WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 34 | 35 || 37 | 38 |   ...   | 76 |

модели Клейна представляют собой только своеобразно сформулированные теоремы евклидовой геометрии. Удовлетворительного доказательства непротиворечивости аксиом евклидовой геометрии дано не было, если не считать сведения к аналитической геометрии и в конечном счете к числовому континууму; а непротиворечивость концепции континуума — также вопрос открытый1.

* Мы привлечем внимание читателя еще к одной детали (впрочем, стоящей за пределами непосредственно поставленных нами задач) — именно, к определению неевклидова «расстояния» в модели Клейна. Это «расстояние» должно быть инвариантно относительно неевклидовых «движений», так как обыкновенное движение не изменяет обыкновенного расстояния. Мы знаем, что двойное отношение есть инвариант проективного преобразования. Естественно возникает S мысль о том, чтобы при определении «расстояния» между двумя различными точками P Q и Q внутри нашего круга воспользоваться P двойным отношением (OSQP ), где O и S — точки, в которых продолженный в обе стороO ны отрезок P Q встречается с окружностью.

Это двойное отношение, в самом деле, есть Рис. 111.

положительное число; но взять это отношение Неевклидово расстояние непосредственно в качестве «расстояния» P Q не представляется удобным. Действительно, в предположении, что три точки P, Q, R лежат на одной прямой, мы должны были бы иметь равенство P Q + QR = P R, но, вообще говоря, (OSQP ) + (OSRQ) = (OSP R).

Напротив, справедливо несколько иное равенство (OSQP ) · (OSRQ) = (OSP R); (1) в самом деле, QO P O RO QO RO P O (OSQP ) · (OSRQ) = : · : = : = (OSRP ).

QS P S RS QS RS P S Подробнее об исследованиях в этой области см. упомянутую на стр. 109 книгу А. Френкеля и И. Бар-Хиллела, содержащую также обширную библиографию. — Прим. ред.

§ 9 АКСИОМАТИКА И НЕЕКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ Свойство (1) позволяет определить «расстояние» P Q как логарифм двойного отношения (а не как само двойное отношение), с таким расчетом, чтобы обеспечить аддитивность расстояния: P Q = неевклидово «расстояние» P Q = log(OSQP ). Это «расстояние» есть положительное число, так как (OSQP ) > 1 при P = Q.

Из основного свойства логарифма (см. стр. 467) следует, в силу (1), что P Q + QR = P R. По какому основанию брать логарифмы — несущественно, так как при изменении основания меняется лишь единица измерения. Между прочим, если одна из точек, скажем Q, приближается к окружности, то неевклидово расстояние P Q неограниченно возрастает.

Это означает, что «прямая» нашей неевклидовой модели имеет бесконечную неевклидову «длину», хотя в евклидовом смысле представляет собой конечный отрезок.

3. Геометрия и реальность. Модель Клейна показывает, что гиперболическая геометрия как формально-дедуктивное построение непротиворечива в такой же степени, как и классическая евклидова геометрия. Возникает вопрос: которой же из двух геометрий следует отдать предпочтение, когда речь идет об описании геометрических отношений, существующих в физическом мире Как мы уже отметили, эксперимент никоим образом не может решить, проходит ли через данную точку только одна прямая, параллельная данной прямой, или бесчисленное множество. Однако в евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна 180, тогда как в гиперболической геометрии, как можно показать, она меньше 180. Гаусс предпринял опытное исследование вопроса о том, как обстоит дело с суммой углов треугольника с физической точки зрения: он очень тщательно измерил углы в треугольнике, образованном тремя достаточно удаленными друг от друга горными пиками, и в пределах возможных ошибок измерений сумма углов оказалась равной 180. Если бы результат был заметно меньше 180, то отсюда следовало бы, что гиперболическая геометрия лучше подходит для описания внешнего мира. Но эксперимент не решил ничего, так как для небольших треугольников со сторонами длиной всего в несколько миль отклонение от 180, которое предвидит гиперболическая геометрия, могло быть столь ничтожным, что гауссовы инструменты его не обнаружили. Таким образом, не дав решающих результатов, эксперимент все же показал, что евклидова и гиперболическая геометрии, различающиеся только в очень обширных частях пространства, для сравнительно малых фигур оказываются практически одинаково пригодными для употребления. Поэтому если рассматриваются только локальные свойства пространства, то выбор между двумя геометриями остается делать лишь по принципу простоты.

Но так как работать с евклидовой геометрией гораздо легче, чем с ги250 ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА гл. IV перболической, то мы и пользуемся именно ею, покуда рассматриваются небольшие (порядка нескольких миллионов миль!) расстояния. Однако нет оснований ожидать, что она наверное оказалась бы подходящей при описании физического мира в целом, во всех его обширных пространствах. Положение вещей в геометрии совершенно такое же, какое существует и в физике, где системы Ньютона и Эйнштейна дают неразличимые результаты при малых расстояниях и скоростях, но обнаруживают расхождение, когда рассматриваются большие величины.

