WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 35 | 36 || 38 | 39 |   ...   | 76 |

Другой пример: рассматривая все такие числовые пары x, y, что x > 0, мы скажем, что имеем дело с полуплоскостью, расположенной вправо от оси y. В более общем случае совокупность числовых пар x, y, для которых выполняется неравенство L(x, y) = ax + by + c > 0, интерпретируется как полуплоскость, лежащая по одну сторону прямой L = 0, а совокупность таких числовых троек x, y, z, что L(x, y, z) = ax + by + cz + d > 0, — как «полупространство», определяемое плоскостью L = 0.

После этих разъяснений нам совсем легко перейти к «четырехмерному» или даже к «n-мерному» пространству. Рассмотрим четверку чисел x, y, z, t. Скажем, что такая четверка представляет собой точку, или, еще проще, есть точка в четырехмерном пространстве R4. Вообще, по определению, точка n-мерного пространства Rn есть не что иное, как система из n действительных чисел x1, x2,..., xn, записанных в определенном порядке. Не так важно, что мы не «видим» этой точки.

Геометрический язык не перестает быть вполне понятным в случае, если идет речь об алгебраических свойствах n переменных. Дело в том, что многие алгебраические свойства линейных уравнений и т. п. совершенно не зависят от числа входящих переменных, или, как принято говорить, от размерности пространства этих переменных. Мы назовем, таким образом, «гиперплоскостью» совокупность всех таких точек x1, x2,..., xn в n-мерном пространстве Rn, которые удовлетворяют линейному уравнению L(x1, x2,..., xn) = a1x1 + a2x2 +... + anxn + b = 0.

Точно так же основная алгебраическая задача решения системы n линейных уравнений с n неизвестными L1(x1, x2,..., xn) = L2(x1, x2,..., xn) =....................

Ln(x1, x2,..., xn) = 256 ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА гл. IV истолковывается на геометрическом языке как нахождение точки пересечения n гиперплоскостей L1 = 0, L2 = 0,..., Ln = 0.

Преимущество такого геометрического способа описания математических факты заключается в том, что он подчеркивает некоторые обстоятельства алгебраического характера, которые не зависят от числа измерений n и вместе с тем в случае n 3 могут быть наглядно интерпретированы. Во многих приложениях употребление геометрической терминологии имеет также преимущество краткости, и вместе с тем облегчает аналитические рассуждения, а иногда руководит ими и направляет их в должную сторону. Теория относительности снова может быть приведена здесь в качестве примера области, в которой существенный успех был достигнут по той причине, что три пространственные координаты x, y, z и временная координата t «события» были объединены в одно «пространственно-временн четырехмерное мноое» гообразие x, y, z, t. Подчиняя, таким образом, «пространство-время» этой аналитической схеме и наделяя его, кроме того, свойствами неевклидовой геометрии, удалось описать многие весьма сложные ситуации с замечательной простотой. Столь же полезными оказались n-мерные пространства в механике, в статистической физике, не говоря уже о самой математике.

Приведем еще кое-какие чисто математические примеры. Совокупность всех кругов на плоскости образует трехмерное многообразие, так как круг с центром x, y и радиусом t может быть изображен точкой с координатами x, y, t. Так как радиус круга есть положительное число, то совокупность рассматриваемых точек заполняет полупространство.

Таким же образом совокупность всех сфер в обыкновенном трехмерном пространстве образует четырехмерное многообразие, так как каждая сфера с центром x, y, z и радиусом t может быть представлена точкой с координатами x, y, z, t. Куб в трехмерном пространстве с центром в начале координат, ребрами длины 2 и гранями, параллельными координатным плоскостям, состоит из совокупности всех точек x1, x2, x3, для которых |x1| 1, |x2| 1, |x3| 1. Так же точно «куб» в n-мерном пространстве Rn с центром в начале координат, «ребрами» длины и «гранями», параллельными координатным плоскостям, определяется как совокупность точек x1, x2,..., xn, для которых одновременно справедливы неравенства |x1| 1, |x2| 1,..., |xn| 1. «Поверхность» такого куба состоит из всех точек, для которых хотя бы в одном из этих соотношений имеет место знак равенства. Поверхностные элементы размерности n - 2 состоят из точек, для которых знак равенства стоит по меньшей мере два раза; и т. д.

Упражнение. Дайте описание поверхности такого куба в трехмерном, четырехмерном, n-мерном пространствах.

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ *3. Геометрический, или комбинаторный, подход. Хотя аналитический подход к n-мерной геометрии чрезвычайно прост и удобен для многих приложений, все же следует упомянуть и о другом методе, носящем чисто геометрический характер. Он основан на редукции от n-мерных данных к (n - 1)-мерным и тем открывает возможность определять многомерные геометрии посредством математической индукции.

