WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 31 | 32 || 34 | 35 |   ...   | 76 |

Представим себе две сферы S1 и S2 (рис. 95), которые касаются плоскости сечения соответственно в точках F1 и F2 и, кроме того, касаются конуса вдоль параллельных окружностей K1 и K2. Взяв произвольную точку P кривой E, проведем отрезки P F1 и P F2. Затем рассмотрим отрезок P O, соединяющий точку P с вершиной конуса O; этот отрезок целиком лежит на поверхности конуса; обозначим через Q1 и Q2 точки его пересечения с окружностями K1 и K2. Так как P F1 и P Q1 — две § 8 КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ И КВАДРИКИ касательные, проведенные из точки P к одной и той же сфере S1, то P F1 = P Q1.

Точно так же P F2 = P Q2.

Складывая эти равенства, мы получаем:

P F1 + P F2 = P Q1 + P Q2.

Но P Q1 + P Q2 = Q1Q2 есть расстояние между параллельными окружностями K1 и K2 на поверхности конуса: оно не зависит от выбора точки P на кривой E. Отсюда следует, что, какова бы ни была точка P на E, имеет место равенство P F1 + P F2 = const, а это и есть фокальное определение эллипса. Итак, E есть эллипс, a F1 и F2 — его фокусы.

Упражнение. Если плоскость пересекает обе «полости» конуса, то кривая пересечения — гипербола. Докажите это утверждение, помещая по одной сфере в каждой из «полостей» конуса.

2. Проективные свойства конических сечений. Основываясь на положениях, установленных в предыдущем пункте, примем теперь временно следующее определение: коническое сечение есть проекция окружности на плоскость. Это определение в большей степени отвечает духу проективной Рис. 95. Сферы Данделена геометрии, чем общепринятые фокальные определения, так как эти последние всецело опираются на метрическое понятие расстояния. Новое определение тоже не вполне свободно от этого недостатка, поскольку «окружность» — также метрическое понятие. Но через мгновение мы придем к чисто проективному определению конических сечений.

Раз мы приняли, что коническое сечение есть не что иное, как проекция окружности (другими словами, под термином «коническое сечение» мы понимаем любую кривую, принадлежащую проективному 228 ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА гл. IV классу окружности; см. стр. 206), то отсюда сейчас же следует, что всякое свойство окружности, инвариантное относительно проективных преобразований, должно также принадлежать любому коническому сечению. Вспомним O O теперь следующее хорошо известное — метрическое — свойa ство окружности: «вписанные в a b d c d b c окружность углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой». На рис. угол AOB, опирающийся на дугу AB, не зависит от положения точки O на окружности. СвяD A жем, дальше, указанное обстоятельство с проективным поняB C тием двойного отношения, ввоРис. 96. Двойное отношение на окружнодя на окружности уже не две сти точки A, B, а четыре: A, B, C, D. Четыре прямые a, b, c, d, соединяющие эти точки с точкой O на окружности, имеют двойное отношение (a, b, c, d), зависящее только от углов, опирающихся на дуги CA, CB, DA, DB. Соединяя A, B, C, D с какой-нибудь другой точкой O на окружности, получим прямые a, b, c, d. Из отмеченного ранее свойства окружности вытекает, что две четверки прямых «конгруэнтны»1. Поэтому у них будет одно и то же двойное отношение: (a b c d ) = (abcd). Спроектируем окружность на некоторое коническое сечение K: тогда на K получится четверка точек, которые мы снова обозначим через A, B, C, D, две точки O и O и две четверки прямых a, b, c, d и a, b, c, d. Эти две четверки прямых уже не будут конгруэнтны, так как углы при проектировании, вообще говоря, не сохраняются. Но так как двойное отношение при проектировании не изменяется, то равенство (abcd) = (a b c d ) по-прежнему имеет место.

Мы пришли, таким образом, к следующей основной теореме: если четыре точки конического сечения K, например A, B, C, D, соединены с пятой точкой O того же сечения прямыми a, b, c, d, то двойное отношение (abcd) не зависит от положения O на кривой K (рис. 97).

Это — замечательный результат. Как нам уже известно, если четыре точки A, B, C, D взяты на прямой, то двойное отношение, составленное из соединяющих эти точки с пятой точкой O прямых, не зависит от Четверка прямых a, b, c, d считается конгруэнтной другой четверке a, b, c, d, если углы между каждой парой прямых в первой четверке равны как по величине, так и по направлению отсчета углам между соответствующими прямыми второй четверки.

§ 8 КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ И КВАДРИКИ выбора этой пятой точки. Это — исходное положение, лежащее в основе проективной геометрии. Теперь мы узнали, что аналогичное утверждение справедливо и относительно четырех точек, взятых на некотором коническом сечении K, однако с существенным ограничением: пятая точка O уже не может свободно двигаться по всей плоскости, а может только перемещаться по коническому сечению K.

