WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 18 |

Рис. 2.Как видим, дисперсия движений денег для предложения Б выше, чем для предложения А, несмотря на тот факт, что наиболее вероятный исход одинаков для двух вариантов: 4000 у.е.

Если риск связан с вероятностью распределения возможных движений денежных средств, то чем больше дисперсия, тем выше риск, и предложение Б будет более рисковым. Если руководство компании, акционеры и кредиторы не склонны рисковать, то предпочтение будет отдано предложению А.

Чем плотнее распределение, тем ниже должен быть данный показатель; чем шире распределение, тем он больше. Общепринятой мерой Вероятности появления широты распределения считается стандартное отклонение, которое рассчитывают по формуле n = Дx - Д )2 Px, ( x=где Дx – денежный поток для х-й вероятности; Px– вероятность появления этого денежного потока; – математическое ожидание денежного потока Д по уравнению исходов от 1-го до п-го; n – общее число возможностей.

Математическое ожидание вероятностного распределения опреД деляется по формуле n Д = ДxPx, x=Д – это взвешенная средняя возможных денежных потоков, для которой веса – вероятности появления тех или иных значений денежных потоков.

Стандартное отклонение – мера компактности вероятностного распределения. Для нормального колоколообразного распределения приблизительно 68% общей площади распределения попадает в интервал, ограниченный одним стандартным отклонением от средней. Вероятность того, что значения попадут в интервал, ограниченный двумя стандартными отклонениями, приблизительно составляет 95%, а вероятность того, что оно попадет в три стандартных отклонения, превышает 99%.

Ожидаемая величина распределения для варианта А составляет Д = 0,10(3000) + 0,20(3500) + 0,40(4000) + 0,20(4500) + А +0,10(5000) = 4000 у.е.

Для варианта Б результат будет тот же ДБ = 0,10(2000) + 0,20(3000) + 0,40(4000) + 0,20(5000) + +0,10(6000) = 4000 у.е.

Однако стандартное отклонение для варианта А A = [0,10(3000 - 4000)2 + 0,20(3500 - 4000)2 + +0,40(4000 - 4000)2 + 0,20(4500 - 4000)2 + +0,10(5000 - 4000)2] = 300000 = 548 у.е.

Заметим также, что когда мы возводим в квадрат отрицательное число, например (3000 – 4000), получаем положительный результат. Стандартное отклонение для предложения Б A = [0,10(2000 - 4000)2 + 0,20(3000 - 4000)2 + +0,40(4000 - 4000)2 + 0,20(5000 - 4000)2 + +0,10(6000 - 4000)2] = 300000 = 1095 у.е.

Вариант Б имеет более высокое стандартное отклонение, характеризующее большую дисперсию возможных результатов, и мы можем сказать, что оно более рисковое.

Коэффициент вариации – мера относительной дисперсии: стандартное отклонение / математическое ожидание вероятностного распределения.

Для варианта А коэффициент вариации kA = 548/ 4000 = 0,14, а для варианта Б kБ = 1095/ 4000 = 0,27.

Так как коэффициент вариации для проекта Б превышает аналогичный показатель для проекта А, мы можем сказать, что проект Б имеет более высокую степень риска. Можно поставить вопрос о целесообразности использования коэффициента вариации, ведь в нашем примере большая величина стандартного отклонения для предложения Б уже свидетельствует о том, что оно более рискованное. Но сравнивать стандартное отклонение мы можем, потому что математические ожидания вероятностных распределений в нашем примере для обоих предложений были одинаковыми. А если бы они были разными В таком случае нам и нужен критерий относительной дисперсии, которым является коэффициент вариации.

2.3.1. Риск для отдельного проекта Следует помнить, что степень риска для потоков денежных средств может меняться со временем. Другими словами, вероятностные распределения не обязательно одинаковы в разные периоды времени.

Изменение риска во времени показано на рис. 2.3 для гипотетического инвестиционного проекта. Распределения похожи на представленные на рис. 2.2, различие лишь в том, что они являются непрерывными, а не дискретными. Это значит, что результат движения денежных средств может быть определен для каждого возможного состояния экономики, поэтому на графике распределения представлены непрерывными линиями. Чем менее растянуто и чем выше распределение, тем меньше риск. Математическое ожидание каждого распределения соответствует пересечению пунктирной линии с осью денежного потока.

Можно видеть, что как математическое ожидание потоков денежных средств, так и дисперсия вероятностного распределения изменяются во времени. Чтобы количественно определить риск ожидаемого инвестиционного предложения, следует учесть этот факт.

