WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 24 | 25 || 27 | 28 |   ...   | 76 |

Построения Маскерони с помощью одного циркуля *1. Классическая конструкция, служащая для удвоения куба. Мы рассматривали до сих пор только проблемы геометрических построений без использования иных инструментов, кроме циркуля и линейки. Если допускаются и другие инструменты, то, разумеется, разнообра174 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ гл. III N S V Q D U T E y f B a x G A M Z R P W Рис. 46. Инструмент, служащий для удвоения куба зие возможных построений сильно увеличивается. Следующий пример может служить образцом того, как греки решали проблему удвоения куба. Рассмотрим (рис. 46) жесткий прямой угол MZN и подвижной прямоугольный крест V W, P Q. Двум дополнительным стержням RS и T U предоставлена возможность скользить, оставаясь перпендикулярными к сторонам прямого угла. На кресте пусть выбраны фиксированные точки E и G, причем расстояния GB = a и BE = f заданы. Располагая крест таким образом, чтобы точки E и G соответственно лежали на NZ и MZ, и перемещая стержни T U и RS, можно весь аппарат привести в такое положение, чтобы лучевые перекладины креста BW, BQ, BV проходили через вершины A, D, E прямоугольника ADEZ. Указанное на чертеже расположение всегда возможно при условии f > a. Мы видим сразу, что a : x = x : y = y : f, откуда, в частности, если положено f = 2a, получается x3 = 2a3. Значит, x есть ребро куба, объем которого вдвое больше, чем объем куба с ребром a. Таким образом, поставленная задача § 5 ПОСТРОЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ДРУГИХ ИНСТРУМЕНТОВ решена.

2. Построения с помощью одного циркуля. Если вполне естественно, что с допущением большего разнообразия инструментов оказывается возможным решать более обширное множество задач на построение, то можно было бы предвидеть, что, напротив, при ограничениях, налагаемых на инструменты, класс разрешимых задач будет суживаться. Тем более замечательным нужно считать открытие, сделанное итальянцем Маскерони (1750–1800): все геометрические построения, выполнимые с помощью циркуля и линейки, могут быть выполнены с помощью одного только циркуля. Следует, конечно, оговорить, что провести на самом деле прямую линию через две данные точки без линейки невозможно, так что это основное построение не покрывается теорией Маскерони. Вместо того приходится считать, что прямая задана, если заданы две ее точки. Но с помощью одного лишь циркуля удается найти точку пересечения двух прямых, заданных таким образом, или точку пересечения прямой с окружностью.

Вероятно, простейшим примером построения Маскерони является удвоение данного отрезка AB. Решение было уже дано на стр. 166. Далее, на стр. 167 мы научились делить данный отрезок пополам. Посмотрим теперь, как разделить пополам дугу окружности AB с центром O.

Вот описание этого построения (рис. 47).

Радиусом AO проводим две дуги с R центрами A и B. От точки O откладываем на этих дугах две такие дуги OP и OQ, что OP = OQ = AB. Затем находим точку R пересечения дуги с центром P и радиусом P B и дуги A B с центром Q и радиусом QA. Наконец, взяв в качестве радиуса отрезок OR, P Q O опишем дугу с центром P или Q до пересечения с дугой AB — точка пеРис. 47. Нахождение середины дуресечения и является искомой средги без линейки ней точкой дуги AB. Доказательство предоставляем читателю в качестве упражнения.

Было бы невозможно доказать основное утверждение Маскерони, указывая для каждого построения, выполнимого с помощью циркуля и линейки, как его можно выполнить с помощью одного циркуля: ведь возможных построений бесчисленное множество. Но мы достигнем той же цели, если установим, что каждое из следующих основных построений выполнимо с помощью одного циркуля:

1. Провести окружность, если заданы центр и радиус.

176 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ гл. III 2. Найти точки пересечения двух окружностей.

3. Найти точки пересечения прямой и окружности.

4. Найти точку пересечения двух прямых.

Любое геометрическое построение (в обычном смысле, с допущением циркуля и линейки) составляется из выполнения конечной последовательности этих элементарных построений. Что первые два из них выполнимы с помощью одного циркуля, ясно непосредственно. Более трудные построения 3 и 4 выполняются с использованием свойств инверсии, рассмотренных в предыдущем пункте.

