WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 20 | 21 || 23 | 24 |   ...   | 76 |

Первые числа Ферма суть 3, 5, 17, 257, 65537 (см. стр. 44). Это открытие произвело на Гаусса такое впечатление, что он сразу отказался от филологической карьеры и решил посвятить свою жизнь математике и ее приложениям. Он и позднее смотрел на это первое из своих открытий с особенной гордостью. После смерти Гаусса в Гёттингене была воздвигнута его бронзовая статуя, с пьедесталом в форме правильного 17-угольника. Трудно придумать более достойную почесть.

Когда речь идет о геометрических построениях, никак не следует упускать из виду, что проблема заключается не в практическом вычерчивании фигур с известной степенью аккуратности, а в том, может ли построение быть выполнено теоретически, предполагая, что наши инструменты дают абсолютную точность. Гаусс доказал именно принципиальную возможность рассмотренных им построений. Его теория не касается того, как выполнить построение на самом деле, какие следует использовать приемы, чтобы упростить процедуру или даже уменьшить число необходимых конструктивных операций. Все это — вопросы не столь высокого теоретического значения. С практической точки зрения, такие построения не дают столь удовлетворительного результата, какой может быть достигнут посредством хорошего транспортира. Вероятно, именно непониманием теоретического характера вопроса о геометрических построениях, с одной стороны, а с другой — упорным нежеланием считаться с прекрасно установленными научными фактами нужно объяснять то обстоятельство, что еще продолжают существовать нескончае146 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ гл. III мые вереницы «трисекторов» и «квадратурщиков». Тем из них, которые способны понимать элементарную математику, можно порекомендовать заняться изучением этой главы.

В заключение отметим, что в известном отношении наша постановка вопроса о геометрических построениях представляется искусственной. Циркуль и линейка, конечно, простейшие из геометрических инструментов, но требование ограничиваться именно этими инструментами при построениях не вытекает из существа самой геометрии. Как уже давным-давно установили греческие математики, некоторые проблемы — скажем, удвоение куба — могут быть решены, например, с привлечением угольника (с прямым углом); можно изобрести всякие другие инструменты, помимо циркуля, которые позволили бы чертить эллипсы, гиперболы и более сложные кривые: тем самым область фигур, допускающих построение, была бы значительно расширена. Однако мы будем придерживаться прочно установившегося понимания выполнимости геометрических построений, подразумевая, что разрешено пользоваться только циркулем и линейкой.

ЧАСТЬ Доказательства невозможности и алгебра § 1. Основные геометрические построения 1. Построение полей и извлечение квадратных корней. В порядке развития общих идей мы начнем с рассмотрения небольшого числа классических построений. Более углубленное изучение возможности геометрических построений неизбежно связано с переводом геометрической задачи на язык алгебры. Всякая проблема геометрического построения может быть схематизирована следующим образом: дано некоторое число отрезков, скажем, a, b, c,...; требуется построить один или несколько отрезков x, y,... Даже если на первый взгляд проблема имеет совсем иной вид, ее всегда можно переформулировать таким образом, чтобы она включилась в указанную схему. Искомые отрезки фигурируют или в виде сторон треугольника, который требуется построить, или в виде радиусов кругов, или как прямоугольные координаты каких-то искомых точек (см., например, стр. 145). Предположим для простоты, что требуется построить какой-то отрезок x. В таком случае геометрическое построение приводит к решению алгебраической задачи: установить соотношение (в форме уравнения) между искомой величиной x и данными величинами a, b, c,...; затем, решая это уравнение, найти формулу для величины x и, наконец, выяснить, можно ли свести вычисление x § 1 ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ к таким алгебраическим процедурам, которые соответствуют построениям, выполнимым с помощью циркуля и линейки. Таким образом, в основе всей рассматриваемой теории лежит принцип аналитической геометрии — количественная характеристика геометрических объектов, основанная на введении континуума действительных чисел.

Заметим прежде всего, что простейшие алгебраические операции соответствуют элементарным геометрическим построениям. Если даны два отрезка, длины которых равны a и b (измерение производится посредством «единичного» отрезка), то очень легко построить a + b, a a - b, ra (где r — рациональное число), и ab.

b a D A O B C a B B O A O A a a b b a a Рис. 27. Построение a + b и a - b Рис. 28. Построение Чтобы построить a + b (рис. 27), мы проводим прямую линию и на ней откладываем циркулем отрезки OA = a и AB = b. Тогда OB = a + b.

