WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 15 | 16 || 18 | 19 |   ...   | 76 |

a Sa, (2) где через Sa обозначено то подмножество A, которому соответствует элемент a множества A. Мы придем к противоречию, если укажем некоторый элемент B, т. е. некоторое подмножество T множества A, которому не может соответствовать никакой элемент a. Чтобы построить подмножество T, заметим прежде всего, что для всякого элемента x из A существуют две возможности: либо множество Sx, сопоставляемое зависимостью (2) элементу x, содержит элемент x, либо не содержит. Мы определим T как подмножество A, состоящее из всех таких элементов x, что Sx не содержит x. Определенное таким образом множество T отличается от всякого Sa по крайней мере элементом a, так как если Sa содержит a, то T не содержит a, а если Sa не содержит a, то T содержит a. Итак, T не включено в соответствие (2). Это и показывает, что невозможно установить взаимно однозначное соответствие между элементами A (или некоторого подмножества A) и элементами B. Но соотношение a {a} устанавливает взаимно однозначное соответствие между всеми элементами A и подмножеством B, состоящим из одноэлементных подмножеств A. Значит, по данному выше определению, множеству B соответствует большее кардинальное число, чем множеству A.

* Упражнение. Если множество A содержит n элементов, то определенное выше множество B содержит 2n элементов. Если A есть множество натуральных чисел, то B эквивалентно континууму действительных чисел, заключенных между 0 и 1. (Указание: сопоставьте каждому подмножеству A символ, состоящий из последовательности — конечной в первом примере, бесконечной во втором — a1a2a3..., где an = 1 или 0, смотря по тому, принадлежит или не принадлежит n-й элемент A рассматриваемому подмножеству.) Могло бы показаться легкой задачей построить множество точек, обладающее б кардинальным числом, чем множество точек единичного ольшим отрезка. Казалось бы, что квадрат со стороной 1, как «двумерная» фигура, должен содержать «больше» точек, чем «одномерный» отрезок. Но, как это ни странно, дело обстоит иначе: кардинальное число точек квадрата в точности равно кардинальному числу точек отрезка. Для доказательства достаточно установить взаимно однозначное соответствие между точками квадрата и точками отрезка. Постараемся это сделать.

Если (x, y) есть какая-нибудь точка единичного квадрата, то ее координаты x и y могут быть представлены в виде десятичных разложений x = 0,a1a2a3a4..., y = 0,b1b2b3b4..., § 4 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНОГО причем пусть будет условлено (ради избежания всяких сомнений), что, например, число будет записываться в виде 0,25000..., а не в виде 0,24999...

Названной точке квадрата (x, y) мы сопоставим точку единичного отрезка z = 0,a1b1a2b2a3b3a4b4....

Очевидно, различным точкам квадрата (x, y) и (x, y ) сопоставляются различные же точки отрезка z и z ; это и значит, что кардинальное число множества точек квадрата не превышает кардинального числа множества точек отрезка.

(Собственно говоря, в данном случае построено взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек квадрата и некоторым подмножеством точек отрезка: никакая точка квадрата не будет соответствовать, например, точке отрезка 0,2140909090..., так как мы условились писать 0,25000..., а не 0,24999... Но можно слегка видоизменить построение таким образом, чтобы действительно осуществлялось взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек квадрата и множеством всех точек отрезка.) Аналогичнее рассуждение показывает, что кардинальнее число точек куба не превышает кардинального числа точек отрезка.

Все эти результаты, казалось бы, стоят в противоречии с интуитивным представлением о «размерности». Но нужно обратить внимание на то, что вводимые нами соответствия не являются «непрерывными»; когда мы перемещаемся по отрезку от 0 к 1 непрерывно, соответствующие точки в квадрате не образуют непрерывной кривой, а будут появляться в порядке совершенно «хаотическом». Размерность множества точек зависит не только от кардинального числа точек, но и от того, как они расположены в пространстве. Мы вернемся к этому вопросу в главе V.

4. Косвенный метод доказательства. Теория кардинальных чисел представляет собой лишь один из аспектов общей теории множеств, созданной Кантором несмотря на суровую критику со стороны наиболее выдающихся математиков того времени. Многие из критиков, например Пуанкаре и Кронекер, возражали против неопределенности общего понятия «множества» и против неконструктивного характера рассуждений, применявшихся при определении некоторых множеств.

