WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 76 |

Только что приведенное рассуждение показывает, что иной раз самое простейшее геометрическое построение приводит к отрезку, несоизмеримому с единицей. Если такой отрезок будет отложен с помощью циркуля на числовой оси от точки 0, то построенная таким образом точка (конец отрезка) не совпадает ни с какой рациональной точкой. Итак, система рациональных точек (хотя и всюду плотная) не покрывает всей числовой оси. Наивному сознанию, несомненно, может показаться странным и 0 парадоксальным, что всюду плотное мно жество рациональных точек не покрывает Рис. 10. Построение числа всей прямой. Никакая наша «интуиция» не поможет нам «увидеть» иррациональные точки или отличить их от рациональных. Нет ничего удивительного в том, что открытие несоизмеримого потрясло греческих математиков и мыслителей и что его существование и в наши дни продолжает производить впечатление на людей, склонных к углубленным размышлениям.

Не представило бы труда сконструировать столько отрезков, несоизмеримых с единицей, сколько бы мы пожелали. Концы всех таких отрезков — при условии, что их начала совпадают с точкой 0,— образуют совокупность иррациональных точек. Заметим теперь, что нашим руководящим принципом уже при введении рациональных дробей было желание обеспечить возможность измерения длин отрезков посредством чисел, и тот же принцип продолжает руководить нами и тогда, 86 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА гл. II когда речь идет о несоизмеримых отрезках. Если мы требуем, чтобы существовало взаимное соответствие между числами, с одной стороны, и точками на прямой линии — с другой, то неизбежно приходится ввести в рассмотрение иррациональные числа.

Подводя итоги до сих пор сказанному, мы констатируем, что иррациональное число обозначает длину отрезка, несоизмеримого с единицей. В следующих разделах мы должны будем уточнить это несколько смутное и всецело геометрическое определение и в результате придем к определению, более удовлетворительному с точки зрения логической строгости. Рассматривая этот вопрос, мы будем вначале исходить из десятичных дробей.

3 Упражнения. 1) Докажите, что числа 2, 3, 5, 3 иррациональные.

(Указание: воспользуйтесь леммой стр. 65.) на 2) Докажите, что числа 2 + 3 и 2 + 2 иррациональные. (Указание:

если бы, например, из этих чисел было рациональным числом r, то, первое написав 3 = r - 2 и возведя в квадрат, мы заключили бы, что 2 есть рациональное число.) 3) Докажите, что число 2 + 3 + 5 иррациональное. Попробуйте придумать еще подобные и более общие примеры.

2. Десятичные дроби: конечные и бесконечные. Чтобы покрыть числовую ось везде плотным множеством точек, нет необходимости использовать всю совокупность рациональных чисел: достаточно, например, ограничиться только теми числами, которые возникают при подразделении единичного отрезка на 10, потом на 100, 1000 и т. д.

равных частей. Получающиеся при этом точки деления соответствуют 1 «десятичным дробям». Так, числу 0,12 = + соответствует точка, 10 расположенная в первом единичном интервале, во втором «подынтервале» длины 10-1, и именно она есть начальная точка третьего «подподын тервала» длины 10-2 a-n означает. Если такого рода десятичная an дробь содержит n знаков после запятой, то она имеет вид f = z + a1 · 10-1 + a2 · 10-2 + a3 · 10-3 +... + an · 10-n, где z — целое число, а коэффициенты a — цифры 0, 1, 2,..., 9, обозначающие число десятых, сотых и т. д. Сокращенно число f записывается в десятичной системе следующим образом: z,a1a2a3... an. Мы убеждаемся непосредственно, что такого рода десятичные дроби могут представлены p виде обыкновенных дробей, где q = 10n; так, например, q 3 1 4 f = 1,314 = 1 + + + =.

10 100 1000 Если окажется, что p и q имеют общий множитель, то дробь можно сократить, и тогда знаменатель будет некоторым делителем числа 10n.