01 2 3 Годы Рис. 2.Дерево вероятностей Один из методов оценки риска проектов – дерево вероятностей. Здесь мы точно определяем вероятные будущие потоки денежных средств проекта и их связи с результатами предыдущих периодов. Если проект приемлем в первом периоде, он может также оказаться приемлемым и в последующих периодах. Как правило, существует связь между тем, что происходит в одном периоде и тем, что происходит в следующем, хотя это не всегда имеет место. Если предполагается, что потоки денежных средств независимы в разных периодах, то мы просто определяем вероятностное распределение результатов движения денежных средств для каждого периода. Если существует связь, мы должны принять в расчет эту зависимость. При помощи дерева вероятностей мы попробуем представить будущие события так, как они могут происходить. Рис. 2.4 показывает дерево вероятностей для трех периодов. Мы видим, что если результат в периоде 1 – верхняя ветвь, то она приводит к другому множеству возможных результатов в периоде 2, чем это было бы, если бы Денежные потоки, у.е.

результат выражался нижней ветвью в периоде 1. То же самое происходит при переходе от периода 2 к периоду 3.Поэтому в момент 0 дерево вероятностей представляет нашу лучшую оценку того, что, вероятно, будет иметь место в будущем, в зависимости от того, что происходило прежде.

Для каждой из ветвей на графике потоки 0 2 Период денежных средств вдобавок "привязаны" к вероятности.

Рис. 2.В периоде 1 результат движения денежных средств не зависит от того, что было прежде. Поэтому вероятности, связанные с двумя ветвями, носят название исходных вероятностей. Для периодов 2 и 3 результаты движения денежных средств зависят от предыдущих исходов. Поэтому вероятности, соответствующие этим периодам, называются условными. Наконец, совместная вероятность – вероятность появления определенной последовательности потоков денежных средств.

Например, одна последовательность представляет собой верхние ветви в каждом из трех периодов. Совместная вероятность есть результат исходной вероятности и двух условных вероятностей для верхних ветвей.

Например, мы анализировали инвестиции в проект стоимостью 240 у.е.

в период 0, которые, как ожидалось, вызовут возможные потоки денежных средств, показанные в табл. 2.4. Зная потоки денежных средств – 100 у.е. в периоде 1, при вероятности 0,40, мы можем сказать, что потоки в периоде 2 составят 400 у.е. и 100 у.е., а при вероятности 0,20 – 200 у.е. Совместная вероятность – 100 у.е. потоков денежных средств в периоде 1 и – 400 у.е.

потоков денежных средств в периоде 2 равна произведению исходной и условной вероятностей:.

0,25 0,40 = 0,Аналогично совместная вероятность –100 у.е. потоков денежных средств в периоде 1 и –100 у.е. в периоде 2 равна ; а вероятность 0,25 0,40 = 0,–100 у.е. потоков денежных средств в периоде 1 и 200 у.е. в периоде равна. Если потоки денежных средств в периоде 1 со0,25 0,20 = 0,ставляют 200 у.е., то при вероятности 0,20 потоки в периоде 2 составят у.е., при вероятности 0,60 – 200 у.е. и при вероятности 0,20 – 50 у.е. Таким же способом, как и прежде, мы можем определить совместные вероятности для данной ветви: 0,10; 0,30; 0,10 соответственно. Аналогично совместные вероятности могут быть найдены для последней ветви, где чистые потоки денежных средств в периоде 1 составили 500 у.е.

Денежные потоки Таблица 2.Возможные потоки денежных средств Период 1 Период Исходная Чистые потоки Условная Чистые потоки Совместная вероятность денежных средств, вероятность денежных средств, вероятность Р(1) у.е. Р(2/1) у.е. Р(1,2) 0,40 –400 0,0,25 –100 0,40 –100 0,0,20 200 0,0,20 –100 0,0,50 200 0,60 200 0,0,20 500 0,0,20 200 0,0,25 500 0,40 500 0,0,40 800 0,Стартовые (исходные) инвестиции в момент 0 = 240 у.е.

Дисконтирование по текущей стоимости Для дисконтирования различных потоков денежных средств по их текущей стоимости следует применять безрисковую ставку. Эта ставка используется потому, что мы пытаемся изолировать изменение стоимости денег во времени путем дисконтирования, и, кроме того, это дает возможность анализировать риск отдельно. Включение премии за риск в ставку дисконтирования приведет к двойному счету в нашей оценке.

Мы компенсировали бы риск в процессе дисконтирования, а затем еще раз – при анализе дисперсии распределения возможных чистых текущих стоимостей. По этой причине мы используем безрисковую ставку для целей дисконтирования.

Для нашего примера математическое ожидание вероятностного распределения возможных чистых текущих стоимостей z NPV =-240 + Px, (2.1) NPVx x=где NPVx– чистая текущая стоимость для серии х чистых потоков денежных средств за все периоды; Px– вероятность появления этой серии; – общее число серий потоков денежных средств.

В нашем примере имеется девять возможных серий чистых потоков денежных средств, т. е. z = 9. Серия 1 представлена потоком денежных средств –100 у.е. в периоде 1 и –400 у.е. в периоде 2. Вероятность события (возможности движения денежных средств) равна 0,10. Если безрисковая ставка равна 8%, чистая текущая стоимость данной серии составляет 100 NPV1 =-240 - - =-676 у.е.

