WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 28 | 29 || 31 | 32 |   ...   | 76 |

R A B Рис. 82. Проведение прямой через препятствие Задача. На плоскости задан отрезок AB и область R, как показано на рис. 82. Желательно продолжить прямую AB вправо от R. Как это можно сделать с помощью одной линейки и при условии, чтобы в процессе построения не покрывать линейкой никакой части области R (Указание: выберите на отрезке AB две произвольные точки C и C, затем постройте сопряженные с ними гармонические D и D относительно пары точек A, B; при построении воспользуйтесь четыре раза теоремой о полном четырехстороннике.) § 4. Параллельность и бесконечность 1. «Идеальные» бесконечно удаленные точки. Внимательное рассмотрение изложенного в предыдущем параграфе обнаруживает, что во многих случаях приведенная аргументация теряет силу — именно, тогда, когда прямые, точка пересечения которых нужна для построения, оказываются параллельными. Например, построение четвертой гармонической точки D становится невыполнимым, если прямая IF параллельна AB. Геометрические рассуждения на каждом шагу затруднены тем обстоятельством, что параллельные прямые не имеют общей точки, § 4 ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ И БЕСКОНЕЧНОСТЬ и потому всякий раз, когда речь идет о пересечении прямых, приходится отдельно рассматривать и особо оговаривать случай параллелизма.

С другой стороны, если производится проектирование, мы вынуждены различать и трактовать независимо рядом с центральной также и параллельную проекцию. Если бы из такого положения не было выхода, то проективная геометрия, будучи вынуждена вникать в детальное исследование каждого встречающегося исключения и особого случая, неизбежно была бы чрезвычайно усложнена. Все это побуждает искать выхода в ином направлении, именно, на пути такого обобщения основных понятий, которое устраняло бы возможные исключения.

Тут нам поможет геометрическая интерпретация; мы видим, что если прямая, пересекающая другую прямую, медленно вращается, приближаясь к положению параллельности, то точка пересечения двух прямых неограниченно удаляется. Это дает повод к наивному утверждению: две прямые пересекаются «в бесконечно удаленной точке». Подобного рода формулировке существенно придать точный смысл с таким расчетом, чтобы с «бесконечно удаленными», или, как иногда говорят, с «идеальными» точками можно было проводить точные и надежные рассуждения, как с обыкновенными точками на плоскости или в пространстве.

Иными словами, мы желали бы, чтобы все правила поведения точек, прямых, плоскостей оставались в силе и для «идеальных» геометрических элементов.

В математическом смысле существование «бесконечно удаленных точек» обеспечено, если отчетливо и без взаимных противоречий установлены математические свойства этих вновь вводимых элементов, т. е. их взаимоотношения с «обыкновенными» точками и между собой. Обыкновенно система геометрических аксиом (например, в евклидовой геометрии) вытекает путем абстракции из наблюдений над физическими объектами: таковы следы прикосновения карандаша к бумаге или мела к доске, натянутые нити, световые лучи, твердые стержни и т. п. Свойства, приписываемые аксиомами математическим точкам и прямым, представляют собой в высшей степени упрощенные и идеализированные описания поведения соответствующих им физических «двойников». Через любые два карандашных пятнышка можно провести не одну, а много карандашных «прямых». Если пятнышки становятся все меньше по диаметру, то все такие «прямые» станут трудно отличимыми одна от другой. Вот что мы, собственно говоря, имеем в виду, высказывая в качестве геометрической аксиомы, что «через любые две точки можно провести одну и только одну прямую»: мы при этом говорим об «абстрактных», чисто умозрительных, геометрических точках и прямых. Геометрические точки и прямые обладают гораздо более простыми свойствами, чем какие бы то ни было физические объекты. Упрощение является существенным условием, позволяющим строить геометрию как 208 ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА гл. IV дедуктивную дисциплину.

Как уже было отмечено, обыкновенная геометрия точек и прямых весьма осложнена тем обстоятельством, что две параллельные прямые не имеют точки пересечения. Это побуждает нас сделать дальнейшее упрощение в структуре геометрии, расширяя понятие геометрической точки таким образом, чтобы устранить указанное исключение — совершенно так же, как мы расширяли понятие числа с целью устранения ограничений при вычитании и делении. В геометрии, как и в арифметике, мы озабочены неукоснительно сохранением в расширенной области тех законов, какие регулировали отношения в первоначальной области.

