнее значение, в свою очередь, зависит от температуры):

pv = c.

Это соотношение можно решить как относительно p, так и относительно v:

c c p = или v = ;

v p при этом не следует подразумевать ни того, что перемена объема есть «причина» изменения давления, ни того, что изменение давления есть 304 ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ гл. VI «причина» изменения объема. Для математика существенна лишь форма соответствия (связи) между двумя переменными величинами, которые он рассматривает.

Следует заметить, что подход к понятию функции несколько отличается у математиков и у физиков. Математики обычно подчеркивают закон соответствия, математическую операцию, которую нужно применить к значению независимого переменного x, чтобы получить значение зависимого переменного u. В этом смысле f( ) есть символ математической операции; значение u = f(x) есть результат применения операции f( ) к числу x. С другой стороны, физик часто более заинтересован в самой величине u как таковой, чем в какойто математической процедуре, с помощью которой значение u может быть получено из значения x. Так, например, сопротивление u воздуха движению предмета зависит от скорости v движения и может быть найдено экспериментальным путем, независимо от того, известна ли явная математическая формула для вычисления u. Физика прежде всего интересует фактическое сопротивление, а не специальная математическая формула f(v), если только эта формула не помогает при анализе поведения величины u. Таково обычно отношение тех, кто применяет математику к физике или инженерному делу.

В некоторых высших разделах математического анализа, чтобы избежать путаницы, иногда бывает существенно различать совершенно отчетливо, будет ли под символом u = f(x) подразумеваться операция f( ), применяемая к x для получения u, или же сама величина u, которая, в свою очередь, может рассматриваться как зависимая, и совсем другим образом, от некоторой другой переменной z. Например, площадь круга задается функцией u = f(x) = x2, zгде x — радиус круга, но можно также написать: u = g(z) =, понимая под z длину окружности.

Pages:     | 1 |   ...   | 41 | 42 || 44 | 45 |   ...   | 76 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.