WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 29 | 30 || 32 | 33 |   ...   | 76 |

Не только формулировка, но и доказательство теоремы, принадлежащей проективной геометрии, нередко упрощаются в результате введения бесконечно удаленных элементов. Общий принцип заключается в следующем. Условимся под «проективным классом» некоторой геометрической фигуры F понимать класс всех фигур, в которые F может быть переведена проективными преобразованиями. Проективные свойства F ничем не отличаются от проективных свойств любой фигуры ее проек§ 5 ПРИМЕНЕНИЯ тивного класса, так как по самому определению проективные свойства сохраняются при проектировании. Таким образом, любая проективная теорема (т. е. теорема, говорящая только о проективных свойствах), которая верна для фигуры F, будет также верна для любого «представителя» проективного класса этой фигуры, и обратно. Поэтому, чтобы доказать такую теорему для F, достаточно доказать ее для некоторого «представителя» проективного класса F. Мы можем воспользоваться указанным обстоятельством и выбрать такого «представителя», для которого доказательство проще, чем для самой фигуры F. Например, произвольные две точки A, B плоскости могут быть спроектированы в бесконечность из данного центра O, если проектировать на плоскость, параллельную плоскости, проходящей через точки O, A, B; прямые, проходящие через A или через B, при этом превратятся в семейства параллельных прямых. Именно такое предварительное преобразование мы выполним при доказательстве проективных теорем, которыми займемся в этом параграфе.

B B C D O A O C D A Рис. 86. Подобие треугольников, образованных параллельными прямыми В дальнейшем нам придется воспользоваться следующим обстоятельством, относящимся к параллельным прямым. Пусть две прямые, проходящие через точку O, пересекаются прямыми l1 и l2 в точках A, B, C, D, как показано на рис. 86. Если прямые l1 и l2 параллельны, то OA OB = ; и обратно, если выполнено последнее соотношение, то пряOC OD мые l1 и l2 параллельны. Доказательство, вытекающее из элементарных свойств подобных треугольников, предоставляется читателю.

2. Двумерное доказательство теоремы Дезарга. Докажем теперь, не прибегая к пространственному проектированию, что если два треугольника ABC и A B C расположены на плоскости так, как изображено на рис. 72, т. е. если прямые, соединяющие соответствующие вершины, встречаются в одной и той же точке, то точки пересечения соответствующих сторон P, Q, R лежат на одной прямой. Для этого прежде всего спроектируем чертеж таким образом, чтобы точки Q и R ушли в бесконечность. После такого проектирования прямая A B станет параллельна прямой AB, а прямая A C — прямой AC (рис. 87).

214 ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА гл. IV Как было отмечено в пункте 1 настоящего параграфа, чтобы доказать теорему Дезарга в общем случае, достаточно доказать ее только для A s A r B v u B O x C y C Рис. 87. Доказательство теоремы Дезарга случая рассматриваемой здесь частной конфигурации. Именно, достаточно показать, что точка P пересечения сторон BC и B C также уйдет в бесконечность, т. е. что прямая B C параллельна прямой BC: тогда точки P, Q, R будут коллинеарны (так как все три будут лежать на бесконечно удаленной прямой). Обратим внимание на то, что u r AB A B влечет =, v s и x r AC A C влечет =.

y s u x Поэтому =, а отсюда следует BC B C, что и требовалось докаv y зать.

Следует отметить, что приведенное доказательство теоремы Дезарга опирается на математическое понятие длины отрезка. Таким образом, проективная теорема доказана в данном случае метрическими средствами. Другое заслуживающее внимания обстоятельство заключается в следующем. Мы указывали раньше (стр. 198), что понятию проективного преобразования может быть дано «внутреннее» определение («проективное преобразование плоскости — такое, которое оставляет инвариантными все двойные отношения»): отсюда вытекает, что теорема Дезарга способна быть сформулирована и доказана без выхода в пространство, т. е. без использования трехмерных представлений и построений.

Упражнение. Докажите подобным же образом теорему, обратную дезарговой: если треугольники ABC и A B C таковы, что P, Q, R коллинеарны, то прямые AA, BB, CC конкуррентны.

§ 5 ПРИМЕНЕНИЯ 3. Теорема Паскаля. Эта теорема формулируется так: если вершины шестиугольника лежат поочередно на двух пересекающихся прямых, то точки P, Q, R пересечения противоположных сторон этого шестиугольника коллинеарны (рис. 88). (Контур шестиугольника может быть самопересекающимся.