Начнем с того, что рассмотрим контур треугольника ABC в двух измерениях. Разрезая его в точке C и затем поворачивая стороны AC и BC соответственно около A и B, мы выпрямим контур в прямолинейный отрезок (рис. 116), на котором точка C будет фигурировать дважды. Полученная одномерная фигура дает исчерпывающее представление контура двумерного треугольника. Сгибая фигуру в точках A и B и добившись совпадения двух точек C, мы имеем возможность восстановить треугольник. Но важно то, что сгибать вовсе и не нужно. Достаточно условиться, что мы «идентифицируем» (т. е. не будем различать) обе точки C, несмотря на то что эти две точки и не совпадают в обычном смысле. Можно сделать еще следующий шаг: разрезая фигуру также и в точках A и B, мы получим три отрезка CA, AB, BC, которые при желании можно опять сложить таким образом, чтобы был восстановлен «настоящий» треугольник ABC, причем пары иденC A B C A B C A B B C C A Рис. 116. Определение треугольника по сторонам с сопоставленными друг другу концами тифицируемых точек совпадут между собой. Идея идентифицировать различные точки в данной совокупности отрезков, чтобы из них построить многоугольный контур (в нашем случае — треугольник), практически иногда оказывается очень полезной. Если нужно отправить в дальнее путешествие какое-нибудь соединение из металлических балок, например, мостовую ферму, то удобнее всего упаковать сложенные вместе, предварительно разъединенные балки, обозначив одними и теми 258 ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА гл. IV же знаками те концы различных балок, которые должны быть соединены вместе. Такое собрание балок с размеченными концами совершенно эквивалентно пространственной конструкции. Предыдущее замечание приводит к мысли о том, как можно «разнять» двумерный многогранник в трехмерном пространстве, заменяя его фигурами низших измерений.

Возьмем, например, поверхность куба (рис. 117). Ее сейчас же можно свести к системе из шести квадратов, стороны которых надлежащим образом идентифицированы; следующий шаг будет состоять в том, чтобы заменить эту систему квадратов системой из 12 прямолинейных отрезков с надлежащим образом идентифицированными концами.

Вообще, любой многогранник в трехмерном пространстве R3 приводится таким образом или к системе плоских многоугольников, или к системе прямолинейных отрезков.

Упражнение. Выполните указанную редукцию для всех правильных многогранников (см. стр. 257).

Теперь уже ясно, что мы можем обратить ход наших рассуждений, определяя многоугольник на плоскости с помощью системы прямолинейных отрезков и многогранник в пространстве R3 — с помощью системы многоугольников в R2 или же, при условии дальнейшей редукции, с помощью опять-таки прямолинейных отрезков. Но тогда совершенно естественно определить «многогранник» в четырехмерном пространстве Rс помощью системы многогранников в R3 при надлежащей идентификации двумерных граней; «многогранник» в R5 — с помощью «многогранников» в R4 и т. д. В конечном счете всякий «многогранник» в Rn сводится к системе отрезков.

Останавливаться на этом вопросе подробнее мы лишены возможности. Добавим лишь несколько замечаний, не приводя доказательств.

«Куб» в R4 ограничен 8 трехмерными кубами, из которых каждый имеет со своими «соседями» по идентифицированной двумерной грани. У такого куба 16 вершин, в каждой вершине сходятся по четыре ребра; всего ребер имеется 32. В R4 существует шесть правильных многогранников.

Кроме «куба», имеется один многогранник, ограниченный 5 правильными тетраэдрами, один, ограниченный 16 тетраэдрами, один, ограниченный 24 октаэдрами, один, ограниченный 120 додекаэдрами, и еще один, ограниченный 600 тетраэдрами. Доказано, что в Rn, при n > 4, существует только 3 правильных многогранника: один с n + 1 вершинами, ограниченный n + 1 многогранниками из Rn-1, имеющими по n (n - 2)-мерных граней; один с 2n вершинами, ограниченный 2n многогранниками из Rn-1, имеющими по 2n - 2 (n - 2)-мерных граней; и еще один с 2n вершинами, ограниченный 2n многогранниками из Rn-1, имеющими по n (n - 2)-мерных граней.

Упражнение. Сравните определение «куба» из R4, данное в пункте 2, с МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 8 VI 8 4 3 7 II I III IV 5 1 2 6 V 4 3 8 4 3 5 I II III 1 2 5 1 2 1 5 3 2 6 4 7 8 5 6 8 1 4 5 IV V VI 3 4 8 3 2 7 6 5 1 2 4 1 2 5 Рис. 117. Определение куба по сопоставленным друг другу вершинам и ребрам определением, данным в настоящем пункте, и установите, что прежнее «аналитическое» определение куба равносильно настоящему «комбинаторному».

