WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 76 |

Настоящая книга делает такую именно попытку. Поскольку она не предполагает иных сведений, кроме тех, которые сообщаются в хорошем школьном курсе, ее можно было бы назвать популярной. Но она — не уступка опасной тенденции устранить всякое напряжение мысли и упражнение. Она предполагает известный уровень умственной зрелости и готовность усваивать предлагаемое рассуждение. Книга написана для начинающих и для научных работников, для учащихся и для учителей, для философов и для инженеров; она может быть использована как учебное пособие в учебных заведениях и в библиотеках. Может быть, намерение обратиться к такому широкому кругу читателей является чересчур смелым и самонадеянным. Нужно признать, что под давлением иной работы мы вынуждены были при публикации этой книги искать компромиссы: подготовка велась многие годы, но так и не была понастоящему закончена. Мы будем рады критике и готовы выслушать пожелания.

Если ответственность за план и философское содержание этой публикации ложится на нижеподписавшегося, то воздаяние ее достоинствам (если таковые имеются) мне подобает разделить с Гербертом Роббинсом. С самого момента присоединения к задуманной работе он отдался ей с увлечением, как своей собственной, и его сотрудничество сыграло решающую роль в окончательном придании книге ее настоящей формы.

Я должен выразить свою глубокую благодарность за помощь многочисленным друзьям. Беседы с Нильсом Бором, Куртом Фридрихом и Отто Нейгебауэром оказали влияние на мои позиции в вопросах философского и исторического характера. Большое количество конструктивных критических замечаний с точки зрения педагога высказала Эдна Крамер. Давид Гильбарг записал лекции, положенные затем в основу книги. Эрнест Курант, Норман Девидс, Чарльз де Прима, Альфред Горн, Герберт Минтцер, Вольфганг Вазов и другие помогли в поистине бесконечной работе по перепечатке рукописи и внесли в нее множество улучшений. Доналд Флендерс внес много ценных предложений и тщательно выверил рукопись к печати. Джон Кнудсен, Герта фон Гумпенберг, Ирвинг Риттер и Отто Нейгебауэр изготовили чертежи. Часть упражнений для приложения в конце книги исходит от Г. Уитни. КурПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ, ТРЕТЬЕМУ И ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЯМ сы лекций и статьи, положенные в основу книги, были осуществлены благодаря щедрой поддержке Отдела народного образования Рокфеллеровского фонда. Я должен также поблагодарить издательство Waverly Press, особенно г-на Гровера К. Орта, за чрезвычайно квалифицированную работу и издательство Oxford University Press, особенно г-на Филипа Водрена и г-на У. Омана, за инициативу и поддержку.

Нью-Рошель, Нью-Йорк, Р. Курант 22 августа 1941 г.

Предисловие ко второму, третьему и четвертому изданиям В последний год, под воздействием совершающихся событий, возник усиленный спрос на математическую информацию и соответствующий инструктивный материал. Сейчас больше чем когда-либо существует опасность выхолащивания и разочарований, если только учащиеся (и учителя) не сумеют увидеть и схватить то, что лежит за формулами и преобразованиями, — истинное существо и содержание математики.

Именно для тех, кто видит глубже, была написана эта книга, и отклики на первое издание поддерживают в авторах надежду, что она принесет пользу.

Благодарим читателей, чей критические замечания позволили внести в новые издания многочисленные поправки и улучшения. За большую помощь в подготовке четвертого издания сердечно благодарим г-жу Наташу Артин.

Нью-Рошель, Нью-Йорк, Р. Курант 18 марта 1943 г.

10 октября 1945 г.

28 октября 1947 г.

Как пользоваться книгой Порядок изложения в книге — систематический, но это не значит никоим образом, что читатель обязан читать ее подряд — страницу за страницей, главу за главой. Главы в значительной степени независимы одна от другой. Часто начало раздела покажется легкодоступным, но потом дорога постепенно пойдет вверх, становясь круче в конце главы и в дополнениях к ней. Поэтому читатель, нуждающийся скорее в общей информации, чем в приобретении специальных знаний, поступит правильно, если удовлетворится таким отбором материала, который может быть осуществлен по принципу избегания более детализированных рассмотрений.

Учащийся с ограниченной математической подготовкой пусть выбирает по своему вкусу. Звездочками и мелким шрифтом отмечено то, что может быть опущено при первом чтении без серьезного ущерба для понимания последующего. Больше того, беды не будет, если при изучении книги читатель ограничится теми разделами или главами, которые представляют для него наибольший интерес. Большинство упражнений не носит чисто формального характера; более трудные отмечены звездочкой. Не надо слишком огорчаться, если вы не сумеете выполнить некоторые из них.