P Что такое «противоположные» стороны, можно легко понять из схемы на рис. 89.) Выполняя предварительное проектирование, можно допустить, что P и Q ушли в бесконечность. Остается показать, что R также уйдет 1 5 в бесконечность. Ситуация иллюстрируется рис. 90, где 23 56 и Q 45. Нужно показать, что 16 34. Мы имеем a b + y =, a + x b + y + s R b a + x =.

b + y a + x + r Рис. 88. Конфигурация Паскаля Поэтому a a + x + r =, b b + y + s так что 16 34, что и требовалось доказать.

r 2 x 1 a 6 y s b 1 5 Рис. 89. Нумерация вер- Рис. 90. Доказательство теоремы Паскаля шин шестиугольника На стр. 230 будет рассмотрена более общая теорема этого же типа. Настоящий частный случай связывается также с именем Паппа Александрийского (III столетие до нашей эры).

216 ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА гл. IV 4. Теорема Брианшона. Эта теорема формулируется так: если стороны шестиугольника проходят поочередно через две данные точки P и Q, то три диагонали, соединяющие противоположные вершины шестиугольника, конкуррентны (рис. 91).

Q P Рис. 91. Конфигурация Брианшона Посредством предварительного проектирования можно отправить в бесконечность точку P и точку, в которой пересекаются две какиенибудь диагонали, например 14 и 36. Полученная ситуация изображена a u x a на рис. 92. Так как 14 36, то =. Но вместе с тем = и b v y b u r x r =. Значит, = и поэтому 36 25, так что все три диагонали v s y s параллельны и, следовательно, конкуррентны. Этого достаточно, чтобы считать теорему доказанной и в общем случае.

5. Замечание по поводу двойственности. Читатель, вероятно, уже заметил замечательное сходство теорем Паскаля (1623–1662) и Брианшона (1785–1864). Это сходство особенно бросается в глаза, если обе формулировки поставить рядом:

Теорема Паскаля Теорема Брианшона Если вершины шестиугольни- Если стороны шестиугольника лежат поочередно на двух ка проходят поочередно через прямых, то точки пересечения две точки, то прямые, соединяпротивоположных сторон кол- ющие противоположные вершилинеарны. ны, конкуррентны.

Не только теоремы Паскаля и Брианшона, но все вообще теоремы проективной геометрии группируются попарно таким образом, что две теоремы одной и той же пары сходны между собой и, так сказать, идентичны по своей структуре. Это явление носит название двойственности.

§ 6 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В геометрии плоскости точка и прямая представляют собой взаимно двойственные элементы. Провести прямую через точку и отметить точку на прямой — операции взаимно двойственные. Две фигуры взаимно двойственны, если одна может быть получена из другой посредством замены каждого элемента и каждой операции двойственным элементом и двойственной операцией. Две теоремы взаимно двойственны, если одна превраща- Q ется в другую при замене каждого элемента и каждой операции двойственным элементом и двойственной операцией. Например, теоремы Паскаля и Брианшона взаимно двойственны, тогда как теоремой, двойy x ственной теореме Дезарга, являет- ся теорема, ей обратная. Явление s двойственности резко отличает проv ективную геометрию от элементарной (метрической), в которой никаa b кой двойственности не наблюдает- u ся. (Например, было бы бессмыслен- r но искать какое-нибудь «двойственное» утверждение по отношению к 4 тому факту, что данный угол содержит 37 или что данный отре- Рис. 92. Доказательство теоремы Брианшона зок равен 2 линейным единицам.) Принцип двойственности, согласно которому каждой верной теореме проективной геометрии сопоставляется двойственная ей, также верная теорема, во многих учебниках подчеркивается тем, что формулировки взаимно двойственных теорем, вместе со взаимно двойственными их доказательствами, приводятся рядом, как мы это сделали выше. Внутренняя причина явления двойственности будет изучена в следующем параграфе (см. также стр. 228).

§ 6. Аналитическое представление 1. Вводные замечания. В раннем периоде развития проективной геометрии существовала настойчиво проводимая тенденция выполнять все построения на синтетической или, как говорилось, «чисто геометрической» основе, вовсе избегая применения чисел и алгебраических методов. Выполнение этой программы встретило на своем пути большие затруднения, так как всегда оставались какие-то пункты, в которых алгебраические формулировки казались неизбежными. Полный успех 218 ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА гл. IV в построении чисто синтетической проективной геометрии был достигнут только к концу XIX в. и только ценой значительных осложнений.

В этом отношении методы аналитической геометрии оказались гораздо более плодотворными. Для современной математики характерна иная тенденция — положить в основу построения понятие числа, и в геометрии эта тенденция, идущая от Ферма и Декарта, возымела решительный триумф. Аналитическая геометрия перестала быть подсобным аппаратом, играющим служебную роль в геометрических рассуждениях, и стала самостоятельной областью, в которой интуитивная геометрическая интерпретация операций и результатов уже не является последней и окончательной целью, а принимает на себя функцию руководящего принципа, помогающего угадывать и понимать аналитические факты.

Такое изменение значения геометрии есть последствие постепенного развития геометрии в историческом плане — развития, широко раздвинувшего рамки классических концепций; оно же обусловило вместе с тем почти органическое слияние геометрии и анализа.

