WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 23 | 24 || 26 | 27 |   ...   | 76 |

Таким образом, в силу теоремы пункта 2, остается показать, что уравнение (13) не имеет рациональных корней. Это тоже доказывается косвенным методом. Допустим, что уравнение (13) имеет рациональный r корень, где r и s — целые числа без общих множителей. В таком случае s должно удовлетворяться равенство r3 + r2s - 2rs2 - s3 = 0; (15) отсюда ясно, что r3 делится на s, a s3 — на r. Так как r и s — взаимно простые числа, то отсюда следует, что каждое из них равно ±1. Значит, и y, если только это число рациональное, должно равняться или +или -1. Но подстановка в уравнение (13) показывает, что ни +1, ни -не являются корнями уравнения. Итак, нельзя построить величины y, а следовательно, и стороны семиугольника.

5. Замечания по поводу квадратуры круга. Сравнительно элементарные методы позволили нам довести до конца исследование проблем удвоения куба, трисекции угла и построения правильного семиугольника. Но проблема квадратуры круга гораздо сложнее и требует § 4 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ИНВЕРСИЯ техники математического анализа. Так как круг радиуса r имеет площадь r2, то проблема построения квадрата, площадь которого равна площади круга с радиусом 1, равносильна построению числа, равно го стороне искомого квадрата. Число допускает построение в том и только том случае, если допускает построение число. Исходя из данной нами общей характеристики чисел, допускающих построение, мы установили бы неразрешимость проблемы квадратуры круга, если бы показали, что не содержится ни в каком поле Fk, возникающем из поля рациональных чисел посредством последовательных присоединений квадратных корней. Так как все числа, принадлежащие таким полям, являются алгебраическими, т. е. удовлетворяющими алгебраическим уравнениям с целыми коэффициентами, то неразрешимость квадратуры круга была бы доказана, если бы было установлено, что число не алгебраическое, а трансцендентное (см. стр. 124).

Технический аппарат, необходимый для доказательства трансцендентности числа, был создан Шарлем Эрмитом (1822–1905), который доказал вместе с тем трансцендентность числа e. Несколько усовершенствовав метод Эрмита, Ф. Линдеман (в 1882 г.) сумел доказать трансцендентность числа и тем самым окончательно исчерпал вопрос, остававшийся без ответа на протяжении тысячелетий. Доказательство Линдемана — вне пределов, намеченных для этой книги, хотя оно и по плечу учащемуся, несколько знакомому с математическим анализом.

ЧАСТЬ Различные методы выполнения построений § 4. Геометрические преобразования. Инверсия 1. Общие замечания. В настоящей, второй части этой главы мы систематически рассмотрим некоторые общие принципы, которые могут быть приложены к конструктивным проблемам. Многие из этих проблем обозреваются гораздо легче, если смотреть на них с общей точки зрения «геометрических преобразований». Вместо того чтобы изучать отдельное построение, мы займемся сразу целым классом проблем, связанных между собой теми или иными процедурами преобразований. Способность бросать яркий свет на существо вещей, присущая идее класса геометрических преобразований, никоим образом не ограничена конструктивными проблемами, но имеет ближайшее отношение ко всей геометрии в целом. В главах IV 168 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ гл. III и V мы будем иметь случай оценить P роль геометрических преобразований в этом более широком аспекте. Пока же мы подвергнем изучению один из частL ных типов преобразований — инверсию плоскости относительно окружности, представляющую собой обобщение обыкP новенного зеркального отражения отноРис. 37. Отражение точки отсительно прямой линии.

носительно прямой Говоря о преобразовании (отображении) плоскости самой в себя, мы имеем в виду некоторое правило, сопоставляющее каж дой точке P плоскости некоторую другую точку P той же плоскости. Точка P называется образом точки P, точка P — прообразом точки P. Простейший пример такого преобразования — зеркальное отражение (осевая симметрия) плоскости относительно данной прямой линии L: точка P по одну сторону L имеет своим образом точку P, расположенную по другую стороP ну L таким образом, что L является перпен дикуляром к отрезку P P, восставленным из P его середины. Преобразование может оставлять некоторые точки плоскости неподвижными; в нашем примере таковы точки самой O прямой L.

Дальнейшими примерами преобразоваC ний являются вращения плоскости относительно неподвижной точки O, затем паралРис. 38. Инверсия точки лельные переносы, перемещающие каждую относительно окружности точку в данном направлении на одно и то же расстояние (это преобразование не имеет неподвижных точек), и, наконец, в качестве несколько более общего примера следует назвать движения плоскости, которые можно представлять себе составленными из вращений и параллельных переносов.