Преподаватели школ найдут в главах, посвященных геометрическим построениям и максимумам и минимумам, материал, подходящий для кружковых занятий или для отдельных групп учащихся.

Мы надеемся, что книга сможет послужить и учащимся разных классов колледжей и лицам тех или иных профессий, действительно интересующимся проблемами точного знания. Она может быть положена в основу «свободных» курсов в колледжах по основным понятиям математики. Главы III, IV и V подходят для курса геометрии, тогда как главы VI и VIII, вместе взятые, образуют законченное изложение основ анализа с опорой скорее на понимание, чем на достижение технического совершенства. Они могут быть использованы в качестве вводного текста преподавателем, который пожелал бы дополнить учебный курс в соответствии с теми или иными специфическими потребностями, и в особенности — обогатить его более разнообразными примерами. Многочисленные упражнения разбросаны по всей книге; дополнительное собрание упражнений в конце могло бы, как мы полагаем, облегчить ее использование в школьной обстановке.

Мы надеемся, что и специалист обнаружит кое-что интересное в деталях и в иных элементарных рассуждениях, содержащих в себе зерно более широких идей.

Что такое математика Математика содержит в себе черты волевой деятельности, умозрительного рассуждения и стремления к эстетическому совершенству. Ее основные и взаимно противоположные элементы — логика и интуиция, анализ и конструкция, общность и конкретность. Как бы ни были различны точки зрения, питаемые теми или иными традициями, только совместное действие этих полярных начал и борьба за их синтез обеспечивают жизненность, полезность и высокую ценность математической науки.

Без сомнения, движение вперед в области математики обусловлено возникновением потребностей, в большей или меньшей мере носящих практический характер. Но раз возникшее, оно неизбежно приобретает внутренний размах и выходит за границы непосредственной полезности. Совершающееся таким образом превращение прикладной науки в теоретическую наблюдается в истории древности, но не в меньшей степени также и в наши дни: достаточно принять во внимание тот вклад, который сделан в современную математику инженерами и физиками.

Самые ранние из дошедших до нас образцов математической мысли появились на Востоке: около двух тысячелетий до нашей эры вавилоняне собрали обширный материал, который мы склонны были бы в настоящее время отнести к элементарной алгебре. Но как наука в современном смысле слова математика возникает позднее на греческой почве, в пятом и четвертом столетиях до нашей эры. Все усиливающееся соприкосновение между Востоком и Грецией, начавшееся во времена Персидской империи и достигшее апогея в период, непосредственно следующий за экспедициями Александра Македонского, обеспечило грекам возможность перенять достижения вавилонян в области математики и астрономии. Математика не замедлила стать объектом философских дискуссий, обычных в греческих городах-государствах. Таким образом, греческие мыслители осознали значительные трудности, связанные с основными математическими концепциями — непрерывностью, движением, бесконечностью — и с проблемой измерения произвольных величин данными заранее единицами. Но обнаружилась и решимость преодолеть препятствия: возникшая в результате великолепного усилия мысли евдоксова теория геометрического континуума представляет собой такое достижение, которое можно поставить в один ряд только с современной теорией иррациональных чисел. От Евдокса идет аксиоматико-дедуктивное напрвление в математике, проявившееся вполне отчетливо в «Началах» Евклида.

Хотя теоретико-постулативная тенденция незыблемо остается одной из самых ярких особенностей греческой математики и, как таковая, оказала беспримерное влияние на дальнейшее развитие науки, тем не ЧТО ТАКОЕ МАТЕМАТИКА менее необходимо со всей энергией указать, что практические потребности и связь с физической реальностью участвовали никак не в меньшей мере в создании античной математики и что изложению, свободному от евклидовой строгости, очень часто отдавалось предпочтение.

Не исключено, что именно слишком раннее открытие трудностей, связанных с «несоизмеримыми» величинами, помешало грекам развить искусство численных операций, сделавшее в предшествовавшие эпохи значительные успехи на Востоке. Вместо этого они стали искать пути в дебрях чистой аксиоматической геометрии. Так началось одно из странных блужданий в истории науки, и, может быть, были при этом упущены блестящие возможности. Почти на два тысячелетия авторитет греческой геометрической традиции задержал неизбежную эволюцию идеи числа и буквенного исчисления, положенных впоследстии в основу точных наук.