Со структурной, или «комбинаторной», точки зрения простейшими геометрическими фигурами размерности 0, 1, 2, 3 являются соответственно точка, отрезок, треугольник, тетраэдр. Ради единообразия символики обозначим фигуры этого типа соответственно T0, T1, T2, T3. (Индексы указывают на размерность.) Структура каждой из этих фигур характеризуется тем, что каждая фигура типа Tn имеет n + 1 вершин и каждое подмножество из i + 1 вершин фигуры типа Tn (i = 0, 1,..., n) определяет некоторую фигуру типа Ti. Например, трехмерный тетраэдр T3 имеет 4 вершины, 6 ребер и 4 грани.

Ясно, как будет дальше. Мы определим четырехмерный «тетраэдр» T4 как множество, состоящее из 5 вершин, причем каждое подмножество из 4 вершин порождает фигуру типа T3, каждое подмножество из 3 вершин — фигуру типа T2 и т. д. Фигура типа T4 схематически показана на рис. 118: мы видим, что у нее 5 вершин, 10 ребер, 10 треугольных граней и 5 тетраэдров.

Обобщение на n измерений не представляет труда. Из теории соедиr! r нений известно, что существует ровно Ci = таких различных i!(r - i)! подмножеств по i объектов, которые могут быть составлены из множе260 ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА гл. IV TT3 TTРис. 118. Простейшие элементы в 1, 2, 3, 4 измерениях ства r объектов. Поэтому n-мерный «тетраэдр» содержит n+C1 = n + 1 вершин (фигур типа T0), (n + 1)! n+C2 = ребер (фигур типа T1), 2!(n - 1)! (n + 1)! n+C3 = треугольников (фигур типа T2), 3!(n - 2)! (n + 1)! n+C4 = фигур типа T3, 4!(n - 3)!..................................

n+Cn+1 = 1 фигуру типа Tn.

Упражнение. Нарисуйте схематически фигуру типа T5 и определите число фигур типа Ti, в ней содержащихся (i = 0, 1,..., 5).

Г Л А В А V Топология Введение В середине XIX столетия возникло совершенно новое течение в геометрии, которому было суждено вслед за тем стать одной из главных движущих сил современной математики. Предметом новой отрасли, называемой топологией (или analysis situs), является изучение свойств геометрических фигур, сохраняющихся даже тогда, когда эти фигуры подвергаются таким преобразованиям, которые уничтожают все их и метрические, и проективные свойства.

Одним из великих геометров этой эпохи был А. Ф. Мёбиус (1790– 1868), человек, не слишком преуспевший из-за своей чрезмерной скромности в научной карьере: он занимал должность астронома в одной из второразрядных немецких обсерваторий. В возрасте шестидесяти восьми лет он представил Парижской Академии мемуар об «односторонних» поверхностях, содержащий кое-какие из наиболее изумительных фактов в новой отрасли геометрии. Подобно многим другим важным научным работам, его рукопись несколько лет валялась на полках Академии, пока обстоятельства не сложились так, что ее опубликовал сам автор. Независимо от Мёбиуса гёттингенский астроном И. Листинг (1808–1882) сделал подобные же открытия и, под влиянием Гаусса, в 1847 г. издал небольшую книгу «Vorstudien zur Topologie». Когда Бернгард Риман (1826– 1866) прибыл в Геттинген, чтобы стать там студентом, математическая атмосфера этого университетского города уже была насыщена острым любопытством по отношению к новым и странным геометрическим идеям. Скоро он осознал, что именно в них нужно искать разгадку самых глубоких свойств аналитических функций комплексного переменного.

Позднейшее развитие топологии, вероятно, едва ли обязано чему-либо в такой степени, как великолепному зданию римановой теории функций, в которой топологические концепции имеют самое фундаментальное значение.

На первых порах своеобразие методов, которыми приходилось действовать в новой области, воспрепятствовало тому, чтобы полученные здесь результаты были изложены в традиционной дедуктивной форме, 262 ТОПОЛОГИЯ гл. V типичной для элементарной геометрии.

Происходило нечто совсем иное: так, Пуанкаре, делая смелые шаги вперед, был вынужден широко и откровенно опираться на геометрическую интуицию. Даже в наши дни изучающий топологию явственно ощущает, что при слишком большой заботе о формальной безупречности существенно геометрическое содержание упускается из виду и тонет в массе деталей. Впрочем, как бы то ни было, нужно рассматривать как особое достижение то обстоятельство, что самые недавние работы по топологии включили эту отрасль геометрии в круг вполне строго построенных математических дисциплин, для которых интуиция была и остается источником, но не конечным критерием истины. По мере развития процесса «формализации» топологии, идущего от Л. Э. Я. Брауэра, удельный вес топологии по отношению к математике в целом непрерывно возрастал. Существенные успехи в указанном направлении принадлежат американским математикам, в частности, О. Веблену, Дж. У. Александеру и С. Лефшетцу.

Pages:     | 1 |   ...   | 35 | 36 || 38 | 39 |   ...   | 76 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.