Точно так же в случае a - b мы откладываем OA = a и AB = b, но на этот раз откладываем b в сторону, противоположную той, в которую отложили a. Тогда OB = a - b. Чтобы построить 3a, мы просто строим a + a + a;

аналогично поступаем, если нужно построить pa, где p — целое число.

a Отрезок строится следующим приемом (рис. 28): на произвольной прямой откладываем OA = a и затем проводим другую прямую через точку O. На этой прямой откладываем произвольный отрезок OC = c и строим OD = 3c. Соединяем A и D прямой линией и проводим через точку C прямую, параллельную AD; пусть эта прямая пересекает OA OB OB в точке B. Треугольники OBC и OAD подобны; значит, = = a OA OC 1 a a = и OB =. Таким же образом можно вообще построить, OD 3 3 q где q — целое. Совершая эту операцию над отрезком pa, мы построим ra, p где r = — какое угодно рациональное число.

q a Чтобы построить (рис. 29), откладываем OB = b и OA = a на стоb ронах произвольного угла с вершиной O и на стороне OB откладываем отрезок OD = 1. Через D проводим прямую, параллельную AB; пусть c c 148 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ гл. III a она пересекает OA в точке C. Тогда будем иметь: OC =. Построеb ние ab показано на рис. 30; здесь AD — прямая, проходящая через A и параллельная BC.

B B D D O A O C a C A a b a a b a Рис. 29. Построение Рис. 30. Построение ab b Из этих соображений вытекает, что «рациональные» алгебраические операции — сложение, вычитание, умножение и деление, — производимые над заданными величинами, могут быть выполнены посредством геометрических построений. Исходя из данных отрезков, измеряемых действительными числами a, b, c,..., мы можем, последовательно выполняя эти простые построения, построить любую величину, которая через a, b, c,... выражается рационально, т. е. с помощью лишь перечисленных выше четырех основных действий. Совокупность всех величин, которые таким образом могут быть получены из a, b, c,..., образует то, что называется числовым полем — множество чисел, обладающее тем свойством, что любая рациональная операция, совершенная над двумя (или более) элементами этого множества, приводит снова к элементу этого же множества. Мы напоминаем, что совокупность всех рациональных чисел, совокупность всех действительных чисел, совокупность всех комплексных чисел образуют такие поля. В рассматриваемом нами теперь случае гоC ворят, что поле порождается данными числами a, b, c,...

Существенно новой операцией, выводящей нас за пределы полученO B ного поля, является извлечение квадA a ратного корня. Если задан отрезок a, то отрезок a может быть построен с Рис. 31. Построение a помощью только циркуля и линейки.

На произвольной прямой мы откладываем OA = a и AB = 1 (рис. 31).

Проводим, далее, окружность с диаметром OB и из точки A восставляем перпендикуляр к OB; пусть он пересекает окружность в точке C.

Угол C в треугольнике OBC прямой (согласно теореме, известной из элементарной геометрии: угол, вписанный в полуокружность, прямой).

a b b § 1 ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ Значит, OCA = ABC, прямоугольные треугольники OAC и CAB подобны, и, полагая AC = x, мы получаем a x =, x2 = a, x = a.

x 2. Правильные многоугольники. Рассмотрим теперь несколько более сложные конструктивные задачи. Начнем с построения правильного десятиугольника. Предположим, что правильный десятиугольник вписан в круг радиуса 1 (рис. 32); обозначим его сторону через x. Так как центральный угол, под которым эта сторона x видна из A центра круга, содержит 36, то остальные два угла большого треугольника содержат x x каждый по 72, и значит, пунктирная лиB ния, делящая пополам угол A, разбивает O x 1 x треугольник OAB на два равнобедренных треугольника с равными боковыми сторонами длины x. Радиус круга, таким образом, составляется из отрезков x и 1 - x.

Так как треугольник OAB подобен меньРис. 32. Правильный десятишему из двух треугольников, на которые угольник 1 x он разбивается, то мы получаем =.

x 1 - x Эта пропорция приводит к квадратному уравнению x2 + x - 1 = 0, реше 5 - ние которого имеет вид x =. (Другое решение нас не интересует, так как оно соответствует отрицательному значению x.) Из полученной формулы ясно, что отрезок x может быть построен геометрически. Имея же отрезок x, мы сможем построить правильный десятиугольник, откладывая по окружности десять раз хорду x. Отсюда уже легко получить и правильный пятиугольник, соединяя вершины десятиугольника через одну.

Вместо того чтобы строить 5 тем методом, который указан на рис. 31, мы можем построить гипотенузу прямоугольного треугольника со сторонами и 2. Затем нужно отнять единичный отрезок и то, что получится, разделить пополам.

OB Отношение в рассмотренной задаче было названо «золотым», AB так как, по мнению греческих математиков, прямоугольник, стороны которого находятся в этом отношении, эстетически особенно приятен для глаза. Значение отношения приблизительно равно 1,62.

Из всех правильных многоугольников легче всего построить шестиугольник. Так как длина стороны такого шестиугольника, вписанного в круг, равна радиусу круга, то сам шестиугольник строится без за150 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ гл. III труднений, если мы отложим шесть раз по окружности отрезок, равный радиусу.

Имея правильный n-угольник, можно сейчас же получить и правильный 2n-угольник, деля пополам дуги между соседними вершинами n-угольника. Начиная с диаметра круга (правильного вписанного «двуугольника»), мы построим последовательно 4, 8, 16,..., 2n-угольники. Таким же образом, начиная с шестиугольника, мы получим 12, 24, 48,...-угольники, а начиная с десятиугольника, — 20, 40,...-угольники.