Но в данный момент нас интересует иной, частный класс преобразований, — именно, инверсии относительно окружностей. (Иногда их называют круговыми отражениями, вследствие наличия приблизительного сходства с отражением в сферическом зеркале.) Пусть в неподвижной плоскости задана некоторая окружность C с центром O (называемым центром, или полюсом, инверсии) и радиусом r. Образ точки P опре§ 4 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ИНВЕРСИЯ деляется как точка P, лежащая на прямой OP по ту же сторону от O, что и P, и такая, что OP · OP = r2. (1) Из этого определения следует, что если P есть образ P, то и P есть (в данном преобразовании) образ P. Это дает право называть точки P и P взаимно обратными относительно окружности C. Инверсия превращает внутреннюю область окружности во внешнюю, и обратно: в самом деле, из неравенства OP < r следует неравенство OP > r и, напротив, из неравенства OP > r — неравенство OP < r. Неподвижными точками плоскости являются точки самой окружности C.

Правило (1) не определяет никакого образа для центра O. Но ясно, что когда движущаяся точка P приближается к O, ее образ P уходит неограниченно далеко. По этой причине иногда говорят, что при инверсии образом центра является бесконечно удаленная точка. Полезность этой терминологии вытекает из того обстоятельства, что она дает нам право утверждать, что инверсия устанавливает взаимно однозначное соответствие между всеми точками плоскости без исключения и их образами: каждая точка плоскости имеет один и только один образ и сама является образом одной и только одной точки. Отметим, что это последнее свойство принадлежит также и раньше приведенным примерам геометрических преобразований.

2. Свойства инверсии. Самое важное свойство инверсии заключается в том, что она преобразует прямые линии и окружности в прямые линии и окружности. Точнее, мы сейчас обнаружим, что в результате инверсии а) прямая, проходящая через O, становится прямой, проходящей через O, б) прямая, не проходящая через O, становится окружностью, проходящей через O, в) окружность, проходящая через O, становится прямой, не проходящей через O, г) окружность, не проходящая через O, становится окружностью, не проходящей через O.

Утверждение а) не требует доказательства, так как из самого определения инверсии ясно, что каждая точка на рассматриваемой прямой имеет в качестве образа другую точку на той же прямой, так что хотя отдельные точки на прямой перемещаются, но прямая в целом остается неизменной.

170 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ гл. III Докажем утверждение б). Из O опустим перпендикуляр на данную прямую L (рис. 39). Пусть A — основание этого перпендикуляра, A — точка, обратная точке A. Возьмем произвольную точку P на L и обозначим через P точку, ей обрат ную. Так как OA · OA = OP · OP = r2, P то отсюда следует, что OA OP =.

P OP OA Поэтому треугольники OP A и OAP O A подобны и, значит, угол OP A прямой.

A В таком случае из теорем элементарной K геометрии вытекает, что P лежит на L окружности K с диаметром OA ; эта окружность и является, следовательно, образом прямой L. Итак, утвержРис. 39. Инверсия прямой отнодение б) доказано. Утверждение в) слесительно окружности дует из того, что если образ L есть K, то образ K есть L.

Остается доказать утверждение г). Пусть K — окружность, не проходящая через O, с центром M и радиусом k (рис. 40). Чтобы получить ее образ, проведем через O прямую, пересекающую K в точках A и B, и затем посмотрим, как изменяются образы A и B, когда направление прямой изменяется и она пересекает K самыми разнообразными споB A A B M Q A B O B A Рис. 40. Инверсия окружности собами. Обозначим расстояния OA, OB, OA, OB, OM через a, b, a, b, m, и пусть t есть длина касательной к K, проведенной из точки O.

По определению инверсии, мы имеем aa = bb = r2, а по элементарному геометрическому свойству окружности ab = t2. Если разделим первые равенства на второе, то получим a b r= = = c2, b a t§ 4 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ИНВЕРСИЯ где c2 зависит только от r и t и, значит, не зависит от положения точек A и B. Теперь проведем через A прямую, параллельную BM; пусть Q есть точка ее пересечения с OM. Положим OQ = q, A Q =. Тогда q a = =, m b k или же ma ka q = = mc2, = = kc2.

b b Это означает, что при всевозможных положениях A и B точка Q на прямой OM всегда будет одна и та же и что расстояние A Q также не a b будет меняться. Точно так же B Q =, так как =. Итак, образаb a ми точек A и B на K будут точки, расстояния которых от Q равны постоянной величине, т. е. образ K есть окружность. Утверждение г) доказано.