Итак, мы уславливаемся в том, что к обыкновенным точкам всякой прямой добавляем еще одну, «идеальную», точку и будем считать эту точку принадлежащей одновременно всем прямым, параллельным данной, и никаким другим. Следствием такого условия является то, что всякая пара прямых на плоскости теперь уже пересекается в единственной точке: если прямые не параллельны, то в «обыкновенной» точке;

если параллельны, то в им обеим принадлежащей «идеальной» точке.

По причинам интуитивного порядка эта идеальная точка на прямой называется бесконечно удаленной точкой на этой прямой.

Интуитивное представление о точке, удаляющейся в бесконечность по прямой линии, могло бы навести на мысль, что следует добавить две идеальные точки на каждой прямой — по одной для каждого направления. Если мы добавляем только одну, то лишь потому, что мы заинтересованы в сохранении закона: через каждые две точки проходит одна и только одна прямая. Если бы прямая содержала две бесконечно удаленные точки вместе со всеми, ей параллельными, то вышло бы, что через две такие «точки» проходит бесконечное множество прямых.

Мы уславливаемся также в том, что к обыкновенным прямым на плоскости добавляем еще одну «идеальную», так называемую «бесконечно удаленную» прямую, содержащую все бесконечно удаленные точки плоскости и никаких других. Мы вынуждены принять именно такое условие, если хотим сохранить первоначальный закон — «через всякие две точки проходит одна прямая» и вновь утвержденный закон — «всякие две прямые пересекаются в одной точке». В самом деле, возьмем две какие-нибудь идеальные точки. Единственная прямая, которая должна проходить через эти точки, не может быть обыкновенной прямой, так как по принятому условию каждая обыкновенная прямая содержит только одну идеальную точку. С другой стороны, эта прямая не может содержать обыкновенных точек, так как через обыкновенную точку и одну из идеальных точек непременно прошла бы обыкновенная прямая.

Наконец, рассматриваемая прямая непременно содержит все идеальные точки, так как мы хотим, чтобы она имела одну общую точку со всякой обыкновенной прямой. Итак, прямая, о которой идет речь, неизбежно § 4 ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ И БЕСКОНЕЧНОСТЬ должна обладать как раз всеми теми свойствами, которыми мы наделили идеальную прямую в нашей плоскости.

Согласно принятым условиям, каждая бесконечно удаленная точка определяется или представляется семейством параллельных прямых, точно так же как иррациональное число определяется последовательностью «вложенных» рациональных отрезков. Такого рода условный способ описывать параллельность с помощью терминов, первоначально предназначенных для интуитивно отличных объектов, единственной своей целью имеет сделать излишним перечисление исключительных случаев; эти последние теперь автоматически покрываются теми же терминами (и оборотами речи), которые первоначально употреблялись для «обыкновенных» случаев.

Резюмируем: наши условия, касающиеся бесконечно удаленных элементов, были выбраны таким образом, чтобы законы, регулирующие отношение инцидентности между обыкновенными точками и прямыми, сохранялись и в расширенной области, чтобы операция нахождения точки пересечения двух прямых, ранее возможная только в случае непараллельности, могла быть выполнена без ограничений. Соображения, которые привели нас к формальному упрощению в отношениях инцидентности, способны показаться несколько абстрактными. Но читатель убедится на следующих страницах, что они будут вполне оправданы результатами.

2. Идеальные элементы и проектирование. Введение бесконечно удаленных точек и бесконечно удаленной прямой на плоскости позволит нам гораздо более удовлетворительным образом рассмотреть проектирование одной плоскости на другую. Пусть плоскость проек тируется на плоскость из центра O (рис. 83). Эта проекция устанавливает соответствие между точками и прямыми и точками и пря мыми. Каждой точке A на соответствует единственная точка A на со следующими исключениями: если выходящий из O проекти рующий луч параллелен плоскости, то он пересекает в точке A, которой не соответствует никакая обыкновенная точка плоскости.

Такие исключительные точки плоскости расположены на прямой l, которой не соответствует никакая обыкновенная прямая плоскости.

Но оговаривать эти исключения становится излишним, если мы условим ся точке A сопоставлять бесконечно удаленную точку на плоскости, взятую в направлении прямой OA, а прямой l — сопоставлять бесконечно удаленную прямую в плоскости. Аналогично, некоторую бесконечно удаленную точку в плоскости мы сопоставляем каждой точке B на такой прямой m в плоскости, через которую проходят все лучи, выходящие из O и параллельные плоскости. Самой прямой m соответствует бесконечно удаленная прямая плоскости. Таким образом, 210 ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА гл. IV посредством введения в плоскости бесконечно удаленных точек и прямой достигается то, что проекция одной плоскости на другую устанавливает такое соответствие между точками и прямыми двух плоскостей, которое взаимно однозначно без всяких исключений. (Так устраняются исключения, упомянутые в сноске на стр. 193.) Далее, легко понять, что из принятых соглашений вытекает следствие: точка лежит на прямой, если проекция точки лежит на проекции прямой. Отсюда видно, что все теоремы, относящиеся к коллинеарным точкам, конкуррентным прямым и т. д. и говорящие только о точках, прямых и отношениях инцидентности, инвариантны относительно проектирования в расширенном смысле. Это дает возможность оперировать с бесконечно удаленными точками плоскости, заменяя их соответствующими получающимися при проектировании обыкновенными точками плоскости.

