WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 37 | 38 || 40 | 41 |   ...   | 76 |

Точнее говоря, мы утверждаРис. 127. Редукция трехсвязной области ем следующее: точки плоскости разбиваются на два класса — A (внешние точки) и B (внутренние точки) — таким образом, что любая пара точек, принадлежащих одному и тому же классу, может быть связана кривой, не имеющей общих точек с C, тогда как всякая кривая, соединяющая две какие-нибудь точки разных классов, непременно пересекается с C. Это утверждение вполне очевидно, например, для случая окружности или эллипса, но уже чуть менее очевидно для такой сложной кривой, как причудливой формы многоугольник, изображенный на рис. 128.

Впервые эта теорема была сформулирована Камиллом Жорданом (1838–1922) в его широко известном «Cours d’analyse», из которого целое поколение математиков почерпнуло современную концепцию математической строгости. Как это ни странно, доказательство, данное самим Жорданом, не было ни кратким, ни простым по своей идее, но в особенности удивительно то, что, как оказалось, оно и не было § 3 ДРУГИЕ ПРИМЕРЫ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ТЕОРЕМ вполне исчерпывающим, и понадобились значительные усилия, чтобы восполнить его пробелы. Первые строгие доказательства теоремы Жордана были очень сложными и трудно воспринимались даже людьми с хорошей математической подготовкой. Сравнительно простые доказательства были придуманы лишь недавно. Одно из затруднений заключается в большой общности понятия «простой замкнутой» кривой, значительно более широкого, чем понятие многоугольника или «гладкой» кривой: по определению, «простая замкнутая кривая» есть любая кривая, топологически эквивалентная окружности.

С другой стороны, необходимо таким терминам, как «внутри» или «вне» (столь ясным интуитивно), дать логические определения, прежде чем строгое доказательство станет возможным. Проанализировать в их полной общности возникающие в связи с этим отношения и концепции есть теоретическая задача первостепенного значения, разрешению которой в большой степени служит современная топология. Но, с другой стороны, следует иметь в виду и то обстоятельство, что, занимаясь изучением конкретных явлений в области геометрии, в громадном большинстве случаев малоуместно вводить понятия, неограниченная общность которых создает излишние затруднения. Так, возвращаясь к теореме Жордана, существенно то, что для случая «хорошо ведущих себя» кривых — например, для многоугольРис. 128. Какие точки находятся ников или для кривых с непрерыв- внутри этого многоугольника но меняющейся касательной (которые только и встречаются в наиболее важных задачах) — доказательство этой теоремы может быть проведено совсем просто. Для случая многоугольников мы укажем доказательство в дополнении к этой главе.

2. Проблема четырех красок. Пример только что рассмотренной теоремы Жордана способен, пожалуй, навести на мысль, что топология занимается придумыванием строгих доказательств для таких истин, в которых не станет сомневаться ни один здравомыслящий человек. Но это совсем не так: существует много вопросов топологического характера, в числе которых иные формулируются чрезвычайно просто и на которые интуиция не дает удовлетворительных ответов. Примером может служить знаменитая «проблема четырех красок».

Раскрашивая географическую карту, обыкновенно стараются рас272 ТОПОЛОГИЯ гл. V пределить цвета между странами таким образом, чтобы две страны, имеющие общую границу, были окрашены по-разному. Было обнаружено на опыте, что любая карта, сколько бы ни было изображено на ней стран и как бы они ни были расположены, может быть раскрашена с соблюдением указанного правила не более чем четырьмя красками.

Легко убедиться, что меньшее число достаточным для всех случаев не является. На рис. 129 изображен остров посреди моря, который никак нельзя раскрасить менее чем четырьмя красками, так как на нем имеется четыре страны, из которых каждая соприкасается с остальными тремя.

Тот факт, что до настоящего времени не было найдено такой карты, для раскрашивания которой потребовалось бы более четырех красок, приводит к мысли о справедливости такой теоремы: при любом данном разбиении плоскости на области, не покрывающие друг друга ни полностью, ни частично, всегда возможно пометить их цифрами 1, 2, 3, таким образом, чтобы «прилежащие» области были обозначены разными цифрами. Под «прилежащими» областями понимаются такие, которые имеют целый отрезок границы общим: две области, имеющие лишь одну общую точку (или даже конечное число общих точек) — как, например, штаты Колорадо и Аризона,— не будут называться «прилежащими», так как никакого смешения или неудобства не возникает, если их раскрасить одинаково.

