WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 39 | 40 || 42 | 43 |   ...   | 76 |

35mm Рис. 134. Топологически эквивалентные узлы, не переводящиеся друг в друга 5. Узлы. В качестве последнего примера отметим, что трудные математические проблемы топологического характера возникают в связи 282 ТОПОЛОГИЯ гл. V с изучением узлов. Узел образуется, когда из отрезка веревки делают петли, затем сквозь них пропускают концы веревки и, наконец, два конца соединяют вместе. Изготовленная из веревки замкнутая кривая представляет собой геометрическую фигуру, существенные свойства которой не изменяются, как бы в дальнейшем ни перетягивать или ни перекручивать веревку. Но как возможно было бы дать внутреннюю характеристику, которая позволила бы различить тем или иным способом «заузленные» кривые между собой и отличать их от «незаузленных» вроде круга Ответ далеко не прост, и еще менее прост исчерпывающий математический анализ узлов разных типов. Затруднения встречаются даже при самых первых шагах в этом направлении. Взгляните на два узла, напоминающие трилистники, изображенные на рис. 134. Они совершенно симметричны друг другу, являются взаимно «зеркальными отображениями», они топологически эквивалентны и вместе с тем неконгруэнтны друг другу. Возникает проблема: можно ли деформировать непрерывным движением один узел в другой Ответ отрицателен; но доказательство потребовало бы значительно большего владения топологической техникой и б знаний из области теории групп, чем ольших предполагают рамки этой книги.

§ 4. Топологическая классификация поверхностей 1. Род поверхности. Многие простые, но весьма существенные обстоятельства выясняются при изучении двумерных поверхностей.

Сравним, например, поверхность сферы с поверхностью тора. Взглянув на рис. 135, сразу можно обнаружить различие: на сфере, как и на плоскости, замкнутая кривая вроде C разделяет поверхность на две части; но на торе существуют и такие замкнутые кривые, например C, которые не разделяют поверхности на две части. Если мы говорим, что кривая C разделяет сферу на две части, то это означает, другими словами, что при разрезании поверхности сферы по кривой C эта поверхность распадается на два не связанных между собой куска, или еще, иначе, что можно найти две такие точки сферы, что всякая кривая на сфере, их соединяющая, непременно Рис. 135. Разрезы на сфере и на торе пересечется с кривой C. На§ 4 ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ против, если разрезать тор по кривой C, то после разреза поверхность не распадется: любые две ее точки можно соединить кривой, не имеющей общих точек с C. Указанное различие свидетельствует о том, что сфера и тор в топологическом смысле не принадлежат одному и тому же классу поверхностей: тор нельзя топологически преобразовать в сферу.

Рассмотрим теперь поверхность с двумя «дырами», изображенную на рис. 136. На этой поверхности оказывается возможным провести сразу две замкнутые кривые, A и B, которые не разделяют поверхности на части. Тор, напротив, при проведении двух таких кривых непременно разделится на части. С другой стороны, любые три замкнутые кривые разделяют нашу поверхность с двумя дырами.

Все это подсказывает мысль ввести понятие рода поверхности, понимая под родом поверхности наибольшее возможное число взаимно не пересекающихся простых замкнутых кривых, которые можно провести на поверхности, не разделяя ее на части. Род сферы равен 0, род тора равен 1, род поверхности, изображенной на рис. 136, равен 2. Такая же поверхность с p «дырами» имеет род p.

Род есть топологический инвариант поверхности: он не изменяется при деРис. 136. Поверхность рода формировании поверхности. Обратно, можно доказать (но мы не приводим здесь этого доказательства), что если две замкнутые поверхности имеют один и тот же род, то одну можно деформировать в другую; таким образом род p = 0, 1, 2,... замкнутой поверхности полностью характеризует топологический класс, к которому она принадлежит. (Здесь предполагается, что мы рассматриваем только обыкновенные «двусторонние» поверхности. В пункте 3 этого параграфа мы рассмотрим также и «односторонние» поверхности.) Например, только что рассмотренная поверхность с двумя дырами и сфера с двумя «рукоятками», изображенная на рис. 137, являются обе замкнутыми поверхностями рода 2, и мы видим, что каждую из этих поверхностей удается деформировать в другую. Так как поверхность с p дырами или ее эквивалент — сфера с p рукоятками — поверхности рода p, то любую из этих поверхностей можно взять в качестве «топологического представителя» всех замкнутых поверхностей рода p.

*2. Эйлерова характеристика поверхности. Предположим, что замкнутая поверхность S рода p разбита на некоторое число областей:

такое подразделение получается, если мы отметим на S ряд «вершин» и соединим их затем между собой дугами кривых. Мы покажем, что в 284 ТОПОЛОГИЯ гл. V таком случае V - E + F = 2 - 2p, (1) где V — число вершин, E — число дуг и F — число областей. Число 2 - 2p называется эйлеровой характеристикой поверхности. Как мы уже видели, для случая сферы V - E + F = 2, что согласуется с формулой (1), так как сфера имеет род p, равный нулю.