В аналитической геометрии под «координатами» геометрического объекта понимается какая угодно совокупность чисел, позволяющая определить этот объект однозначно. Так, точка определяется своими прямоугольными координатами x, y или своими полярными координатами, ; с другой стороны, например, треугольник определяется координатами трех вершин, что в целом составляет шесть координат.

Мы знаем, что прямая линия в плоскости x, y представляет собой геометрическое место всех точек P (x, y) (об обозначениях см. стр. 92), координаты которых удовлетворяют некоторому линейному уравнению ax + by + c = 0. (1) Поэтому можно три числа a, b, c назвать «координатами» этой прямой.

Например, a = 0, b = 1, c = 0 определяют прямую y = 0, т. е. ось x;

a = 1, b = -1, c = 0 определяют прямую x = y, которая делит пополам угол между положительной осью x и положительной осью y. Таким же образом следующие уравнения определяют «конические сечения»:

x2 + y2 = r2 — окружность радиуса r с центром в начале координат, x(x - a)2 + (y - b)2 = r2 — окружность радиуса r с центром (a, b), + ay= 1 — эллипс и т. д.

bБолее или менее наивный подход к аналитической геометрии заключается в том, чтобы, отправляясь от чисто «геометрических» представлений — точка, прямая и т. д., — переводить их затем на язык чисел.

Современная точка зрения противоположна. Мы отправляемся от множества всевозможных пар чисел x, y и называем каждую такую пару точкой, так как можем, если пожелаем, наглядно интерпретировать такую пару чисел с помощью общедоступного понятия геометрической § 6 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ точки. Точно так же прямая линия является геометрическим представлением или интерпретацией линейного уравнения, связывающего x и y.

Указанный перенос акцента от интуитивного понимания геометрии к аналитическому открывает возможность, в частности, простой и вполне строгой трактовки бесконечно удаленных точек в проективной геометрии; он же необходим для более глубокого проникновения в эту область.

Для тех читателей, которые обладают достаточной предварительной математической подготовкой, мы дадим теперь некоторый очерк применения аналитических методов в проективной геометрии.

*2. Однородные координаты. Алгебраические основы двойственности. В обыкновенной аналитической геометрии прямоугольными координатами точки на плоскости являются снабженные знаками расстояния точки от двух взаимно перпендикулярных осей. Но в такой системе координат не находится места для бесконечно удаленных точек расширенной проективной плоскости. Поэтому, если мы хотим пользоваться аналитическими методами в проективной геометрии, то необходимо найти такую координатную систему, которая смогла бы включить идеальные точки наравне с обыкновенными. Легче всего дать описание такой координатной системы, если представить себе данную плоскость X, Y (которую будем обозначать через ) расположенной в трехмерном пространстве с прямоугольными координатами x, y, z (эти буквы обозначают снабженные знаками расстояния точки от трех координатных плоскостей, образованных осями x, y и z). Представим себе, что плоскость параллельна координатной плоскости x, y и находится на расстоянии 1 от нее, так что трехмерные координаты точки P в плоскости будут (X, Y, 1). Принимая начало O координатной системы за центр проектирования, заметим, что всякой точке P взаимно однозначно соответствует некоторая прямая OP, проходящая через начало координат (см. стр. 98). В частности, бесконечно удаленным точкам плоскости соответствуют прямые, проходящие через O и параллельные.

Посмотрим теперь, что же представляет собой система однородных координат для точек плоскости. Чтобы найти однородные координаты обыкновенной точки P в этой плоскости, возьмем прямую OP и на ней выберем произвольную точку Q, отличную от O (рис. 93). Обыкновенные трехмерные координаты x, y, z точки Q считаются однородными координатами точки P в плоскости. В частности, координаты (X, Y, 1) самой точки P являются ее однородными координатами. Но вместе с тем ее же однородными координатами явятся любые числа (tX, tY, t), где t = 0, так как координаты всех точек прямой OP (кроме O) имеют как раз такой вид. (Мы исключаем точку (0, 0, 0), потому что она лежит на всех прямых, проходящих через O, и не может служить 220 ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА гл. IV для их различения.) Система однородных координат, конечно, представляет известное неудобство в том отношении, что нужны три числа вместо двух для определения точки, и, самое главное, координаты точки определяются не однозначно, а с точностью до постоянного множителя. Но она имеет то безусловное преимущество, что она охватывает и идеальные, бесконечно удаленные точки плоскости. Действительно, такой идеальной точке P z (tx, ty, tz) (x, y, z) Q Y X P(X, Y, 1) x O y ( x, y, z) x y Рис. 93. Однородные координаты соответствует некоторая прямая, проходящая через O и параллельная ;

Pages:     | 1 |   ...   | 29 | 30 || 32 | 33 |   ...   | 76 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.