§ 2НЕСОИЗМЕРИМЫЕ ОТРЕЗКИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, ПРЕДЕЛЫ С другой стороны, несократимая дробь, у которой знаменатель не есть делитель некоторой степени 10, не может быть представлена в виде де1 2 1 сятичной дроби указанного типа. Например, = = 0,2; = = 5 10 250 0,004; но не может быть написана как десятичная дробь с конечным числом n десятичных знаков, как бы ни было велико n: в самом деле, из равенства вида 1 b = 3 10n следовало бы 10n = 3b, а последнее равенство невозможно, так как 3 не входит множителем ни в какую степень числа 10.

Возьмем теперь на числовой оси какую-нибудь точку P, которая не соответствует никакой конечной десятичной дроби; можно, например, взять рациональную точку или иррациональную точку 2. Тогда в процессе последовательного подразделения единичного интервала на равных частей точка P никогда не окажется в числе точек деления:

она будет находиться внутри десятичных интервалов, длина которых будет неограниченно уменьшаться; концы этих интервалов соответствуют конечным десятичным дробям и приближают точку P с какой угодно степенью точности. Рассмотрим несколько подробнее этот процесс приближения.

Предположим, что точка P лежит в первом единичном интервале.

Сделаем подразделение этого интервала на 10 равных частей, каждая длины 10-1, и предположим, что точка P попадает, скажем, в третий из этих интервалов. На этой стадии мы можем утверждать, что P заключена между десятичными дробями 0,2 и 0,3. Подразделяем снова интервал от 0,2 до 0,3 на 10 равных частей, каждая длины 10-2, и обнаружим, что P попадает, допустим, в четвертый из этих интервалов.

Подразделяя его, как раньше, видим, что точка P попадает в первый интервал длины 10-3. Теперь можно сказать, что точка P заключена между 0,230 и 0,231. Этот процесс может быть продолжен до бесконечности и приводит к бесконечной последовательности цифр a1, a2, a3,..., an,..., обладающей таким свойством: каково бы ни было n, точка P заключена в интервале In, у которого начальная точка есть 0,a1a2a3... an-1an, а конечная — 0,a1a2a3... an-1(an + 1), причем длина In равна 10-n. Если станем полагать по порядку n = 1, 2, 3, 4,..., то увидим, что каждый из интервалов I1, I2, I3,... содержится в предыдущем, причем их длины 10-1, 10-2, 10-3,... неограниченно уменьшаются. Мы скажем, более кратко, что точка P заключена в стягивающуюся последовательность десятичных интервалов. Например, если точка P есть, то все 88 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА гл. II цифры a1, a2, a3,... равны 3, и P заключена в любом интервале In от 0,333... 33 до 0,333... 34, т. е. больше чем 0,333... 33 и меньше чем 0,333... 34, сколько бы ни взять цифр после запятой. Мы скажем в этих обстоятельствах, что n-значная десятичная дробь 0,333... 33 «стремится к », когда число цифр n неограниченно возрастает. И мы условимся писать = 0,333..., причем точки обозначают, что десятичная дробь может быть продлена «до бесконечности».

Иррациональная точка 2, которая была рассмотрена в пункте 1, также приводит к бесконечной десятичной дроби. Но закон, которому подчиняются последовательные цифры десятичного разложения, на этот раз далеко не очевиден. Мы затрудняемся указать формулу, которая давала бы цифру, стоящую на n-м месте, хотя можно вычислить столько цифр, сколько мы пожелали бы себе заранее назначить:

12 = 1 < 2 < 22 = (1,4)2 = 1,96 < 2 < (1,5)2 = 2,(1,41)2 = 1,9881 < 2 < (1,42)2 = 2,(1,414)2 = 1,999396 < 2 < (1,415)2 = 2,(1,4142)2 = 1,99996164 < 2 < (1,4143)2 = 2,00024449 и т. д.

В качестве общего определения мы скажем, что точка P, которая не может быть представлена в виде десятичной дроби с конечным числом десятичных знаков, представляется в виде бесконечной десятичной дроби z,a1a2a3..., если, каково бы ни было n, точка P лежит в интервале длины 10-n с начальной точкой z,a1a2a3... an.