Желая доказать общую формулу (1), вообразим, что S есть сфера с p рукоятками. Как мы отметили, любая поверхность рода p может быть непрерывной деформацией приведена к этому виду, и во время деформации ни V - E + F, ни 2 - 2p не изменяются. Непрерывную деформацию мы выберем таким образом, чтобы замкнутые кривые A1, A2, B1, B2,..., по которым рукоятки соединяются со сферой, пришлись как раз на дуги данного подразделения. (Рис. 138 иллюстрирует описываемую дальше процедуру в случае p = 2.) Прорежем теперь поверхность S по кривым A2, B2,... и выпрямим рукоятки. У каждой рукоятки появится свободный край, ограниченный новой кривой A, B,..., причем на появившемся крае будет столько же вершин и столько же дуг, сколько их было соответственно на A2, B2,...

Число V - E + F при прорезывании не изменится, так как новых областей не возникнет, а число вновь возникших вершин уравновешивается числом вновь возникших дуг. Затем деформируем поверхность дальше, сплющивая торчащие рукоятки (включая их в поверхность сферы). В итоге получается сфера с 2p отверстиями. Так как V - E + F, как нам известно, равно 2 для всякого разбиения полной сферы, то для нашей сферы с 2p отверстиями мы получаем V - E + F = 2 - 2p, и это равенство, очевидно, справедливо также и для первоначальной сферы с p рукоятками. Наше утверждение доказано.

Рис. 121 иллюстрирует применение формулы (1) к поверхности S, составленной из плоских многоугольников. Эту поверхность можно топологически деформировать в поверхность тора, так что ее род p равен 1, и потому 2 - 2p = 2 - 2 = 0. Как и требуется по формуле (1), мы получаем V - E + F = 16 - 32 + 16 = 0.

Упражнение. Произведите какое-нибудь разбиение на поверхности с двумя дырами, изображенной на рис. 137, и проверьте, что V - E + F = -2.

Рис. 137. Поверхности рода § 4 ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ Рис. 138. К эйлеровой характеристике поверхностей 3. Односторонние поверхности. У каждой из обыкновенных поверхностей имеется по две стороны. Это относится и к замкнутым поверхностям вроде сферы или тора, и к поверхностям, имеющим границы, каковы, например, диск или тор, из которого удален кусок поверхности. Чтобы легко различать две стороны одной и той же поверхности, их можно было бы раскрасить разными красками. Если поверхность замкнутая, две краски нигде не встретятся. Если поверхность имеет граничные кривые, то разные краски встречаются по этим кривым. Предположим, что по таким поверхностям ползал бы клоп и что-нибудь мешало бы ему пересекать граничные кривые; тогда он оставался бы всегда на Рис. 139. Лист Мёбиуса: а, б, в — перекручивание и склеивание ленты; г — ориентация «сторон» 286 ТОПОЛОГИЯ гл. V одной стороне поверхности.

Мёбиусу принадлежит честь ошеломляющего открытия: существуют поверхности, у которых имеется только одна сторона. Простейшая из таких поверхностей есть так называемая лента (или лист) Мёбиуса.

Чтобы ее построить, нужно взять лист бумаги, имеющий форму очень вытянутого прямоугольника, и склеить его концы после полуповорота, как показано на рис. 139 (а, б, в). Клоп, который будет ползти по этой поверхности, держась все время середины «ленты», вернувшись в исходную точку, окажется в перевернутом положении (рис. 139, г). Если кто-нибудь вздумает раскрасить «только одну» сторону поверхности мёбиусовой ленты, пусть лучше сразу погрузит ее всю в ведро с краской.

Другое замечательное свойство поверхности Мёбиуса заключается в том, что у нее только один край: вся граница состоит из одной замкнутой кривой. Обыкновенная двусторонняя поверхность, получающаяся при склеивании концов ленты без всякого поворота, явственно имеет две различные граничные кривые. Если эту последнюю поверхность разрезать по центральной линии, она распадется на две поверхности того же типа. Но если разрезать таким же образом по центральной линии ленту Мёбиуса (см. рис. 139), то мы увидим, что распадения на две части не будет. Тому, кто не упражнялся с лентой Мёбиуса, трудно предсказать это обстоятельство, столь противоречащее нашим интуитивным представлениям о том, что «должно» случиться. Но если поверхность, полученную после описанного выше разрезания ленты Мёбиуса, снова разрезать по ее центральной линии, то у нас в руках окажутся две не связанные, но переплетенные между собой ленты! Очень интересно разрезать такие ленты по линиям, параллельным границе и отстоящим от 1 нее на, и т. д. ширины ленты. Поверхность 2 Мёбиуса, без сомнения, заслуживает упоминания и в школьном курсе.

