WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |   ...   | 76 |

Решение Рассчитаем сначала современную величину имеющегося анну­ итета (которая и представляет собой величину долга на началь­ ный период).

По формуле (7.5) получаем А = 5 000 [1 - (1 + 0,04)-10]/0,04 = 40554,5 (ам. долл.).

Далее для изменившегося P найдем коэффициент приведения аннуитета по той же формуле:

ain = AfP = 40554,5 ам. долл./ 7500 ам. долл. = 5,4.

x Используя таблицу 4 Приложения 2 найдем значение W1, более всего подходящее данному коэффициенту при процентной ставке 4%, округляя его в меньшую сторону: W1 = 6. Поскольку значение W1 найдено приближенно, необходимо рассчитать современное значение нового аннуитета:

A = 7 500 [1 - (1 + 6,04)"6]/0,04 = 39 316 (ам. долл.).

x Если величины платежей изменяться не могут, недостающая сумма AQ = 40 554,5 — 39 316 = 1238,5 (ам. долл.) должна быть вы­ плачена кредитору сразу. (Пример, когда в такой ситуации кор­ ректируются величины платежей, рассматривается в конце этого раздела).

5. Начало выплаты задолженности при заданной процентной ставке г может быть отсрочено:

с а) при сохранении размера платежа;

б) при сохранении срока выплаты.

Очевидно, что в первом случае должен увеличиться срок ан­ нуитета, а во втором — величина платежа.

Обозначим через W0 период отсрочки. Тогда на момент начала выплаты, сумма долга A, которая должна являться современной x величиной нового аннуитета, составит по формуле сложного про­ цента:

Отсюда получаем уравнение эквивалентности:

Далее поступаем аналогично рассмотренным ранее случаям. В первом варианте находим значение п± продолжительности нового аннуитета при заданном значении P1 = Р(п{ будет найдено при­ ближенно, поэтому потребуется выплата компенсирующей сум­ мы, см. пример 28). Во втором — величину платежа P1 при Ai1 = = п - Ai.

6. В некоторых случаях может потребоваться объединение не­ скольких аннуитетов в один (консолидация аннуитетов). При этом объединяемые аннуитеты могут быть любыми, а в искомом объединяющем аннуитете один из параметров неизвестен при всех остальных заданных.

Пример Два аннуитета с параметрами:

1) величина платежа —- 2 000 ам. долл., процентная ставка — 5% годовых, срок — 12 лет;

2) величина платежа — 3 500 ам. долл., процентная ставка — 6% годовых, срок — 10 лет;

требуется заменить одним — со сроком 10 лет и процентной став­ кой 6% годовых.

Определить величину нового платежа.

Решение Найдем сначала общую современную величину двух аннуите­ тов. По формуле (7.5) имеем Далее по формуле (7.7) находим величину нового платежа:

Нам остается теперь рассмотреть важное практическое прило­ жение теории аннуитетов — составление различных вариантов (планов) погашения задолженности. При составлении плана по­ гашения интерес представляют размеры периодических платежей заемщика — выплаты процентов и выплаты по погашению основной суммы долга — при различных условиях погашения (та­ кие платежи носят название срочных уплат).

Основных вариантов погашения задолженности — пять:

1. Займы без обязательного погашения, по которым постоянно выплачиваются проценты. Задача в данном случае заключается в нахождении размера выплачиваемой суммы P при заданной про­ центной ставке /. Мы имеем здесь случай вечного аннуитета. Раз­ мер платежа определяется по формуле (7.15), из которой получаем 2. Погашение долга в один срок Если заемщик должен вернуть всю сумму долга в конце срока, целесообразным бывает создание погасительного (амортизацион­ ного) фонда, для чего периодически вносятся определенные сум­ мы, на которые начисляются проценты.

Если процентная ставка, под которую вносятся средства, не превышает размеров ставки, под ко­ торую выдается заем, создание погасительного фонда не имеет смысла. Выгоднее сразу расплачиваться этими сум­ мами с кредитором.

Введем обозначения:

— основная сумма долга (без процентов);

— ставка процента по займу;

— процент по займу;

— размер взноса в погасительный фонд;

— ставка, по которой начисляются проценты на взносы в фонд;

— величина срочной уплаты;

— срок займа.

Найдем величину срочной уплаты У и ее составляющих (Y = = /+/).

По определению / = D i.

c Сумма, накопленная в погасительном фонде за п лет, т. е. нара­ щенная сумма аннуитета с параметрами % п, g, должна составить величину R По формуле (7.2) получаем Отсюда Значит, в данном случае величина срочной уплаты определяет­ ся формулой:

(7.23) Если проценты не выплачиваются, а присоединяются к основ­ ной сумме долга, то срочная уплата будет состоять только из взносов в погасительный фонд.

Общая сумма долга составит по формуле (3.1) величину откуда получаем 3. Погашение долга равными суммами Пусть долг погашается в течение п лет равными суммами, а про­ центы периодически выплачиваются. Тогда на погашение посто­ янно идут платежи размером D/n, а процентные выплаты ежегод­ но сокращаются, так как уменьшается основная сумма долга.