Не представляет особого труда доказать и обратную теорему в следующей форме: если на кривой K имеются две точки O и O, обладающие тем свойством, что какова бы ни была четверка точек A, B, C, D на кривой K, двойные отношения, составленные из прямых, соединяющих эти точки с O, и из прямых, соединяющих эти точки с O, равны между собой, то кривая K есть коническое сечение (а уж тогда, по прямой теореме, двойное отношение, составленное из прямых, соединяющих четыре данные точки с произвольной точкой O на K, будет иметь одно и то же постоянное значение). Но доказательства мы здесь приводить не будем.

Изложенные проективные свойства конических сечений наводят на мысль об общем методе точечного построения этих кривых. Условимся под пучком прямых понимать совокупность всех прямых плоскости, проходящих через данную точку O. Рассмотрим пучки прямых, O O проходящих через две точки O a и O, расположенные на кониa d c ческом сечении K. Между пряb c b d мыми пучка O и прямыми пучка O можно установить взаимA но однозначное соответствие, соB поставляя прямой a из первого D пучка прямую a из второго всяC кий раз, как a и a встречаются Рис. 97. Двойное отношение на эллипсе в некоторой точке A кривой K.

Тогда любая четверка прямых a, b, c, d из пучка O будет иметь то же двойное отношение, что и соответствующая четверка a, b, c, d из пучка O. Всякое взаимно однозначное соответствие между двумя пучками прямых, обладающее этим последним свойством, называется проективным соответствием.

(Это определение двойственно по отношению к определению проективного соответствия между точками на двух прямых, см. стр. 198–198.) Пользуясь этим определением, можно теперь утверждать: коническое сечение K есть геометрическое место точек пересечения взаимно соответствующих прямых из двух пучков, находящихся в проективном соответствии. Полученная теорема подводит фундамент под следующее чисто проективное определение конических сечений: коническим 230 ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА гл. IV сечением называется геометрическое место точек пересечения взаимно соответствующих прямых из двух пучков, находящихся в проективном соответствии1. Как ни соблазнительно проникнуть в глубь теории конических сечений, строящейся на таком определении, однако мы вынуждены ограничиться немногими замечаниями по этому поводу.

Пары пучков, находящихся в проективном соответствии, можно получить следующим образом. Спроектируем все точки P прямой линии l из двух разных центров O и O и установим между проектирующими пучками взаимно однозначное соответствие, сопоставляя друг другу те прямые, которые пересекаются на прямой l. Этого достаточно, чтобы полученные пучки находились в проективном соответствии. Затем возьмем пучок O и перенесем его «как нечто твердое» в произвольное положение O. Что новый пучок O будет находиться в проективном соответствии с пучком O, это совершенно очевидно. Но замечательно то, что любое проективное соответствие между двумя пучками можно O O a b d c a c b d Рис. 98. К построению проективных пучков прямых получить именно таким образом. (Это обстоятельство двойственно по отношению к упражнению 1 на стр. 199.) Если пучки O и O конгруэнтны, получается окружность. Если углы между соответствующими лучами в двух пучках равны, но отсчитываются в противоположных направлениях, то получается равносторонняя гипербола (рис. 99).

Следует еще заметить, что указанное определение конического сечения может, в частности, дать и прямую линию, как это показано на рис. 98. В этом случае прямая OO соответствует сама себе, и все ее точки должны быть рассматриваемы как принадлежащие искомому геометрическому месту. Таким образом, коническое сечение вырождается в Это геометрическое место, при известных обстоятельствах, может вырождаться в прямую линию; см. рис. 98.

§ 8 КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ И КВАДРИКИ пару прямых: это обстоятельство вполне согласуется с тем фактом, что существуют сечения конуса, состоящие из двух прямых (если секущая плоскость проходит через вершину конуса).

8 O 9 13 18 19 O Рис. 99. Образование окружности и равносторонней гиперболы с помощью проективных пучков Упражнения. 1) Вычертите эллипсы, гиперболы и параболы с помощью проективных пучков. (Читателю настойчиво рекомендуется экспериментировать с подобного рода построениями. Это в высшей степени способствует пониманию сути дела.) 2) Дано пять точек O, O, A, B, C некоторого конического сечения K.

Найдите точки пересечения D произвольной прямой d пучка O с кривой K.

(Указание: через O проведите прямые OA, OB, OC и назовите их a, b, c.