l A Рис. 83. Возникновение бесконечно удаленных элементов при проектировании * Можно воспользоваться интерпретацией бесконечно удаленных точек плоскости с помощью проектирования из внешней точки O на обыкновенные точки другой плоскости, чтобы получить конкретную евклидову «модель» расширенной плоскости. Для этого не будем об ращать внимания на плоскость, а сосредоточимся на плоскости и прямых, проходящих через O. Каждой обыкновенной точке соответствует прямая, проходящая через O, непараллельная ; каждой бесконечно удаленной точке — прямая, проходящая через O, параллельная. Итак, совокупности всех точек, обыкновенных и идеальных, соответствует совокупность прямых, проходящих через O, и это соответ§ 4 ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ И БЕСКОНЕЧНОСТЬ ствие взаимно однозначно без всяких исключений. Точки на некоторой прямой в плоскости переходят в прямые на плоскости, проходящей через O. Точка и прямая в плоскости инцидентны в том и только в том случае, если инцидентны соответствующие прямая и плоскость, проходящие через O. Другими словами, геометрия инцидентности точек и прямых в расширенной плоскости совершенно равносильна геометрии инцидентности обыкновенных прямых и плоскостей, проходящих через фиксированную точку пространства.

Положение вещей в трехмерном пространстве вполне аналогично, хотя отпадает возможность пользоваться наглядным аппаратом проектирования. Здесь тоже мы вводим особую бесконечно удаленную точку, связанную с каждым семейством параллельных прямых. В каждой плоскости имеется бесконечно удаленная прямая. Затем вводится новый элемент — бесконечно удаленная плоскость, состоящая из всех бесконечно удаленных точек пространства и содержащая все бесконечно удаленные прямые. С бесконечно удаленной плоскостью каждая обыкновенная плоскость пересекается по своей собственной бесконечно удаленной прямой.

3. Двойное отношение с бесконечно удаленными элементами. Еще одно замечание следует сделать по поводу двойных отношений с бесконечно удаленными элементами. Будем обозначать символом бесконечно удаленную точку на прямой l. Посмотрим, как определя O l A B C P Рис. 84. Двойное отношение с участием бесконечно удаленной точки ется символ (ABC), если A, B, C — три обыкновенные точки на l.

Пусть P — некоторая точка на l; тогда (ABC) рассматривается как предел (ABCP ), когда P удаляется в бесконечность по l. Но CA P A (ABCP ) = :, CB P B P A и, когда P неограниченно удаляется, стремится к 1. Отсюда вытеP B кает определение:

CA (ABC) =.

CB В частности, если (ABC) = 1, то C есть середина отрезка AB: средняя точка отрезка и бесконечно удаленная точка, взятая в направлении отрезка, делят отрезок гармонически.

212 ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА гл. IV Упражнение. Что представляет собой двойное отношение четырех прямых l1, l2, l3, l4, если они параллельны Что получится, в частности, с этим двойным отношением, если в качестве l4 будет взята бесконечно удаленная прямая § 5. Применения 1. Предварительные замечания. После введения бесконечно удаленных элементов уже нет необходимости явно оговаривать все исключительные случаи параллельности, возникающие при построениях и доказательствах теорем. Достаточно помнить, что если точка является бесконечно удаленной, то все проходящие через нее прямые параллельны. Отпадает и необходимость делать различие между центральной и параллельной проекциями, так как параллельная проекция есть не C C B B A A R Q P Рис. 85. Дезаргова конфигурация с центром в бесконечности что иное, как проекция из бесконечно удаленной точки. На рис. точка O или прямая P QR могут оказаться бесконечно удаленными (рис. 85 изображает первый из упомянутых случаев); мы предоставляем читателю в качестве упражнения сформулировать в «финитных» (т. е. не содержащих упоминания о бесконечности) терминах соответствующие утверждения дезарговой теоремы.

Pages:     | 1 |   ...   | 28 | 29 || 31 | 32 |   ...   | 76 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.