Обозначим — сумма долга после к-го года:

— процентная выплата за к-й год.

Тогда На конец второго года получаем Для определения размера срочной уплаты и процентного пла­ тежа после к-го года получаем На конец срока, т. е. л-го года имеем Видно, что самые большие суммы приходится платить в начале периода погашения, что может в большинстве случаев расцени­ ваться как недостаток этого метода погашения задолженности.

4. Погашение долга с использованием постоянных срочных уплат Пусть займ величиной Д выданный под сложную годовую про­ центную ставку погашается в течение п лет равными срочными уплатами Y= I + P. Понятно, что со временем составляющая / (проценты по займу) будет уменьшаться, так как уменьшается основная сумма задолженности. Соответственно, составляющая P (сумма, идущая на погашение займа) будет увеличиваться.

Выведем формулы для расчета суммы процентных денег и сум­ мы на погашение долга на конец к-то года.

Периодическая выплата постоянной суммы Y при заданной процентной ставке i в течение п лет является аннуитетом с соот­ c ветствующими параметрами.

Поэтому величина срочной уплаты определяется по формуле (7.9):

— коэффициент приведения ренты).

Обозначив через Р сумму, идущую на погашение займа в кон­ к це к-го года, запишем следующие соотношения:

Подставляя выражения 3) и 4) в соотношение 2), получим Перепишем выражение 1), используя последнее равенство:

откуда получаем Так как Следовательно, Отсюда Далее получаем Когда займ погашается постоянными срочными уплатами, их величина может быть заранее задана, и тогда возникает задача оп­ ределения периода погашения долга п. Вопрос определения срока аннуитета рассматривался ранее в связи с конверсией аннуите­ тов. При этом для выполнения принципа эквивалентности необходимо было доплатить недостающую сумму (возникающую в ре­ зультате округления полученного л) в начале периода погашения.

Вместо этого возможно также небольшое изменение размера срочных уплат.

Рассмотрим для прояснения ситуации пример.

Пример Займ в размере 12 000 ам. долл. выдан под сложную процент­ ную ставку 4% годовых. Определить продолжительность периода погашения, если заемщик собирается выплачивать ежегодно по 1 500 ам. долл. Составить график погашения долга.

Решение Рассчитаем сначала коэффициент приведения аннуитета я4 п :

12 000 ам. долл./1 500 ам. долл. = 8.

По таблице определим приблизительно п, соответствующее данному коэффициенту и процентной ставке 4%. Так как п = соответствует коэффициент а4 10 = 8,11, возьмем п = 9 и рассчи­ таем для этого срока и современной величины А = 12 000 ам.

долл. новое значение платежа P. Используем для этого формулу (7.8), находя значение коэффициента приведения по таблице Приложения 2.

12 000 ам. долл./7,435 = 1 614 ам. долл.

Составим теперь график погашения долга, в который должны входить процентные выплаты, расходы по погашению долга, ос­ таток долга на конец каждого года.

Используя выведенные ранее формулы, находим искомые зна­ чения:

Сумма долга на Срочная Проценты Выплата на Год конец года уплата (Y) погашение (P) \ (I) 1 10 866,0 1613,99 480,0 1133,2 9 686,67 1613,99 434,64 1179,3 8 460,2 1613,99 387,47 1226,4 7 184,6 1613,99 338,4 1275,5 5 858,0 1613,99 287,4 1326,6 4 478,32 1613,99 234,32 1379,7 3 043,5 1613,99 179,13 1434,8 1 551,23 1613,99 121,73 1492,0 1613,99 62,04 1551,1 Небольшое расхождение в остатке долга на конец 8-го года и сумме последней выплаты на погашение происходит из-за округ­ ления некоторых значений предыдущих сумм.

5. Погашение долга с использованием переменных срочных уплат Во многих случаях предпочтительнее оказывается погашение долга с использованием переменных срочных уплат. Срочные уп­ латы могут изменяться в соответствии с некоторой закономерно­ стью или задаваться графиком погашения.

Рассмотрим случай, когда последовательность срочных уплат представляет собой арифметическую профессию с заданной раз­ ницей А. При сроке погашения п и процентной ставке i, исполь­ c зуя формулу (7.20), находим величину срочной уплаты P:

исходя из которой разрабатывается план погашения долга.

6. На практике часто встречается случай, когда заранее задают­ ся размеры всех срочных уплат, кроме последней, определяемой величиной остатка долга на начало последнего периода (см. при­ мер 31).

Пример Долг в размере 10 000 ам. долл. требуется погасить за пять лет, размеры срочных уплат в первые четыре года — 2 000 ам. долл., 2 000 ам. долл., 4 000 ам. долл., 1 500 ам. долл. Найти величину последней уплаты, если процентная ставка составляет 5% годо­ вых.





Решение, Разработаем план погашения долга.