Через O проведите прямые O A, O B, O C и назовите их a, b, c. Проведите через O прямую d и постройте такую прямую d пучка O, что (abcd) = (a b c d ). Тогда точка пересечения d и d принадлежит кривой K.) 3. Конические сечения как «линейчатые кривые». Понятие касательной к коническому сечению принадлежит проективной геометрии, так как касательная к коническому сечению есть прямая, имеющая с самой кривой только одну общую точку, а это — свойство, сохраняющееся при проектировании. Проективные свойства касательных к коническим сечениям основываются на следующей теореме:

Двойное отношение точек пересечения четырех фиксированных касательных к коническому сечению с произвольной пятой касательной 232 ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА гл. IV не зависит от выбора этой пятой касательной.

Доказательство этой теоремы весьма просто. Так как любое коническое сечение есть проекция окружности и так как в теореме идет речь только о таких свойствах, которые инвариантны относительно проектирования, то, чтобы доказать теорему в общем случае, достаточно доказать ее для частного случая окружности.

Для этого же частного случая теорема доказывается средствами элементарной геометрии. Пусть P, Q, R, S — четыре точки на окружности K; a, b, c, d — касаРис. 100. Окружность как сотельные в этих точках; T — еще какаявокупность касательных нибудь точка на окружности, o — касательная в ней; пусть, далее, A, B, C, D — точки пересечения касательной o с касательными a, b, c, d. Если M — центр окружности, то, очевидно, T MA = T MP, и последнее выражение представляет угол, вписанный в K, опирающийся на дугу T P.

Таким же образом T MB представляет угол, вписанный в K и опирающийся на дугу T Q. Следовательно, AMB = P Q, где P Q обозначает угол, вписанный в K и опирающийся на дугу P Q. Отсюда видно, что A, B, C, D проектируются из M четырьмя прямыми, углы между которыми имеют величины, зависящие только от положения точек P, Q, R, S. Ho тогда двойное отношение (ABCD) зависит только от четырех касательных a, b, c, d, но не от касательной o.

Как раз это и нужно было установить.

A o B C D d T S c R b M Q a P Рис. 101. Свойство касательной к окружности § 8 КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ И КВАДРИКИ В предыдущем пункте мы имели случай убедиться, что коническое сечение может быть построено «по точкам», если станем отмечать точки пересечения взаимно соответствующих прямых двух пучков, между которыми установлено проективное соответствие. Только что доказанная теорема дает нам возможность сформулировать двойственную теорему.

Возьмем две касательные a и a к коническому сечению K. Третья касательная t пусть пересекает a и a соответственно в точках A и A. Если t будет перемещаться вдоль кривой, то установится соответствие A A между точками a и точками a. Это соответствие будет проективным, так как по доказанной теореме произвольная четверка точек на a будет непременно иметь то же двойное отношение, что и соответствующая четверка точек на a. Отсюда следует, что коническое сечение K, расD C B A a a D B C A Рис. 102. Проективные ряды точек на двух касательных к эллипсу сматриваемое как «совокупность своих касательных», «состоит» из прямых, соединяющих взаимно соответствующие точки двух точечных рядов1 на a и на a, находящихся в проективном соответствии. Указанное обстоятельство позволяет ввести новое определение конических сечений, рассматриваемых на этот раз как «линейчатые кривые». Сравним это определение с прежним проективным определением конического сечеСовокупность точек на прямой называется точечным рядом. Это понятие двойственно по отношению к пучку прямых.

234 ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА гл. IV ния, данным в предыдущем пункте:

I II Коническое сечение, рассмат- Коническое сечение, рассматриваемое как совокупность то- риваемое как «совокупность прячек, состоит из точек пересе- мых », состоит из прямых, соедичения взаимно соответствую- няющих взаимно соответствующих прямых в двух проективных щие точки в двух проективных пучках. рядах.

Если мы станем считать касательную к коническому сечению в некоторой его точке двойственным элементом по отношению к самой точке и условимся, кроме того, «линейчатую кривую» (образованную совокупностью касательных) на основе двойственности сопоставлять «точечной кривой» (образованной совокупностью точек), то предыдущие формулировки будут безупречны с точки зрения принципа двойственности. При «переводе» одной формулировки в другую с заменой всех понятий соответствующими двойственными понятиями, «коническое сечение» остается неизменным; но в одном случае оно мыслится как «точечная кривая», определяемая своими точками, в другом — как «линейчатая кривая», определяемая своими касательными.

Из предыдущего вытекает важное следствие: принцип двойственности, первоначально установленный в проективной геометрии плоскости только для точек и прямых, оказывается, может быть распространен и на конические сечения. Если в формулировке любой теоремы, касающейся точек, прямых и конических сечений, заменить каждый элемент ему двойственным (не упуская из виду, что точке конического сечения должна быть сопоставляема касательная к этому коническому сечению), то в результате также получится справедливая теорема. Пример действия этого принципа мы встретим в пункте 4 настоящего параграфа.

Pages:     | 1 |   ...   | 31 | 32 || 34 | 35 |   ...   | 76 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.