Q P B BX X A O A O B C C BРис. 48. Пересечение окружности Рис. 49. Пересечение окружнои прямой, не проходящей через сти и прямой, проходящей через центр центр Обратимся к построению 3: найдем точки пересечения данной окружности C с прямой, проходящей через данные точки A и B. Проведем дуги с центрами A и B и радиусами, соответственно равными AO и BO;

кроме точки O, они пересекутся в точке P. Затем построим точку Q, обратную точке P относительно окружности C (см. построение, описанное на стр. 167). Наконец, проведем окружность с центром Q и радиусом QO (она непременно пересечется с C): ее точки пересечения X и X с окружностью C и будут искомыми. Для доказательства достаточно установить, что каждая из точек X и X находится на одинаковых расстояниях от O и P (что касается точек A и B, то аналогичное их свойство сразу вытекает из построения). Действительно, достаточно сослаться на то обстоятельство, что точка, обратная точке Q, отстоит от точек X и X на расстояние, равное радиусу окружности C (см. стр. 165). Стоит отметить, что окружность, проходящая через точки X, X и O, является обратной прямой AB в инверсии относительно круга C, так как эта окружность и прямая AB пересекаются с C в одних и тех же точках.

(При инверсии точки основной окружности остаются неподвижными.) § 5 ПОСТРОЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ДРУГИХ ИНСТРУМЕНТОВ Указанное построение невыполнимо только в том случае, если прямая AB проходит через центр C. Но тогда точки пересечения могут быть найдены посредством построения, описанного на стр. 169, как середины дуг C, получающихся, когда мы проводим произвольную окружность с центром B, пересекающуюся с C в точках B1 и B2.

Метод проведения окружности, обратной прямой, соединяющей две данные точки, немедленно дает и построение, решающее задачу 4. Пусть прямые даны точками A, B и A, B (рис. 50). Проведем произвольную окружность C и с помощью указанного выше метода построим окружности, обратные прямым AB и A B. Эти окружности пересекаются в точке O и еще в одной точке Y. Точка X, обратная точке Y, и есть искомая точка пересечения: как ее построить — A уже было разъяснено выше. Что X O есть искомая точка, это ясно из того факта, что Y есть единственная Y B точка, обратная точке, одновременно C принадлежащей обеим прямым AB и A B ; следовательно, точка X, обратная Y, должна лежать одновре- X B менно и на AB, и на A B.

A Этими двумя построениями заканчивается доказательство эквиваРис. 50. Пересечение двух прямых лентности между построениями Маскерони, при которых разрешается пользоваться только циркулем, и обыкновенными геометрическими построениями с циркулем и линейкой.

Мы не заботились об изяществе решения отдельных проблем, нами здесь рассмотренных, так как нашей целью было выяснить внутренний смысл построений Маскерони. Но в качестве примера мы еще укажем пятиугольниX ка; точнее говоря, речь идет о нахождении каких-то пяти точек на окружности, котоB C рые могут служить вершинами правильноF го вписанного пятиугольника.

H G Пусть A — произвольная точка окружности K. Так как сторона правильного A O D вписанного шестиугольника равна радиусу круга, то не представит труда отложить Y на K такие точки B, C, D, что AB = K BC = CD = 60 (рис. 51). Проведем дуги с центрами A и D радиусом, равРис. 51. Построение правильного пятиугольника 178 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ гл. III ным AC; пусть они пересекаются в точке X. Тогда, если O есть центр K, дуга с центром A и радиусом OX пересечет K в точке F, являющейся серединой дуги BC (см. стр. 169). Затем радиусом, равным радиусу K, опишем дуги с центром F, пересекающиеся с K в точках G и H. Пусть Y есть точка, расстояния которой от точек G и H равны OX и которая отделена от X центром O. В таком случае отрезок AY как раз и есть сторона искомого пятиугольника. Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения. Интересно отметить, что при построении используются только три различных радиуса.

В 1928 г. датский математик Ельмслев нашел в книжной лавке в Копенгагене экземпляр книги под названием Euclides Danicus, опубликованной в 1672 г. никому не известным автором Г. Мором. По титульному листу можно было сделать заключение, что это — просто один из вариантов евклидовых «Начал», снабженный, может быть, редакторским комментарием. Но при внимательном рассмотрении оказалось, что в ней содержится полное решение проблемы Маскерони, найденное задолго до Маскерони.

Упражнения. В дальнейшем дается описание построений Мора. Проверьте их правильность. Почему можно утверждать, что они решают проблему Маскерони 1) К отрезку AB длины p восставите перпендикуляр BC. (Указание: продолжите AB до точки D таким образом, что AB = BD. Проведите произвольным радиусом дуги с центрами A и D и таким образом определите C.) 2) В плоскости даны как угодно расположенные отрезки длины p и q, причем p > q. Постройте с помощью 1) отрезок длины x = p2 - q2.

3) По заданному отрезку a постройте отрезок a 2. (Указание: обратите внимание, что (a 2)2 = (a 3)2 - a2.) 4) По данным отрезкам p и q постройте отрезок x = p2 + q2. (Указание:

примите во внимание, что x2 = 2p2 - (p2 - q2).) Придумайте сами аналогичные построения.

5) Пользуясь предыдущими результатами, постройте отрезки p + q и p - q, предполагая, что отрезки длины p и q заданы как-то на плоскости.

