WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 18 | 19 || 21 | 22 |   ...   | 76 |

Тогда получим неравенство |z - zm| < 10 · 10-(m+1)!. (4) Предположим, что z было бы алгебраическим числом степени n. Тогда, p p полагая в неравенстве Лиувилля (3) = zm =, мы должны иметь q 10m! |z - zm| > 10(n+1)m! при достаточно больших значениях m. Сопоставление последнего неравенства с неравенством (4) дает 1 10 < =, 10(n+1)m! 10(m+1)! 10(m+1)!-откуда следует (n + 1)m! > (m + 1)! - 1 при достаточно больших m. Но это неверно для значений m, больших чем n (пусть читатель потрудится дать детализированное доказательство этого утверждения). Мы пришли к противоречию. Итак, число z — трансцендентное.

Остается доказать теорему Лиувилля. Предположим, что z — алгебраическое число степени n > 1, удовлетворяющее уравнению (1), так что f(z) = 0. (5) pm Пусть zm = — последовательность рациональных чисел, причем qm zm z. Тогда 2 n f(zm) = f(zm) - f(z) = a1(zm - z) + a2(zm - z2) +... + an(zm - zn).

Деля обе части на zm - z и пользуясь алгебраической формулой un - vn = un-1 + un-2v + un-3v2 +... + uvn-2 + vn-1, u - v мы получаем:

f(zm) = a1 + a2(zm + z) + a3(zm + zmz + z2) +...

zm - z n-... + an(zm +... + zn-1). (6) § 6 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ЧИСЛА Так как zm стремится к z, то при достаточно больших m рациональное число zm будет отличаться от z меньше чем на единицу. Поэтому при достаточно больших m можно сделать следующую грубую оценку:

f(zm) < |a1| + 2|a2|(|z| + 1) + 3|a3|(|z| + 1)2 +...

zm - z... + n|an|(|z| + 1)n-1 = M, (7) причем стоящее справа число M — постоянное, так как z не меняется в процессе доказательства. Выберем теперь m настолько большим, чтобы pm у дроби zm = знаменатель qm был больше, чем M; тогда qm |f(zm)| |f(zm)| |z - zm| > >. (8) M qm Ради краткости условимся дальше писать p вместо pm и q вместо qm.

В таком случае a0qn + a1qn-1p +... + anpn.

|f(zm)| = (9) qn p Рациональное число zm = не может быть корнем уравнения f(x) = 0, q так как тогда можно было бы из многочлена f(x) выделить множитель (x - zm), и, значит, z удовлетворяло бы уравнению степени низшей чем n. Итак, f(zm) = 0. Но числитель в правой части равенства (9) есть целое число и, следовательно, по абсолютной величине он по меньшей мере равен единице. Таким образом, из сопоставления соотношений (8) и (9) вытекает неравенство 1 1 |z - zm| > =, (10) q qn qn+как раз и составляющее содержание указываемой теоремы.

На протяжении нескольких последних десятилетий исследования, касающиеся возможности приближения алгебраических чисел рациональными, продвинулись гораздо дальше. Например, норвежский математик А. Туэ (1863–1922) установил, что в неравенстве Лиувилля (3) n показатель n + 1 может быть заменен меньшим показателем + 1.

К. Л. Зигель показал, что можно взять и еще меньший (еще меньший при б n) показатель 2 n.

ольших Трансцендентные числа всегда были темой, приковывающей к себе внимание математиков. Но до сравнительно недавнего времени среди чисел, которые интересны сами по себе, было известно очень немного таких, трансцендентный характер которых был бы установлен. (Из трансцендентности числа, о которой пойдет речь в главе III, следует невозможность квадратуры круга с помощью линейки и циркуля.) В своем выступлении на Парижском международном математическом конгрессе 1900 г. Давид Гильберт предложил тридцать математических 134 АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ гл. II проблем, допускающих простую формулировку, некоторые — даже совсем элементарную и популярную, из которых ни одна не только не была решена, но даже и не казалась способной быть разрешенной средствами математики той эпохи. Эти «проблемы Гильберта» оказали сильное возбуждающее влияние на протяжении всего последующего периода развития математики. Почти все они мало-помалу были разрешены, и во многих случаях их решение было связано с ясно выраженными успехами в смысле выработки более общих и более глубоких методов.