Таким образом, мы устанавливаем соответствие между всеми точками числовой оси и всеми (конечными или бесконечными) десятичными дробями. Теперь мы попытаемся ввести предварительное определение: «число» есть конечная или бесконечная десятичная дробь. Те бесконечные десятичные дроби, которые не представляют рационального числа, называются иррациональными числами. До середины XIX столетия соображения, подобные приведенным выше, казались достаточными для объяснения того, как устроена система рациональных и иррациональных чисел — числовой континуум. Необычайные успехи математики, достигнутые начиная с XVII столетия, в частности, развитие аналитической геометрии и дифференциального и интегрального исчислений, твердо базировались именно на таком представлении о системе чисел. Однако в период критического пересмотра принципов и консолидации результатов стало ощущаться все более и более явственно, что понятие иррационального числа должно быть подвергнуто § 2НЕСОИЗМЕРИМЫЕ ОТРЕЗКИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, ПРЕДЕЛЫ более точному и глубокому анализу. Но, прежде чем перейти к очерку современной теории числового континуума, нам придется рассмотреть и разобрать — на более или менее интуитивной основе — одно из математических понятий капитальной значимости — понятие предела.

3 Упражнение. Вычислите приближенно 2 и 5 с ошибкой, не превышающей 10-2.

3. Пределы. Бесконечные геометрические прогрессии. Как мы видели в предыдущем пункте, иногда случается, что некоторое рациональное число s приближается последовательностью других рациональных чисел sn, причем индекс n принимает последовательно все значения 1, 2, 3,... Так, например, можно взять: s =, тогда s1 = 0,3, s2 = 0,33, s3 = 0,333 и т. д. Вот еще пример. Разобьем единичный интервал на две равные части, вторую половину — снова на две равные части, вторую из полученных двух частей — снова на две равные части и т. д., пока наименьший из полученных таким образом интервалов не станет равным 2-n, где n — сколь угодно большое наперед заданное число, например, n = 100, n = 100000 и т. д. Затем, складывая вместе все интервалы, кроме самого последнего, мы получаем общую длину 1 1 1 1 sn = + + + +... +. (3) 2 4 8 16 2n n Легко понять, что sn отличается от 1 на и что эта разность становится сколь угодно малой, или «стремится к нулю», при неограниченном возрастании n. Говорить, что эта разность равна нулю, когда n равно «бесконечности», не имеет никакого смысла. Бесконечное в математике связывается с некоторым процессом, не имеющим конца, и никогда не связывается с актуальной величиной. Желая описать поведение sn, мы говорим, что сумма sn стремится к пределу 1, когда n стремится к бесконечности, и пишем 1 1 1 1 = + + + +..., (4) 2 4 8 причем то, что возникает справа, есть бесконечный ряд. Последнее «равенство» не следует понимать в том смысле, что имеется в виду сложить вместе бесконечное число слагаемых: это только сокращенная запись того факта, что 1 есть предел конечных сумм sn, получающийся, когда n стремится к бесконечности (и ни в коем случае не равно бесконечности). Итак, равенство (4), заканчивающееся неопределенным символом «+...», как бы стенографирует некоторую точную мысль, выражаемую, по неизбежности, длинным рядом слов:

«1 равна пределу (при n, стремящемся к бесконечности) выражения 1 1 1 sn = + + +... + ». (5) 2 22 23 2n 90 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА гл. II Еще более кратко и более выразительно пишут следующим образом:

sn 1 при n. (6) Говоря о пределах, рассмотрим еще пример. Пусть перед нами имеется бесконечная последовательность различных степеней числа q:

q, q2, q3, q4,..., qn,...

1 Если -1 < q < 1, например, q = или q = -, то qn стремится к нулю 3 при неограниченном возрастании n. При этом если q — отрицательное число, то знаки qn чередуются: за + следует -, и обратно; таким обра1 зом, qn стремится к нулю «с двух сторон». Так, если q =, то q2 =, 3 1 1 1 1 1 q3 =, q4 =,... ; но если q = -, то q2 =, q3 = -, q4 =,...