Научно-революционное значение открытия неевклидовой геометрии заключается в том, что оно разрушило представление об аксиомах Евклида как о непоколебимой математической схеме, к которой приходится приспособлять наши экспериментальные знания о физической реальности.

4. Модель Пуанкаре. Математик волен видеть «геометрию» во всякой непротиворечивой системе аксиом, говорящих о «точках», «прямых» и т. д.; но его исследования только в том случае будут полезны для физика, если система аксиом находится в соответствии с поведением физических объектов в реальном мире. Мы хотели бы теперь, с этой точки зрения, разобраться в смысле утверждения: «Свет распространяется по прямой линии». Если в этом утверждении содержится физическое определение «прямой линии», то систему геометрических аксиом следует выбирать таким образом, чтобы получилось соответствие с поведением световых лучей. Вообразим, следуя Пуанкаре, что мир состоит из внутренности круга C и что во всякой точке скорость света пропорциональна расстоянию точки от окружности. Можно тогда доказать, что свет будет распространяться по круговым дугам, образующим прямые углы с окружностью C. В таком мире геометрические свойства «прямых линий» (определенных как световые лучи) будут отличаться от Рис. 112. Модель неевклидосвойств евклидовых прямых. В частвой плоскости Пуанкаре ности, не будет евклидовой аксиомы параллельности, так как через данную точку пройдет бесчисленное множество «прямых линий», не пересекающихся с данной «прямой линией».

Можно обнаружить, что «точки» и «прямые линии» в описываемом мире будут обладать в точности теми же свойствами, какими обладают § 9 АКСИОМАТИКА И НЕЕКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ «точки» и «прямые» в модели Клейна. Другими словами, мы получили новую модель гиперболической геометрии. Но евклидову геометрию также можно применять в этом мире: тогда выйдет, что световые лучи, которые уже не будут евклидовыми «прямыми линиями», распространяются по кругам, перпендикулярным к окружности C. Таким образом, одна и та же физическая ситуация может быть описана различными геометрическими системами, если предположить, что физические объекты (в нашем случае — световые лучи) связаны с различными понятиями в этих системах:

Световой луч «прямая линия» — гиперболическая геометрия Световой луч «окружность» — евклидова геометрия Так как в евклидовой геометрии понятие прямой линии сопоставляется с поведением светового луча в однородной среде, то говоря, что геометрия в описании мира внутри C гиперболическая, мы утверждали бы только то, что физические свойства световых лучей в этом мире те же самые, что и свойства «прямых» гиперболической геометрии.

5. Эллиптическая, или риманова, геометрия. В евклидовой геометрии, как и в гиперболической геометрии Бойяи—Лобачевского, молчаливо допускается, что всякая прямая бесконечна (бесконечность прямой существенно связана с отношением «быть между» и аксиомами порядка). Но, после того как гиперболическая геометрия открыла путь к свободному построению геометрий, естественно возник вопрос о том, нельзя ли осуществить построение таких неевклидовых геометрий, в которых прямые линии конечны и замкнуты. Разумеется, в таких геометриях теряют силу не только постулат о параллельных, но и аксиомы порядка. Современные исследования выяснили значение этих геометрий для новейших физических теорий. Впервые такие геометрии были подвергнуты рассмотрению в речи, произнесенной в 1851 г. Риманом при вступлении его в должность приРис. 113. «Прямые линии» ват-доцента Гёттингенского университев геометрии Римана та. Геометрии с замкнутыми конечными прямыми могут быть построены без каких бы то ни было противоречий.

Вообразим двумерный мир, состоящий из поверхности S сферы, причем под «прямыми» условимся понимать большие круги сферы. Это был бы самый естественный способ описывать «мир» мореплавателя: дуги больших кругов являются кратчайшими кривыми, связывающими две 252 ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА гл. IV точки на сфере, а это как раз и есть характеристическое свойство прямых на плоскости. В рассматриваемом двумерном мире всякие две «прямые» пересекаются, так что из внешней точки нельзя провести ни одной «прямой», не пересекающейся с данной (т. е. ей параллельной).

Геометрия «прямых» в этом мире называется эллиптической геометрией. Расстояние между двумя точками в такой геометрии измеряется просто как длина кратчайшей дуги большого круга, проходящего через данные точки. Углы измеряются так же, как и в евклидовой геометрии.

Самым характерным свойством эллиптической геометрии мы считаем несуществование параллельных.