Одна из проблем, казавшаяся довольно безнадежной, заключалась в доказательстве того, что число является трансцендентным (или хотя бы иррациональным). На протяжении трех десятилетий не было даже намека на такой подход к вопросу с чьей-нибудь стороны, который открывал бы надежду на успех. Наконец, Зигель и, независимо от него, молодой русский математик А. Гельфонд открыли новые методы для доказательства трансцендентности многих чисел, имеющих значение в математике. В частности, была установлена трансцендентность не только гильбертова числа 2, но и целого довольно обширного класса чисел вида ab, где a — алгебраическое число, отличное от 0 и 1, a b — иррациональное алгебраическое число.

ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ II Алгебра множеств 1. Общая теория. Понятие класса, или совокупности, или множества объектов — одно из самых фундаментальных в математике. Множество определяется некоторым свойством («атрибутом») A, которым должен или обладать, или не обладать каждый рассматриваемый объект; те объекты, которые обладают свойством A, образуют множество A.

Так, если мы рассматриваем целые числа и свойство A заключается в том, чтобы «быть простым», то соответствующее множество A состоит из всех простых чисел 2, 3, 5, 7,...

Математическая теория множеств исходит из того, что из множеств с помощью определенных операций можно образовывать новые множества (подобно тому как из чисел посредством операций сложения и умножения получаются новые числа). Изучение операций над множествами составляет предмет «алгебры множеств», которая имеет много общего с обыкновенной числовой алгеброй, хотя кое в чем и отличается от нее. Тот факт, что алгебраические методы могут быть применены к изучению нечисловых объектов, каковыми являются множества, иллюгл. II АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ стрирует большую общность идей современной математики. В последнее время выяснилось, что алгебра множеств бросает новый свет на многие области математики, например, теорию меры и теорию вероятностей;

она полезна также при систематизации математических понятий и выяснении их логических связей.

В дальнейшем I будет обозначать некоторое постоянное множество объектов, природа которых безразлична, и которое мы можем называть универсальным множеством (или универсумом рассуждения), а A, B, C,... будут какие-то подмножества I. Если I есть совокупность всех натуральных чисел, то A, скажем, может обозначать множество всех четных чисел, B — множество всех нечетных чисел, C — множество всех простых чисел, и т. п. Если I обозначает совокупность всех точек на плоскости, то A может быть множеством точек внутри какого-то круга, B — множеством точек внутри другого круга и т. п. В число «подмножеств» нам удобно включить само I, а также «пустое» множество, не содержащее никаких элементов. Цель, которую преследует такое искусственное расширение, заключается в сохранении того положения, что каждому свойству A соответствует некоторое множество элементов из I, обладающих этим свойством. В случае, если A есть универсально выполняемое свойство, примером которого может служить (если речь идет о числах) свойство удовлетворять тривиальному равенству x = x, то соответствующее подмножество I будет само I, так как каждый элемент обладает таким свойством; с другой стороны, если A есть какое-то внутренне противоречивое свойство (вроде x = x), то соответствующее подмножество не содержит вовсе элементов, оно — «пустое» и обозначается символом.

Говорят, что множество A есть подмножество множества B, короче, «A входит в B», или «B содержит A», если во множестве A нет такого элемента, который не был бы также во множестве B. Этому соотношению соответствует запись A B, или B A.

Например, множество A всех целых чисел, делящихся на 10, есть подмножество множества B всех целых чисел, делящихся на 5, так как каждое число, делящееся на 10, делится также на 5. Соотношение A B не исключает соотношения B A. Если имеет место и то и другое, то мы пишем A = B.

Это означает, что каждый элемент A есть вместе с тем элемент B, и обратно, так что множества A и B содержат как раз одни и те же элементы.

Соотношение A B между множествами во многих отношениях напоминает соотношение a b между числами. В частности, отметим сле136 АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ гл. II дующие свойства этого соотношения:

1) A A.

2) Если A B и B A, то A = B.

3) Если A B и B C, то A C.

По этой причине соотношение A B иногда называют «отношением порядка». Главное отличие рассматриваемого соотношения от соотношения a b между числами заключается в том, что между всякими двумя заданными (действительными) числами a и b непременно осуществляется по меньшей мере одно из соотношений a b или b a, тогда как для соотношения A B между множествами аналогичное утверждение неверно. Например, если A есть множество, состоящее из чисел 1, 2, 3, A = {1, 2, 3}, а B — множество, состоящее из чисел 2, 3, 4, B = {2, 3, 4}, то не имеет места ни соотношение A B, ни соотношение B A. По этой причине говорят, что подмножества A, B, C,... множества I являются «частично упорядоченными», тогда как действительные числа a, b, c,...

образуют «вполне упорядоченную» совокупность.

Заметим, между прочим, что из определения соотношения A B следует, что, каково бы ни было подмножество A множества I, 4) A и 5) A I.