3 Есть основания полагать, что впервые проблема четырех красок была поставлена Мёбиусом в 1840 г.; позднее ее формулировали де Морган в 1850 г. и Кэли в 1878 г. «Доказательство» ее было опубликовано в 1879 г. Кемпе, но Хивуд в 1890 г. нашел ошибку в рассуждении Кемпе. Пересматривая доказательство Рис. 129. Раскрашивание Кемпе, Хивуд обнаружил, что пяти красок карты всегда достаточно. (Доказательство теоремы о пяти красках дано в приложении к этой главе.) Несмотря на усилия многих выдающихся математиков, положение вплоть до нашего времени остается в сущности неизменным. Было доказано, что пяти красок достаточно для всех карт, и имеется предположение, что достаточно также четырех. Но, как и в случае знаменитой теоремы Ферма (см. стр. 60), ни доказательства этого предположения, ни противоречащего ему примера приведено не было, и указанное предположение остается одной из нере§ 3 ДРУГИЕ ПРИМЕРЫ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ТЕОРЕМ шенных «больших» математических проблем1. Заметим, между прочим, что проблема четырех красок была решена в положительном смысле для частных случаев, когда число областей не превышает тридцати восьми. Отсюда ясно, что если в общем случае теорема неверна, то опровергающий пример должен быть не особенно простым.

В рассматриваемой проблеме четырех красок предполагается, что карта нарисована или на плоскости, или на сфере. Эти два случая эквивалентны. В самом деле, каждая карта, заданная на сфере, может быть перенесена па плоскость, если проделаем дырочку внутри одной из областей A и затем расплющим оставшуюся часть сферы по плоскости, как мы это делали при доказательстве теоремы Эйлера. Полученная карта на плоскости покажет нам «остров», состоящий из всех нетронутых областей, и «море», состоящее из одной области A. С другой стороны, проделывая всю эту процедуру в обратном направлении, можно любую карту на плоскости превратить в карту на сфере. Итак, вместо карт на плоскости можно ограничиться рассмотрением карт на сфере.

Больше того, так как деформации областей и их границ существенно не влияют на нашу проблему, то можно предположить, что граница каждой области есть простой замкнутый многоугольник, состоящий из дуг больших кругов. Но даже таким образом «регуляризированная» проблема не решена; трудности в данном случае (не в пример теореме Жордана) зависят не от общности понятия области и кривой.

В связи с проблемой четырех красок стоит отметить то замечательное обстоятельство, что для некоторых поверхностей более сложного типа, чем плоскость или сфера, соответствующие теоремы действительно были доказаны, так что, как это ни парадоксально, анализ более сложных (в геометрическом отношении) поверхностей в данном случае проводится легче, чем более простых. Например, было установлено для случая поверхности тора, имеющей вид «бублика» (см. рис. 123), что всякая нарисованная на ней «карта» может быть раскрашена семью красками и что, с другой стороны, на ней мыслимы такие «карты», составленные из семи областей, что каждая область соприкасается с остальными шестью.

*3. Понятие размерности. Понятие о «числе измерений», или о «размерности», не представляет особых затруднений, пока речь идет о таких простых геометрических образах, как точки, линии, треугольники или многогранники. Отдельная точка или любое конечное множество точек имеет размерность нуль, отрезок — размерность 1, поверхность треугольника или сферы — Проблема четырех красок была решена в 1976 г. Ее решение свелось к проверке 1482 карт и перебору различных комбинаций раскрасок каждой из них. Перебор был осуществлен с помощью компьютера; многие математики полагают, что рассуждение, опирающееся на компьютерный перебор, нельзя считать убедительным. — Прим. ред. наст. изд.

274 ТОПОЛОГИЯ гл. V размерность 2. Множество всех точек куба имеет размерность 3. Однако при желании обобщить понятие размерности на точечные множества более общих типов возникает необходимость в точном определении. Какую размерность следует, например, приписать множеству R, состоящему из всех точек прямой, у которых координаты — рациональные числа Множество рациональных точек на прямой всюду плотно, и потому, казалось бы, ему, как и самому отрезку прямой, надлежало бы приписать размерность 1. С другой стороны, между всякими двумя рациональными точками существуют иррациональные «дыры», как между всякими двумя точками конечного множества, и это говорит в пользу размерности 0.

Еще запутаннее обстоит дело с размерностью любопытного множества, впервые рассмотренного Кантором, построенного следующим образом. Из единичного отрезка 0 x 1 удалим среднюю треть (интервал), т. е. все точки x, 1 удовлетворяющие неравенству < x <. Оставшееся точечное множество 3 обозначим через C1. Множество C1 состоит из двух отрезков; удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть, и то множество, которое останется, обозначим через C2. Повторим опять эту процедуру, удаляя среднюю треть у всех четырех отрезков; получим C3. Дальше таким же образом получим C4, C5, C6,... Обозначим через C множество точек, которое останется, когда все средние трети будут удалены; другими словами, C есть множество точек, принадлежащих одновременно всем множествам C1, C2, C3,... В первой операции был удален интервал длины ; во второй операции — два интервала, каждый длины и т. д.; сумма длин всех удаленных интервалов равна 1 1 1 1 2 1 · + 2 · + 22 · +... = 1 + + +....