Рис. 114. Эллиптическая точка Следуя Риману, мы можем обобщить эту геометрию следующим образом. Рассмотрим «мир», состоящий из некоторой кривой поверхности в пространстве (не обязательно сферы) и определим «прямую линию», проходящую через две точки, как кратчайшую кривую («геодезическую»), соединяющую эти точки. Точки поверхности можно разбить на два класса: 1. Точки, в окрестности которых поверхность подобна сфере в том отношении, что она вся лежит по одну сторону от касательной плоскости в этой точке. 2. Точки, в окрестности которых поверхность седлообразна — лежит по обе стороны касательной плоскости.

Точки первого класса называются эллиптическими точками поверхности — по той причине, что при небольшом параллельном перемещении касательной плоскости она пересечет поверхность по кривой, имеющей вид эллипса; точки же второго класса носят название гиперболических, так как при аналогичном перемещении касательной плоскости полугл. IV ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ БОЛЕЕ ЧЕМ ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЙ чается пересечение с поверхностью, напоминающее гиперболу. Геометрия геодезических «прямых» в окрестности точки поверхности является эллиптической или гиперболической, смотря по тому, будет ли сама точка эллиптической или гиперболической. В этой модели неевклидовой геометрии углы измеряются, как в обыкновенной евклидовой геометрии.

Изложенная идея была развита Риманом дальше: он рассмотрел геометрии пространства, аналогичные только что разобранным геометриям поверхности. По Риману, «кривизна» пространства, меняясь от точки к точке, определяет характер геометрии в окрестности точки. «Прямые линии» у Римана — геодезические кривые. В эйнштейновой общей теории относительности геометрия пространства есть риманова геометрия;

свет распространяется по геодезическим линиям, а кривизна пространства в каждой точке определяется в зависимости от свойств материи в окрестности точки.

Рис. 115. Гиперболическая точка Возникнув из чисто аксиоматических изысканий, неевклидова геометрия в наши дни стала чрезвычайно полезным аппаратом, допускающим различные применения при изучении физической реальности.

В теории относительности, в оптике, в общей теории колебаний неевклидово описание явлений оказывается в ряде случаев гораздо более адекватным физической реальности, чем евклидово.

254 ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА гл. IV ПРИЛОЖЕНИЕ Геометрия в пространствах более чем трех измерений 1. Введение. То «реальное» пространство, которое служит средой нашего физического опыта, имеет три измерения, плоскость имеет два измерения, прямая — одно. Наша, в обычном смысле понимаемая, пространственная интуиция решительно ограничена тремя измерениями — и дальше не простирается. Тем не менее во многих случаях вполне уместно говорить о «пространствах», имеющих четыре или более измерений. В каком же смысле допустимо говорить об n-мерном пространстве, где n > 3, и для чего могут быть полезны такие пространства Ответ можно дать, став или на аналитическую, или на геометрическую точку зрения. Терминологию n-мерного пространства дозволительно рассматривать только как образный язык, служащий для выражения математических идей, находящихся за пределами обычной геометрической интуиции.

2. Аналитический подход. Мы уже обращали внимание читателя на изменение роли аналитической геометрии, происшедшее на протяжении ее развития. Точки, прямые, кривые линии и т. д. первоначально рассматривались как чисто геометрические объекты, и задачей аналитической геометрии было всего-навсего, сопоставляя им координаты или уравнения, интерпретировать и развивать дальше геометрическую теорию алгебраическими или аналитическими методами. Но с течением времени постепенно начала утверждаться противоположная точка зрения. Число x, или пара чисел x, y, или тройка чисел x, y, z стали рассматриваться как исходные, основные объекты, и эти аналитические объекты далее конкретизировались, или, еще лучше сказать, «визуализировались» в виде точек на прямой, на плоскости, в пространстве. И тогда геометрический язык стал служить для того, чтобы констатировать наличие тех или иных соотношений между числами. При этом мы лишаем геометрические объекты их самостоятельного и независимого значения и говорим, что пара чисел x, y есть точка на плоскости, совокупность всех пар x, y, удовлетворяющих линейному уравнению L(x, y) = ax + by + c = 0 (где a, b, c — данные постоянные числа), есть прямая линия и т. д. Такие же определения устанавливаются и для трехмерного пространства.

Даже в том случае, когда мы занимаемся собственно алгебраической проблемой, язык геометрии нередко представляется вполне удобным для краткого и совершенно точного описания фактов, и геометрическая интуиция начинает работать, подсказывая правильные алгебраиМНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ческие процедуры. Например, решая систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными x, y, z L(x, y, z) = ax + by + cz + d = L (x, y, z) = a x + b y + c z + d = 0, L (x, y, z) = a x + b y + c z + d = мы истолковываем стоящую перед нами задачу геометрически и говорим, что в трехмерном пространстве R3 требуется найти точку пересечения трех плоскостей, заданных уравнениями L = 0, L = 0, L = 0.

Pages:     | 1 |   ...   | 34 | 35 || 37 | 38 |   ...   | 76 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.