27 81 2 4 8 Мы утверждаем, что предел qn, когда n стремится к бесконечности, равен нулю, или, символически, qn 0 при n, если -1 < q < 1. (7) (Между прочим, если q > 1 или q < -1, то qn уже не стремится к нулю, а неограниченно возрастает по абсолютной величине.) Приведем строгое доказательство утверждения (7). Мы видели на стр. 34, что при любом целом положительном значении n и при условии p > -1 имеет место неравенство (1 + p)n 1 + np. Пусть q — какое-то положительное число, меньшее единицы, например, q =. Тогда можно положить q =, где p > 0. Отсюда следует 1 + p = (1 + p)n 1 + np > np, qn или же (см. определение (4) на стр. 74) 1 0 < qn < ·.

p n 1 Значит, qn заключено между постоянным числом 0 и числом ·, коp n торое стремится к нулю при неограниченном возрастании n (так как p — постоянное). После этого ясно, что qn 0. Если q — отрицательное число, то мы положим q = -, и тогда qn будет заключено между чис1 + p 1 1 1 лами - · и · ; рассуждение заканчивается так же, как раньше.

p n p n Рассмотрим теперь геометрическую прогрессию sn = 1 + q + q2 + q3 +... + qn. (8) (Частный случай q = был рассмотрен выше.) Как уже было показано (см. стр. 32), сумма sn может быть представлена в более простой и § 2НЕСОИЗМЕРИМЫЕ ОТРЕЗКИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, ПРЕДЕЛЫ сжатой форме. Умножая sn на q, мы получаем qsn = q + q2 + q3 + q4 +... + qn+1 (8a) и, вычитая (8а) из (8), убеждаемся, что все члены, кроме 1 и qn+1, взаимно уничтожаются. В результате будем иметь (1 - q)sn = 1 - qn+1, или же, деля на 1 - q, 1 - qn+1 1 qn+sn = = -.

1 - q 1 - q 1 - q С понятием предела мы встретимся, если заставим n неограниченно возрастать. Мы видели только что, что qn+1 = q · qn стремится к нулю, если -1 < q < 1, и отсюда можем заключить:

sn при n, если -1 < q < 1. (9) 1 - q Тот же результат можно записать, пользуясь бесконечным рядом 1 + q + q2 + q3 +... =, если -1 < q < 1. (10) 1 - q Например, 1 1 1 1 + + + +... = = 2 22 1 в полном соответствии с равенством (4); подобным же образом 9 9 9 9 9 + + + +... = · = 1, 10 102 103 104 1 или, иначе, 0,9999... = 1. Совершенно так же конечная дробь 0,2374 и бесконечная дробь 0,23739999... представляют одно и то же число.

В главе VI мы вернемся к общему обсуждению понятия предела, рассматривая вопрос с современной, логически более строгой точки зрения.

Упражнения. 1) Докажите, что 1 - q + q2 - q3 + q4 -... =, если |q| < 1.

1 + q n 2) Каков предел последовательности a1, a2, a3,..., где an = (Укаn + n зание: напишите данное выражение в виде 1 - и обратите внимаn + 1 n + ние на то, что вычитаемое стремится к нулю.) n2 + n + 3) Каков предел при n (Указание: напишите это выражеn2 - n + ние в виде 1 1 + + n n.

1 1 - + n n92 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА гл. II 4) Предполагая q по абсолютной величине меньшим чем 1, докажите, что 1 + 2q + 3q2 + 4q3 +... =. (Указание: воспользуйтесь результатом (1 - q)упражнения 3 на стр. 36.) 5) Каков предел бесконечного ряда 1 - 2q + 3q2 - 4q3 +... 6) Вычислите пределы выражений 1 + 2 + 3 +... + n 12 + 22 + 32 +... + n2 13 + 23 + 33 +... + n,,.

Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 76 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.