3 3 3 32 Бесконечный ряд в больших скобках есть геометрическая прогрессия, сумма которой равна = 3; итак, сумма длин удаленных промежутков составля1 ет 1. И все-таки далеко не все точки отрезка удалены: множество C не пустое.

Например, все точки, являющиеся концами удаленных интервалов — 1 2 1 2 7, ;,,, ;...

3 3 9 9 9 — ему принадлежат. Можно легко убедиться, что множество C состоит в точности из всех тех чисел x, разложения которых в бесконечную дробь по основанию 3 могут быть написаны в форме a1 a2 a3 an x = + + +... + +..., 3 3n 32 где всякое an есть 0 или 2 тогда как в аналогичном разложении для всякой удаленной точки среди чисел an, хоть раз встретится 1.

Какова же размерность множества C Диагональный процесс, с помощью которого была доказана несчетность множества всех действительных чисел, может быть видоизменен таким образом, чтобы тот же результат получился и для множества C. Отсюда было бы естественно заключить, что множеству C надлежит приписать размерность 1. С другой стороны, C не содержит никакого, даже самого малого, промежутка, как и любое конечное множество;

§ 3 ДРУГИЕ ПРИМЕРЫ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ТЕОРЕМ это сближает C с множествами размерности 0. Таким же образом, восставив в плоскости x, y из каждой рациональной точки или из каждой точки канторова множества перпендикуляр длины 1 к оси x (направляя его в сторону положительных значений y), мы получим множества, относительно которых может возникнуть сомнение — приписать ли ему размерность 2 или 1.

Впервые Пуанкаре (в 1912 г.) обратил внимание на необходимость более глубокого анализа и более точного определения размерности. Пуанкаре заметил, что прямая или кривая имеет размерность 1, так как любые две точки на ней можно разделить, удаляя одну-единственную точку (множество размерности 0); плоскость же имеет размерность 2 по той причине, что для разделения двух точек на плоскости нужно удалить целую замкнутую кривую (множество размерности 1). Это приводит к мысли о том, что понятие размерности имеет «индуктивную» природу: некоторому «пространству» следует приписать размерность n, если две точки в нем разделяются при удалении подмножества точек размерности n - 1 (но удаления подмножества меньшей размерности уже не было бы достаточно). В сущности, такого рода индуктивное определение неявно содержится уже в евклидовых «Началах», где одномерный образ толкуется как нечто, граница чего состоит из точек; двумерный образ — как нечто, граница чего состоит из линий; наконец, трехмерный образ — как нечто, граница чего состоит из поверхностей.

Рис. 130. Канторово множество За последние годы была развита обширная теория — теория размерности.

Определение размерности начинается с того, что разъясняется смысл термина «точечное множество размерности 0». Любое конечное точечное множество обладает тем свойством, что каждая его точка может быть заключена в сколь угодно малую область пространства, причем на границе области нет точек множества. Это свойство принимается теперь за определение размерности 0. Условимся ради удобства говорить, что пустое множество имеет размерность -1. В таком случае множество S имеет размерность 0, если оно не имеет размерности -1 (т. е. если S содержит хоть одну точку) и если каждая точка S может быть заключена в произвольно малую область, граница которой пересекает S по множеству размерности -1 (т. е. совсем не содержит ни одной точки S). Так, например, множество рациональных точек на прямой имеет размерность 0, так как каждая рациональная точка может быть рас276 ТОПОЛОГИЯ гл. V сматриваема как центр произвольно малого промежутка с иррациональными концами. Канторово множество C также размерности 0, так как, подобно множеству рациональных точек, оно получается посредством удаления везде плотного множества точек прямой.

Итак, мы уже определили понятия «размерность -1» и «размерность 0».

Теперь легко понять, что такое «размерность 1»: говорят, что множество S имеет «размерность 1», если оно не есть ни размерности -1, ни размерности 0, и если каждая точка S может быть заключена в произвольно малую область, граница которой пересекается с S по множеству размерности 0. Отрезок прямой обладает этим свойством, так как границей каждого промежутка является пара точек, т. е. множество размерности 0 по предыдущему определению.

Дальше, продолжая таким же образом, мы можем последовательно определить, что такое размерность 2, размерность 3 и т. д., причем каждое следующее определение основывается на предыдущем.

Pages:     | 1 |   ...   | 37 | 38 || 40 | 41 |   ...   | 76 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.