6) Проверьте и постарайтесь обосновать следующее построение середины M данного отрезка AB длины a. На продолжении отрезка AB найдем такие точки C и D, что CA = AB = BD. Построим равносторонний треугольник ECD согласно условию EC = ED = 2a и определим M как пересечение окружностей с диаметрами EC и ED.

7) Найдите прямоугольную проекцию точки A на отрезок BC.

8) Найдите x по условию x : a = p : q, где a, p и q — данные отрезки.

9) Найдите x = ab, где a и b — данные отрезки.

Вдохновляясь результатами Маскерони, Якоб Штейнер (1796–1863) предпринял попытку исследования построений, выполнимых с помощью одной только линейки. Конечно, одна только линейка не выводит за § 5 ПОСТРОЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ДРУГИХ ИНСТРУМЕНТОВ пределы данного числового поля, и потому она недостаточна для выполнения всех геометрических построений в классическом их понимании.

Но тем более замечательны результаты, полученные Штейнером при введенном им ограничении — пользоваться циркулем только один раз.

Он доказал, что все построения на плоскости, выполнимые с помощью циркуля и линейки, выполнимы также с помощью одной линейки при условии, что задан единственный неподвижный круг вместе с центром.

Эти построения подразумевают применение проективных методов и будут описаны позднее (см. стр. 217).

* Без круга, и притом с центром, обойтись нельзя. Например, если дан круг, но не указан его центр, то найти центр с помощью одной линейки невозможно. Мы сейчас докажем это, ссылаясь, однако, на факт, который будет установлен позднее (см. стр. 240): существует такое преобразование плоскости самой в себя, что а) заданная окружность остается неподвижной, б) всякая прямая линия переходит в прямую, в) центр неподвижной окружности не остается неподвижным, а смещается. Само существование такого преобразования свидетельствует о невозможности построить центр данной окружности, пользуясь одной линейкой. В самом деле, какова бы ни была процедура построения, она сводится к ряду отдельных этапов, заключающихся в проведении прямых линий и нахождении их пересечений друг с другом или с данной окружностью.

Представим себе теперь, что вся фигура в целом — окружность и все прямые, проведенные по линейке при выполнении построения центра — подвергнута преобразованию, существование которого мы здесь допустили. Тогда ясно, что фигура, полученная после преобразования, также удовлетворяла бы всем требованиям построения; но указываемое этой фигурой построение приводило бы к точке, отличной от центра данной окружности. Значит, построение, о котором идет речь, невозможно.

3. Черчение с помощью различных механических приспособлений. Механические кривые. Циклоиды. Изобретение различных механизмов, предназначенных для того, чтобы чертить различные кривые, помимо окружности и прямой линии, чрезвычайно расширяет область фигур, допускающих построение. Например, если имеется инструмент, позволяющий чертить гиперболы xy = k, и другой инструмент, вычерчивающий параболы y = ax2 + bx + c, то любая проблема, приводящая к кубическому уравнению ax3 + bx2 + cx = k, (1) может быть решена конструктивно, с помощью только этих инструментов. В самом деле, решение уравнения (1) равносильно решению системы xy = k, y = ax2 + bx + c; (2) точнее, корни уравнения (1) являются x-координатами точек пересечения гиперболы и параболы, представляемых уравнениями (2). Таким 180 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ гл. III y y x Рис. 52. Графическое решение кубического уравнения образом, решения уравнения (1) допускают построение, если разрешается пользоваться инструментами, с помощью которых можно начертить кривые (2).

Уже математикам древности были известны многие интересные кривые, которые могут быть определены и начерчены с помощью простых механических приспособлений. Среди таких «механических» кривых особенно видное место занимают циклоиды. Птолемей (около года до нашей эры), обнаруживая необычайную проницательность, сумел использовать эти кривые для описания планетных движений.

Циклоида самого простого вида представляет собой траекторию движения точки P, фиксированной на окружности диска, катящегося без скольжения по прямой линии. На рис. 53 изображены четыре положения точки P в различные моменты времени. По форме циклоида напоминает ряд арок, опирающихся на горизонтальную прямую.

Разновидности этой кривой получаются, если возьмем точку P или внутри диска (как на спице колеса), или на продолжении радиуса за пределы диска.

§ 5 ПОСТРОЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ДРУГИХ ИНСТРУМЕНТОВ PPPPРис. 53. Циклоида Рис. 54. Циклоиды общего вида Эти две кривые показаны на рис. 54.

Дальнейшие разновидности циклоиды возникают, когда наш диск катится не по прямой, а по дуге окружности. Если при этом катящийся диск с радиусом r остается все время касающимся изнутри той большой окружности C радиуса R, по которой он катится, то траектория точки, фиксированной на окружности диска, называется гипоциклоидой.

Pages:     | 1 |   ...   | 24 | 25 || 27 | 28 |   ...   | 76 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.