1,1,Серия 2 представлена потоком денежных средств –100 у.е. в периоде 1 и 100 у.е. в периоде 2. Чистая текущая стоимость этой серии составляет 100 NPV1 =-240 - - =-418 у.е.

1,1,Таким же образом может быть определена чистая текущая стоимость для остальных семи серий потока денежных средств. Если перемножить данные стоимости на соответствующие им вероятности событий (последняя графа табл. 2.4) и полученные произведения просуммировать, то мы получим математическое ожидание чистой текущей стоимости вероятностного распределения возможных чистых текущих стоимостей. Вычисления представлены в табл. 2.5, откуда видим, что математическое ожидание чистой текущей стоимости равно 116 у.е.

Таблица 2.Расчет математического ожидания чистой текущей стоимости Серии потоков Чистая текущая стоимость, Вероятность Математическое денежных средств у.е. события ожидание (1) (2) (3) (2) (3) = (4) 1 –676 0,10 –2 –418 0,10 –3 –161 0,05 –4 –141 0,10 –5 117 0,30 6 374 0,10 7 394 0,05 8 652 0,10 9 909 0,10 Средняя взвешенная = Расчет стандартного отклонения Стандартное отклонение вероятностного распределения возможных чистых текущих стоимостей может быть определено по формуле z = - NVP)2, (2.2) (NPVx x=где NPVx – чистая текущая стоимость для серии х чистых потоков денежных средств за все периоды; Px – вероятность появления этой серии; – общее число серий потоков денежных средств.

Стандартное отклонение для нашей задачи = [0,10(-676 -116)2 + 0,10(-418 -116)2 + 0,05(-161-116)2 + +0,10(-141-116)2 + 0,30(117 -116)2 + 0,10(374 -116)2 + +0,05(394 -116)2 + 0,10(652 -116)2 + 0,10(909 -116)2] = = 197,277 = 444 у.е.

Наш проект имеет математическое ожидание чистой текущей стоимости, равное 116 у.е., и стандартное отклонение, равное 444 у.е. Математический расчет стандартного отклонения осуществим в простейших случаях, он не предназначен для сложных ситуаций. В нашем примере можно прибегнуть к упрощению, чтобы получить приблизительное стандартное отклонение. Техника данного метода изложена в подп.

2.3.3 данной главы, где рассматривается модель Херца для оценки рисковых инвестиций.

Математическое ожидание и стандартное отклонение вероятностного распределения возможных чистых текущих стоимостей, определенные при помощи дерева вероятностей или другими методами, дают нам значительный объем информации, необходимой для оценки риска инвестиционного проекта. Если вероятностное распределение – приблизительно нормальное, мы можем рассчитать вероятность проекта при условии, что чистая текущая стоимость более или менее точно определена. Вероятность находится путем определения площади, лежащей под кривой влево или вправо от определенной точки процента. Продолжая нашу предыдущую иллюстрацию, предположим, будто мы хотим определить вероятность того, что чистая текущая стоимость будет равна нулю или больше нуля. Чтобы найти данную вероятность, мы сначала вычислим разницу между 0 и математическим ожиданием чистой текущей стоимости проекта. В нашем примере эта разница равна –155 у.е., затем пронормируем эту разницу путем ее деления на стандартное отклонение возможных чистых текущих стоимостей X - NPV S =, (2.3) где X – результат, в котором мы заинтересованы; – математичесNPV кое ожидание чистой текущей стоимости; – стандартное отклонение вероятностного распределения.

В нашем случае S = (0 -116) / 444 = -0,26.

Полученный результат говорит о том, что нулевая чистая текущая стоимость находится на расстоянии 0,26 стандартного отклонения левее от математического ожидания вероятностного распределения возможных чистых текущих стоимостей.

Для определения вероятности того, что чистая текущая стоимость проекта будет меньше нуля, мы должны обратиться к таблице нормального распределения. Видим, что с вероятностью 0,4013 результат наблюдения будет находиться менее чем на –0,25 стандартного отклонения от математического ожидания данного распределения; с вероятностью 0,3831 – менее чем на –0,30 стандартного отклонения от математического ожидания. Интерполируя, мы найдем, что существует приблизительно 40-процентная вероятность того, что чистая текущая стоимость будет меньше нуля. Отсюда с вероятность 60% чистая текущая стоимость проекта будет больше нуля. При нормальном распределении 68% распределения попадают в область, ограниченную одним стандартным отклонением в ту и другую сторону от математического ожидания. То есть мы знаем, что с вероятностью 2/3 чистая текущая стоимость предложения будет находиться в пределах 116 – 444 = –328 у.е. и 116 + 444 = 560 у.е. Выражая отклонение от математического ожидания в стандартных отклонениях, мы можем определить вероятность того, что чистая текущая стоимость инвестиционного проекта будет больше или меньше определенной величины.

Полученные значения свидетельствует о том, что дисперсия возможных результатов для проекта довольно большая. С вероятностью 40% можно сказать, что чистая текущая стоимость будет меньше нуля, и примерно с вероятностью 1/6 можно сказать, что она будет равна –328 у.е.

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 18 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.