D A B C E Рис. 33. Правильный шести- Рис. 34. Удвоение числа сторон угольник правильного многоугольника Если sn обозначает длину стороны правильного n-угольника, вписанного в единичный круг (т. е. круг с радиусом 1), то сторона правильного вписанного 2n-угольника будет иметь длину s2n = 2 - 4 - s2.

n Доказывается это следующим образом (рис. 34): пусть sn = DE = 2DC, s2n = DB и AB = 2. Площадь прямоугольного треугольника ABD равна BD · AD, или, с другой стороны, AB · CD. Так как AD = AB2 - DB2, то, подставляя AB = 2, BD = s2n, CD = sn и сравнивая между собой два выражения для площади, мы получаем sn = s2n 4 - s2, или s2 = s2 (4 - s2 ).

n 2n 2n 2n Остается решить квадратное уравнение относительно x = s2 и при выборе 2n корня принять во внимание, что x должно быть меньше 2.

Из этой формулы, так как длина s4 (сторона квадрата) равна 2, следует, что s8 = 2 - 2, s16 = 2 - 2 + 2, s32 = 2 - 2 + 2 + 2 и т. д.

§ 1 ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ В качестве общей формулы мы получаем (при n > 2) n s2 = 2 - 2 + 2 +... + 2, причем в правой части должно быть всего n - 1 радикалов. Периметр n 2n-угольника, вписанного в круг радиуса 1, равен 2ns2. Когда n стремится к бесконечности, этот периметр в пределе переходит в длину окружности, по определению равную 2 :

n 2ns2 2 при n.

Деля на два и подставляя m вместо n - 1, мы получаем следующую формулу для :

2m 2 - 2 + 2 +... + 2 при m.

m радикалов Упражнение. Пользуясь тем, что 2m, докажите, как следствие, что 2 + 2 +... + 2 2 при n.

n радикалов Резюмируем полученные здесь результаты таким образом: стороны вписанных в единичный круг правильных 2n-угольников, 5 · 2n-угольников и 3 · 2n-угольников вычисляются посредством рациональных операций — сложения, вычитания, умножения, деления — и операции извлечения квадратного корня; следовательно, они могут быть построены с помощью только циркуля и линейки.

3. Проблема Аполлония. Другая конструктивная проблема, решающаяся весьма просто, если подойти к ней с алгебраической точки зрения, — это знаменитая и уже упомянутая выше проблема Аполлония о проведении окружности, касательной к трем данным окружностям.

В настоящем контексте нам не представляется необходимым искать ее особенно элегантное решение. Нам существенно лишь установить принципиально важное положение: проблема Аполлония решается с помощью циркуля и линейки. Мы вкратце приведем соответствующее доказательство; вопрос же о наиболее элегантном построении будет разобран ниже (см. стр. 181).

Пусть центры трех данных окружностей имеют соответственно координаты (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3), а радиусы равны r1, r2 и r3. Обозначим координаты центра искомой окружности через (x, y), а радиус через r.

Легко написать условие касания двух окружностей, если учесть, что расстояние между центрами должно равняться сумме или разности радиусов, смотря по тому, имеет ли место внешнее или внутреннее касание.

Записывая в алгебраической форме три условия задачи, мы получаем 152 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ гл. III Рис. 35. Окружности Аполлония три уравнения (x - x1)2 + (y - y1)2 - (r ± r1)2 = 0, (1) (x - x2)2 + (y - y2)2 - (r ± r2)2 = 0, (2) (x - x3)2 + (y - y3)2 - (r ± r3)2 = 0, (3) которые после преобразований принимают вид 2 x2 + y2 - r2 - 2xx1 - 2yy1 ± 2rr1 + x2 + y1 + r1 = 0 (1a) и т. п.

В каждом из уравнений нужно брать знак плюс или минус, в зависимости от того, каково касание — внешнее или внутреннее (рис. 35). Все уравнения (1), (2), (3) — второй степени относительно неизвестных x, y, r, но они обладают тем свойством, что члены второй степени входят в одинаковой комбинации, как видно из развернутой формы (1a). Таким образом, вычитая (2) из (1), мы получаем уравнение, линейное относительно x, y, r:

ax + by + cr = d, (4) где a = 2(x2 - x1) и т. д. Точно так же, вычитая (3) из (1), будем иметь другое линейное уравнение a x + b y + c r = d. (5) Решая уравнения (4) и (5) относительно неизвестных x и y, которые, таким образом, выразятся линейно через r, и затем подставляя в (1), § 2 ЧИСЛА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОСТРОЕНИЕ придем к уравнению, квадратному относительно r, каковое может быть решено с помощью рациональных операций и извлечения корня (см. стр. 143). Это уравнение, вообще говоря, будет иметь два решения, из которых лишь одно будет положительным. Определив r, найдем дальше значения x и y, подставляя r в ранее полученные формулы.

Pages:     | 1 |   ...   | 20 | 21 || 23 | 24 |   ...   | 76 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.