Сумма долга на Срочная Проценты Выплата на | Год конец года уплата (Y) погашение (P) (D 1 8 500,0 2 000,0 500,0 1 500,2 6 925,0 2 000,0 425,0 1 575,3 3 271,25 4 000,0 346,25 3 653,4 1 934,81 1 500,0 163,56 1 336,0 2 031,55 96,74 1 934,81 1 Проценты за первый год составляют Отсюда ш Для последующих лет получаем Итак, величина последней уплаты должна составить 2 031,ам. долл.

2.8. Дивиденды и проценты по ценным бумагам.

Доходность операций с ценными бумагами Вложения денежного капитала в различного вида ценные бу­ маги (долевое участие в предприятиях, займы другим предпри­ ятиям под векселя или иные долговые обязательства) — важней­ ший элемент развивающейся рыночной экономики. Цель финан­ совых вложений — получение дохода и/или сохранение капитала от обесценения в условиях инфляции. Следовательно, необходи­ мо уметь правильно оценивать реальный доход по разного вида ценным бумагам. Рассмотрим сначала виды существующих в на­ стоящее время ценных бумаг и определим разницу в начислении процентов и возможностях получения дохода по ним.

В зависимости от формы предоставления капитала и способа выплаты дохода ценные бумаги делятся на долговые и долевые.

Долговые ценные бумаги (купонные облигации, сертификаты, векселя) обычно имеют фиксированную процентную ставку и являются обязательством выплатить полную сумму долга с про­ центами на определенную дату в будущем; по дисконтным обли­ гациям доход представляет собой скидку с номинала.

Долевые ценные бумаги (акции) представляют собой непосред­ ственную долю держателя в реальной собственности и обеспечи­ вают получение дивиденда в неограниченное время.

Все прочие виды ценных бумаг являются производными от долговых либо долевых ценных бумаг и закрепляют право вла­ дельца на покупку или продажу акций и долговых обязательств.

Это опционы, фьючерсные контракты и др.

Расчет дохода по различным видам ценных бумаг производится на основе полученных в предыдущих параграфах формул. Приве­ дем несколько примеров.

Пример Депозитный сертификат номиналом 200 000 руб. выдан 14 мая с погашением 8 декабря под 18% годовых. Определить сумму до­ хода при начислении точных и обыкновенных процентов и сумму погашения долгового обязательства.

Решение Находим сначала точное (17 дней мая + 30 дней июня + день июля + 31 день августа + 30 дней сентября + 31 день октяб­ ря ++ 30 дней ноября + 8 дней декабря = 208 дней) и прибли­ женное (17 дней мая + 30-6 + 8 дней декабря = 205 дней) число дней займа.

Для точных процентов из формул (1.2) и (1.3) получаем /=0,18-200 000 • 208/365=20 515 (руб.).

По формуле (1.4) вычисляем сумму погашения обязательства:

S = 200 000 + 20 515 = 220 515 (руб.).

Для случая обыкновенных процентов возможно несколько способов расчета:

a)d=208, K = 360. Тогда / = 0,18 • 200 000 • 208/360 = 20 800 (руб.);

S = 200 000 + 20 800 = 220 800 (руб.).

б) а = 205, K = 365. Тогда / = 0,18 200 000 - 205/365 = 20 219 (руб.);

S = 200 000 + 20 219 = 220 219 (руб.).

в) а = 205, K= 360. Тогда /= 0,18 200 000 • 205/360 = 20 500 (руб.);

S = 200 000 + 20 500 = 220 500 (руб.).

Пример Платежное обязательство выдано н^ три месяца под 25% годо­ вых с погашением по 20 000 000 руб. (год високосный). Опреде­ лить доход владельца данного платежного обязательства.

Решение Сначала по формуле дисконтирования (1.9) определим теку­ щую стоимость платежного обязательства:

P = 20 000 000 /(I + 0,25 /4) = 18 823 529 (руб.).

Доход владельца определяется из формулы (1.4):

/ = 20 000 000 - 18 823 529 = 1 176 471 (руб.).

Пример Сертификат номинальной стоимостью 28 000 000 руб. выдан на 200 дней (год високосный) с погашением по 30 000 000 руб. Опре­ делить доходность сертификата в виде простой ставки ссудного процента.

Решение Для определения процентной ставки используем формулу (1.13):

I =[(30 000 000 - 28 000 000)/28 000 000] 366/200 = 0,13 = 13%.

При покупке (учете) векселей и других денежных обязательств до наступления срока платежа используются учетные ставки. То­ гда доход, начисленный по учетной ставке (дисконт), становится доходом лица, купившего вексель, когда наступает срок оплаты.

Владелец векселя получает указанную в нем сумму за вычетом дисконта, но зато раньше срока.

Пример Вексель выдан на сумму 10 000 000 руб. со сроком оплаты 21 июля. Владелец векселя учел его в банке 5 июля по учетной ставке 20%. Определить доход банка и сумму, полученную по век­ селю (K= 365).

Решение Срок от даты учета до даты погашения составляет 21 — 5 = дней.

По формуле (2.3) получаем D = 0,2 • 10 000 000 • 16/365 = 87 671 (руб.).

Соответственно, по формуле (2.4), сумма, полученная по век­ селю:

P = 10 000 000 - 87 671 = 9 912 329 (руб.).

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |   ...   | 76 |





© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.