3. Геометрическое построеR ние обратных точек. Следующая теорема будет полезна в пунк те 4 этого параграфа: точка P, обратная данной точке P относительно окружности C, может быть построена геометрически с P P O помощью одного только циркуля.

Рассмотрим сначала тот случай, когда точка P находится вне окружS ности C. Радиусом OP опишем круговую дугу с центром P, пересекаРис. 41. Инверсия точки, внешющую C в точках R и S. Затем ней относительно окружности из этих точек как центров опишем круговые дуги радиусом r, равным радиусу круга C; эти дуги пе ресекутся в O и еще в точке P на прямой OP. В равнобедренных треугольниках ORP и ORP ORP = P OR = OP R, так что треугольники подобны, и потому OP OR =, т. е. OP · OP = r2.

OR OP Значит, P есть искомая точка P.

Если данная точка P лежит внутри C, то построение и доказательство остаются в силе, лишь бы окружность радиуса OP с центром P пересекала окружность C в двух точках. Если же пересечений не получается, то можно редуцировать построение к предыдущему случаю посредством следующего простого приема.

172 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ гл. III Прежде всего заметим, что на прямой, соединяющей две данные точки A и O, можно с помощью одного циркуля построить такую точку C, что AO = OC. Для этого достаточно провести окружность с центром O и радиусом r = AO. Затем, начиная от точки A, отметить последовательно на этой окружности такие точки P, Q, C, что AP = P Q = QC = r.

Тогда C есть как раз искомая точка: это ясно из того, что треугольники AOP, OP Q, OQC — равносторонние, так что угол между OA и OC содержит 180 и OC = OQ = AO. Повторяя указанную процедуру, мы имеем возможность отложить отрезок AO по прямой сколько угодно раз.

Кстати, так как длина отрезка AO равна r 3 читатель проверит (как без всякого труда), то нам удалось построить 3, исходя из единичного отрезка, не пользуясь линейкой.

Q P O P R R P A C Рис. 42. Удвоение отрезка Рис. 43. Инверсия точки, внутренней относительно окружности Теперь мы можем построить точку, обратную точке P относительно окружности C, как бы точка P ни была расположена внутри C. Прежде всего на прямой OP найдем такую точку R, что OR есть кратное OP, и вместе с тем R лежит уже вне C:

OR = n · OP.

Для этого достаточно последовательно откладывать расстояние OP посредством циркуля, пока мы не выберемся из круга C. Затем с помощью уже известного построения найдем точку R, обратную точке R. Тогда будем иметь r2 = OR · OR = OR · (n · OP ) = (n · OR ) · OP.

Останется построить точку P по условию OP = n · OR, и задача будет закончена.

4. Как разделить отрезок пополам и как найти центр данной окружности с помощью одного циркуля. После того как мы научились находить точку, обратную данной, можно с помощью одного циркуля выполнить дальнейшие интересные построения. Например, сейчас мы найдем середину отрезка, концы которого A и B заданы, с помощью § 5 ПОСТРОЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ДРУГИХ ИНСТРУМЕНТОВ одного циркуля — не проводя самого отрезка. Вот решение этой задачи.

Опишем окружность радиусом AB с центром B и на нем, отправляясь от A, как раньше, отмерим последовательно три дуги радиусом AB.

Последняя точка C будет лежать на прямой AB, причем мы будем иметь: AB = BC. Затем опишем окружность радиуса AB с центром A и построим точку C, обратную точке C относительC но этой окружности. Тогда полуA B C чим:

AC · AC = AB2, AC · 2AB = AB2, 2AC = AB.

Значит, C есть искомая середина отрезка.

Рис. 44. Нахождение середины отрезка Другое построение с помощью одного циркуля, также использующее обратные точки, заключается в нахождении центра данной окружности, когда начерчена только сама окружность, а центр неизвестен. Берем произвольную точку P на окружности и около нее как центра описываем круг произвольного радиуS са, пересекающийся с данным кругом в точках R и S. Из этих последних точек как центров описываем дуги радиQ усом RP = SP, пересекающиеся, кроме P точки P, еще в точке Q. Сравнивая то, Q что получилось, с рис. 41, мы видим, что неизвестный центр Q есть точка, R обратная точке Q относительно окружности с центром P, и Q может быть, как Рис. 45. Нахождение центра мы видели, построена с помощью одного круга циркуля.

§ 5. Построения с помощью других инструментов.

Pages:     | 1 |   ...   | 23 | 24 || 26 | 27 |   ...   | 76 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.