Возражения против неконструктивных рассуждений относятся к тем доказательствам, которые можно было бы назвать «существенно косвенными». Сами по себе «косвенные» доказательства есть самый обыкновенный элемент математического мышления: желая установить истинность предложения A, мы вначале допускаем, что справедливо иное предложение A, противоположное A; затем некоторая цепь рассуждений приводит нас к утверждению, противоречащему A, и тем самым обнаруживается несостоятельность предложения A. Тогда на базе основного логического принципа «исключенного третьего» из ложности A следует истинность A.

В разных местах этой книги читатель найдет ряд таких примеров, 114 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА гл. II для которых косвенное доказательство легко может быть превращено в прямое, но «косвенная» форма создает преимущества краткости и освобождает от рассмотрения подробностей, имеющих второстепенный интерес с точки зрения поставленной ближайшей цели. Но попадаются и такие теоремы, для которых до настоящего времени не удалось дать иных доказательств, кроме косвенных. О некоторых из этих теорем можно даже сказать, что, по-видимому, по самой их природе прямые, конструктивные их доказательства принципиально невозможны. Сюда относится, например, теорема, приведенная на стр. 102. Не раз бывали случаи в истории математики, когда все усилия математиков были направлены в сторону построения («конструкции») решения тех или иных проблем, разрешимость которых предполагалось установить, а затем кто-нибудь приходил, если так можно выразиться, со стороны и ликвидировал все трудности с помощью «косвенного» неконструктивного рассуждения.

Когда речь идет о доказательстве существования объекта определенного типа, то имеется существенное различие между тем, чтобы построить осязаемый пример объекта, и тем, чтобы доказать, что из несуществования объекта можно вывести противоречивые заключения. В первом случае получается осязаемый объект, во втором — ничего, кроме противоречия. Не так давно некоторые математики (весьма заслуженные) провозгласили более или менее полное устранение из математики всех неконструктивных доказательств. Даже если бы выполнение этой программы признать желательным, необходимо указать, что это повлекло бы за собой в настоящую эпоху чрезвычайные усложнения, и можно было бы даже опасаться, что в процессе совершающихся потрясений подверглись бы разрушению существенные части организма математики.

Поэтому нечего удивляться, что школа «интуиционистов», принявшая упомянутую программу, встретила упорное сопротивление, и что даже наиболее ортодоксальные интуиционисты не всегда в состоянии жить согласно своим убеждениям.5. Парадоксы бесконечного. Хотя бескомпромиссная позиция, занятая интуиционистами, с точки зрения большинства математиков является слишком экстремистской, волей-неволей приходится согласиться, что для внешне прекрасной теории бесконечных множеств возникла серьезная угроза, когда в пределах самой этой теории обнаружились совершенно явные логические парадоксы. Очень скоро было замечено, что неограниченная свобода в пользовании понятием «множество» неизОб интуиционизме и выросшем из него конструктивном направлении в математике и логике, на исчерпывающую характеристику которых никак не претендуют эти строки, см., например, [11] и [15] в списке литературы в конце книги (номера по которому всюду указываются в квадратных скобках). — Прим. ред.

§ 4 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНОГО бежно ведет к противоречиям. Мы приведем здесь один из парадоксов, обнаруженный Бертраном Расселом. Вот в чем он заключается.

Как правило, множества не содержат себя в качестве элемента. Например, множество A всех целых чисел содержит в качестве элементов только целые числа; так как само A не есть целое число, а есть множество целых чисел, то A себя в качестве элемента не содержит.

Условимся называть такие множества «ординарными». Но могут существовать и такие множества, которые содержат себя в качестве элемента. Рассмотрим, например, множество S, определенное следующим образом: «S содержит в качестве элементов все множества, которые можно определить посредством предложения, содержащего меньше двадцати слов». Так как само множество S определяется предложением, содержащим меньше двадцати слов, то выходит, что оно является элементом множества S. Такие множества назовем «экстраординарными».

Как бы то ни было, большинство множеств — ординарные; попробуем не иметь дела с дурно ведущими себя экстраординарными множествами и будем рассматривать только множество всех ординарных множеств.

Обозначим его буквой C. Каждый элемент C есть множество, притом ординарное множество. Но вот возникает вопрос: а само множество C — ординарное или экстраординарное Несомненно, оно должно быть или тем, или другим.1 Если C — ординарное множество, то оно содержит себя в качестве элемента, так как C определено как множество всех ординарных множеств. Раз дело обстоит так, значит, C — экстраординарное множество, так как экстраординарными, согласно определению, названы множества, содержащие себя в качестве элемента. Получается противоречие. Значит, C должно быть экстраординарным множеством.