Свойство 4) может показаться несколько парадоксальным, но, если вдуматься, оно логически строго соответствует точному смыслу определения знака. В самом деле, соотношение A нарушалось бы только в том случае, если бы пустое множество содержало элемент, который не содержался бы в A; но так как пустое множество не содержит вовсе элементов, то этого быть не может, каково бы ни было A.

Мы определим теперь две операции над множествами, формально обладающие многими алгебраическими свойствами сложения и умножения чисел, хотя по своему внутреннему содержанию совершенно отличные от этих арифметических действий. Пусть A и B — какие-то два множества.

Под объединением, или «логической суммой», A и B понимается множество, состоящее из тех элементов, которые содержатся или в A, или в B (включая и те элементы, которые содержатся и в A и в B). Это множество обозначается A + B.1 Под «пересечением», или «логическим произведением», A и B понимается множество, состоящее из тех элементов, которые содержатся и в A и в B. Это множество обозначается AB.Или A B. — Прим. ред.

гл. II АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ A Рис. 26. Объединение и пересечение множеств Проиллюстрируем приведенные определения примером. Возьмем опять в качестве A и B множества A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}.

Тогда A + B = {1, 2, 3, 4}, AB = {2, 3}.

Среди важных алгебраических свойств операций A + B и AB перечислим следующие. Читатель сможет проверить их справедливость, исходя из определения самих операций:

6) A + B = B + A. 7) AB = BA.

8) A + (B + C) = (A + B) + C. 9) A(BC) = (AB)C.

10) A + A = A. 11) AA = A.

12) A(B + C) = AB + AC. 13) A + (BC) = (A + B)(A + C).

14) A + = A. 15) AI = A.

16) A + I = I. 17) A =.

18) Соотношение A B эквивалентно каждому из двух соотношений A + B = B, AB = A.

Проверка всех этих законов — дело самой элементарной логики. Например, правило 10) констатирует, что множество элементов, содержащихся или в A, или в A, есть как раз множество A; правило 12) констатирует, что множество тех элементов, которые содержатся в A и вместе с тем содержатся или в B, или в C, совпадает со множеством элементов, которые или содержатся одновременно в A и в B, или содержатся одновременно в A и в C. Логические рассуждения, используемые при доказательствах подобного рода правил, удобно иллюстрируются, если мы условимся изображать множества A, B, C,... в виде некоторых фигур на плоскости и будем очень внимательны в том отношении, чтобы не упустить ни одной из возникающих логических возможностей, когда речь идет о наличии общих элементов двух множеств или, напротив, наличии в одном множестве элементов, которые не содержатся в другом.

Или A B. — Прим. ред.

138 АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ гл. II Читатель, несомненно, обратил внимание на то обстоятельство, что законы 6), 7), 8), 9) и 12) внешне тождественны с хорошо знакомыми коммутативным, ассоциативным и дистрибутивным законами обыкновенной алгебры. Отсюда следует, что все правила обыкновенной алгебры, вытекающие из этих законов, действительны также в алгебре множеств. Напротив, законы 10), 11) и 13) не имеют своих аналогов в обыкновенной алгебре, и они придают алгебре множеств более простую структуру. Например, формула бинома в алгебре множеств сводится к простейшему равенству (A + B)n = (A + B) · (A + B)... (A + B) = A + B, которое следует из закона 11). Законы 14), 15) и 17) говорят о том, что свойства множеств и I по отношению к операциям объединения и пересечения множеств весьма похожи на свойства чисел 0 и 1 по отношению к операциям числовых действий сложения и умножения. Но закон 16) не имеет аналога в числовой алгебре.

Остается дать определение еще одной операции в алгебре множеств.

Пусть A — какое-нибудь подмножество универсального множества I. Тогда под дополнением A в I понимается множество всех элементов I, которые не содержатся в A. Для этого множества мы введем обозначение A. Так, если I есть множество всех натуральных чисел, а A — множество всех простых чисел, то A есть множество, состоящее из всех составных чисел и числа 1. Операция перехода от A к A, для которой нет аналога в обыкновенной алгебре, обладает следующими свойствами:

19) A + A = I. 20) AA =.

21) = I. 22) I =.

23) A = A.

24) Соотношение A B эквивалентно соотношению B A.

25) (A + B) = A B. 26) (AB) = A + B.

Проверку этих свойств мы опять предоставляем читателю.

Законы 1)–26) лежат в основе алгебры множеств. Они обладают замечательным свойством «двойственности» в следующем смысле:

Pages:     | 1 |   ...   | 18 | 19 || 21 | 22 |   ...   | 76 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.