После периода медленного накопления сил — с возникновением в XVII столетии аналитической геометрии и дифференциального и интегрального исчислений — открылась бурная революционная фаза в развитии математики и физики. В XVII и XVIII вв. греческий идеал аксиоматической кристаллизации и систематической дедукции потускнел и утерял свое влияние, хотя античная геометрия продолжала высоко расцениваться. Логически безупречное мышление, отправляющееся от отчетливых определений и «очевидных», взаимно не противоречащих аксиом, перестало импонировать новым пионерам математического знания. Предавшись подлинной оргии интуитивных догадок, перемешивая неоспоримые заключения с бессмысленными полумистическими утверждениями, слепо доверяясь сверхчеловеческой силе формальных процедур, они открыли новый математический мир, полный несметных богатств. Но мало-помалу экстатическое состояние мысли, упоенной головокружительными успехами, уступило место духу сдержанности и критицизма. В XIX столетии осознание необходимости консолидировать науку, особенно в связи с нуждами высшего образования, после Французской революции получившего широкое распространение, повело к ревизии основ новой математики; в частности, внимание было направлено к дифференциальному и интегральному исчислениям и к уяснению подразумеваемого анализом понятия предела. Таким образом, XIX век не только стал эпохой новых успехов, но и был ознаменован плодотворным возвратом к классическому идеалу точности и строгости доказательств. В этом отношении греческий образец был даже превзойден. Еще один раз маятник качнулся в сторону логической безупречности и отвлеченности. В настоящее время мы еще, по-видимому, не вышли из этого периода, хотя позволительно надеяться, что установившийся прискорбный разрыв между чистой математикой и ее жизненными приложениями, неизбежный, по-видимому, во времена критических ревизий, сменится эрой более тесного единения. Приобре22 ЧТО ТАКОЕ МАТЕМАТИКА тенный запас внутренних сил и, помимо всего прочего, чрезвычайное упрощение, достигаемое на основе ясного понимания, позволяют сегодня манипулировать математической теорией таким образом, чтобы приложения не упускались из виду. Установить еще раз органическую связь между чистым и прикладным знанием, здоровое равновесие между абстрактной общностью и полнокровной конкретностью — вот как нам представляется задача математики в непосредственно обозримом будущем.

Здесь не место входить в подробный философский или психологический анализ математики. Хочется отметить все же некоторые моменты. Чрезмерное подчеркивание аксиоматико-дедуктивного характера математики представляется мне весьма опасным. Конечно, начало конструктивного творчества, интуитивное начало, являющееся источником наших идей и доводов в их пользу, с трудом укладываются в простые философские формулировки; и тем не менее именно это начало есть подлинная суть любого математического открытия, даже если оно относится к самым абстрактным областям. Если целью и является четкая дедуктивная форма, то движущая сила математики — это интуиция и конструкции. В допущении, что математика есть не более чем система следствий, извлекаемых из определений и постулатов, которые должны быть только совместимы между собой, а в остальном являются продуктом свободной фантазии математиков, таится серьезная угроза для самого существования науки. Если бы это было действительно так, математика была бы занятием, недостойным мыслящего человека. Она была бы просто игрой с определениями, правилами и силлогизмами, не имеющей ни причины, ни цели. Представление, согласно которому человеческий интеллект может творить лишенные какого бы то ни было смысла системы постулатов, есть обман, точнее, полуправда.

Получать результаты, имеющие научную ценность, свободный разум может, только подчиняясь суровой ответственности перед природой, только следуя некоей внутренней необходимости.

Хотя созерцательное направление логического анализа и не представляет всей математики, оно способствовало более глубокому пониманию математических фактов и их взаимозависимости и более ясному овладению существом математических понятий. Именно из этого направления выросла современная точка зрения на математику как на образец универсально приложимого научного метода.

Каких бы философских позиций мы ни придерживались, все задачи научного исследования сводятся к нашему отношению к воспринимаемым объектам и инструментам исследования. Конечно, восприятие само по себе еще не есть ни знание, ни понимание; нужно еще согласовать их между собой и истолковать в терминах некоторых лежащих за ними сущностей, «вещей в себе», не являющихся предметами непосредственно ЧТО ТАКОЕ МАТЕМАТИКА физического изучения, а принадлежащими к метафизической сфере. Но для научного метода существенным является отказ от метафизических умозрений и, в конечном счете, представление всех наблюдаемых фактов в форме понятий и конструкций. Отказ от претензии понимания природы «вещей в себе», от постижения «окончательной истины», от разгадки внутренней сущности мира, быть может, будет психологически тягостен для наивных энтузиастов, но на самом-то деле этот отказ оказался в высшей степени плодотворным для развития современной научной мысли.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 76 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.