Но тогда множество C содержит в качестве элемента себя, т. е. оно есть экстраординарное множество, а это противоречит определению C как множества всех ординарных множеств. Итак, мы видим, что уже одно только допущение существования множества C внутренне противоречиво.

6. Основания математики. Парадоксы вроде вышеприведенного побудили Рассела и других подвергнуть систематическому изучению основания математики и логики. Конечная цель этих исследований заключается в создании для математических рассуждений такой логической базы, относительно которой можно было бы доказать, что она свободна от возможных противоречий, и которая вместе с тем была бы достаточно обширной, чтобы из нее можно было путем дедукции Получаемое далее противоречие может быть выведено и без использования так называемого закона исключенного третьего, подразумеваемого в этой фразе. См., например, Френкель А. и Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. — М.: Мир, 1966, гл. I, § 2. — Прим. ред.

116 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА гл. II вывести все, что в математике признается существенным, или хотя бы многое из того. Поскольку такой самонадеянной цели достигнуть не удавалось (а может быть, ее и нельзя достигнуть), математическая логика как особый предмет привлекала внимание все возрастающего числа исследователей. Многие относящиеся сюда проблемы необходимо признать крайне трудными, хотя формулировки их вполне просты. В качестве примера назовем гипотезу континуума, утверждающую, что не существует множества, для которого кардинальное число больше, чем кардинальное число множества натуральных чисел, но меньше, чем кардинальное число множества действительных чисел. Из этой гипотезы можно вывести много интересных следствий, но сама гипотеза до наших дней не была ни доказана, ни опровергнута. Впрочем, не так давноКурт Гёдель доказал, что если система обычных постулатов, лежащих в основе теории множеств, не содержит противоречий, то в таком случае расширенная система постулатов, получающаяся при добавлении континуум-гипотезы, также не содержит противоречий. Вопросы, рассматриваемые в математической логике, в конечном счете упираются в один основной вопрос: что понимать под существованием в математике К счастью, существование самой математики не зависит от того, найден ли удовлетворительный ответ на этот вопрос. Школа «формалистов», во главе которой стоял великий математик Гильберт, утверждает, что в математике «существование» означает «свободу от противоречия». Если принять эту точку зрения, то очередной и необходимой задачей является как раз построение системы постулатов, из которых всю математику можно было бы вывести путем логической дедукции, и доказательство того, что эти постулаты не могут привести ни к какому противоречию.

Недавние результаты Гёделя и других как будто бы показывают, что такая программа, по крайней мере в той форме, в какой она была намечена самим Гильбертом, не может быть осуществлена. Весьма многозначительно то обстоятельство, что гильбертова теория формализированного построения математики существенно опирается на интуитивные процедуры. Тем или иным путем, в открытой или в скрытой форме, даже прикрытая самым безупречным формалистическим, логическим, аксиоматическим одеянием, конструктивная интуиция всегда остается самым жизненным элементом в математике.1940 г. А в 1963 г. американским математиком П. Коэном доказана независимость континуум-гипотезы от принятой Гёделем системы аксиом теории множеств. — Прим. ред.

Подробнее об этих вопросах см. [11] и [38]. — Прим. ред.

§ 5 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА § 5. Комплексные числа 1. Возникновение комплексных чисел. По ряду причин возникла потребность в расширении понятия числа даже за пределы континуума действительных чисел — посредством введения так называемых комплексных чисел. Необходимо ясно представлять себе, что все подобного рода расширения и нововведения приходят отнюдь не в результате чьих-то индивидуальных усилий. Скорее их можно рассматривать как итог некоторой постепенной и исполненной колебаний эволюции, в которой не следует преувеличивать роль отдельных личностей. Одной из причин, которые обусловили появление и употребление отрицательных и дробных чисел, было стремление к большей свободе в формальных вычислениях. Только к концу средневековья математики стали терять ощущение беспокойства и неуверенности, с которым они оперировали этими понятиями, тогда как ничего подобного не наблюдалось в отношении таких интуитивно ясных и конкретно воспринимаемых понятий, как понятие натурального числа.

Pages:     | 1 |   ...   | 15 | 16 || 18 | 19 |   ...   | 76 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.