Граница поверхности Мёбиуса представляет собой простую «незаузленную» замкнутую кривую, и ее можно деформировать в окружРис. 140. Кросс-кэп ность. Но придется допустить, что в процессе деформации поверхность будет сама себя пересекать. Получающаяся при этом самопересекающаяся односторонняя поверхность известна под названием «кросс-кэп» (рис. 140)1. Линию пересечения здесь следует считать дважды, один раз относя к одному из пересекающихся листов поверхности, другой раз — к другому. Кросс-кэп, как и всякую одностороннюю поверхность, нельзя непрерывно деформиCross-cap — «перекрещивающаяся шляпа» (англ.).

§ 4 ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ровать в двустороннюю (топологическое свойство).

Любопытно, что ленту Мёбиуса можно, оказывается, так деформировать, что ее граница будет плоской ломаной (а именно, треугольником), причем лента останется несамопересекающейся. Такая модель, найденная д-ром Б. Туккерманом, показана на рис. 141, а; границей ленты служит треугольP ник ABC, ограничивающий половину диагонального квадратного сечения октаэдра (симметричного относительно этого сечения). Сама ленD та состоит при этом из шести граней октаэдра C и четырех прямоугольных треугольников — четвертей вертикальных диагональных плоскостей A O октаэдра1.

B а Другой любопытный пример односторонней поверхности — так называемая «бутылка Клейна». Это — замкнутая поверхность, но она, в противоположность известным нам замкнутым поверхностям,Qне делит A C Q P O A C B D D б C A Рис. 141. Лента Мёбиуса с прямолинейным краем (а) и ее развертка (б ) пространство на «внутреннюю» и «внешнюю» части. Топологически она эквивалентна паре кросс-кэпов со склеенными между собой граничными кривыми.

Можно доказать, что всякая замкнутая односторонняя поверхность рода p = 1, 2,... топологически эквивалентна сфере, из которой вынуты p дисков и заменены кросс-кэпами. Отсюда легко выводится, что Из поверхности октаэдра вырезаются грани ABP и BCQ. К оставшимся шести граням приклеиваются четыре треугольника OAP, OBP, OCQ и OBQ. На рис. 141, б приведена развертка описанной поверхности. По линии, соединяющей точку O с точкой, помеченной двумя буквами A и C, надо сделать разрез, а потом склеить соответствующие отрезки края развертки. Жирными отрезками обозначен край ленты (периметр треугольннка ABC). — Прим. ред.

288 ТОПОЛОГИЯ гл. V эйлерова характеристика V - E + F такой поверхности связана с родом p соотношением V - E + F = 2 - p.

Доказательство этого предложения такое же, как и для двусторонних поверхностей. Прежде всего убедимся, что Эйлерова характеристика кросскэпа или ленты Мёбиуса равна 0. Для этого заметим, что, перерезая поперек ленту Мёбиуса, предварительно подразделенную на области, мы получим прямоугольник, у которого будут две лишние вершины и одна лишняя дуга, число же областей останется то же самое, что и для ленты Мёбиуса. Мы видели на стр. 260, что для прямоугольника V - E + F = 1. Следовательно, для ленты Мёбиуса V - E + F = 0. Предлагаем читателю в качестве упражнения Рис. 142. Бутылка Клейна восстановить это доказательство во всех подробностях.

Изучение топологической структуры поверхностей, подобных тем, которые только что были описаны, проводится более удобно, если воспользоваться плоскими многоугольниками с попарно идентифицированными сторонами (см. гл. IV, Приложение, пункт 3). Так, на схемах рис. 143 стрелки показывают, какие из параллельных сторон и в каком направлении должны быть идентифицированы: если возможно, то физически, если невозможно, то хотя бы мысленно, абстрактно.

A A A A Метод идентификации можно применить и для определения трехмерных замкнутых многообразий, аналогичных двумерным B B A A замкнутым поверхностям. НаприЦилиндр Тор мер, отождествляя соответствующие точки взаимно противопо- A B A A ложных граней куба (рис. 144), мы получаем замкнутое трехмерное многообразие, называемое трехмерным тором. Такое мноB A A A гообразие топологически эквиваЛист Мёбиуса Бутылка Клейна лентно пространственной области, заключенной между двумя кон- Рис. 143. Замкнутые поверхности, центрическими поверхностями то- определенные посредством идентификации сторон квадрата ра (одна внутри другой), с идентификацией соответствующих точек (рис. 145). Действительно, это последнее многообразие получается из куба, если привести в «физическое» § 4 ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ B C C A A B Рис. 144. Определение трехмерного тора посредством идентификации граней куба совпадение две пары «мысленно отождествленных» взаимно противоположных граней.

Pages:     | 1 |   ...   | 39 | 40 || 42 | 43 |   ...   | 76 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.