WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 76 |

Рис. 1. Наращение вложенной суммы по простой и сложной процентным ставкам (/ = i = 30%) c Если срок ссуды п в годах не является целым числом, множи­ тель наращения определяют по выражению:

(3.3) где целое число лет;

оставшаяся дробная часть года.

На практике в данном случае часто предпочитают пользоваться формулой (3.1) с соответствующим нецелым показателем степе­ ни. Но нужно иметь в виду, что с точки зрения сущности начис­ ления процентов этот способ является приблизительным, и по­ грешность при вычислениях будет тем больше, чем больше значения входящих в формулу величин. Наибольшее расхождение мы получим при п = 1/2, как раз в том случае, когда очень удобно ь применить формулу (3.1), ведь на всех калькуляторах есть опера­ ция извлечения квадратного корня (т. е. возведения в степень 1/2). Следует учитывать, что приблизительный метод дает мень­ ший, чем в действительности, результат.

Таким образом, в современной ситуации, когда номиналы де­ нежных сумм достаточно велики, от этого метода лучше отказать­ ся вовсе. В конце раздела будет приведен пример, позволяющий оценить разницу в результатах при двух способах вычисления множителя наращения по формулам (3.2) и (3.3).

Предположим теперь, что уровень ставки сложных процентов будет разным на различных интервалах начисления.

Пусть /I1, п2,..., nN — продолжительность интервалов начис­ ления в годах; Z1, /2, •••, /# — годовые ставки процентов, соответст­ вующие данным интервалам. Тогда наращенная сумма в конце первого интервала начисления в соответствии с формулой (1.7), составит В конце второго интервала:

и т. д.

При N интервалах начисления наращенная сумма в конце все­ го периода начисления составит (3.4) Если все интервалы начисления одинаковы (как и бывает обычно на практике) и ставка сложных процентов одна и та же, формула (3.4) принимает вид:

(3.5) Начисление сложных процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номи­ нальная ставка процентов/ — годовая ставка, по которой опреде­ ляется величина ставки процентов, применяемая на каждом ин­ тервале начисления.

При т равных интервалах начисления и номинальной про­ центной ставке j эта величина считается равной j/m.

Если срок ссуды составляет п лет, то, аналогично формуле (3.1), получаем выражение для определения наращенной суммы:

(3.6) где тп — общее число интервалов начисления за весь срок ссуды.

Если общее число интервалов начисления не является целым числом (тп — целое число интервалов начисления, /— часть ин­ тервала начисления), то выражение (3.6) принимает вид:

(3.7) Для целого числа периодов начисления используется формула сложных процентов (3.1), а для оставшейся части — формула про­ стых процентов (1.7).

В России в настоящее время наиболее распространенным яв­ ляется начисление процентов по полугодиям, поквартальное и ежемесячное (иногда интервалом начисления может являться и день). Такие проценты, начисляемые с определенной периодич­ ностью, называются дискретными.

В мировой практике часто применяется также непрерывное на­ числение сложных процентов (т. е. продолжительность интервала начисления стремится к нулю, а т — к бесконечности).

В этом случае для вычисления наращенной суммы служит сле­ дующее выражение:

(3.8) Для расчетов можно использовать известную в математике формулу:

где е = 2,71828...

Из этой формулы следует:

Тогда для наращенной суммы получаем (3.9) Здесь (3.10) Значения наращенной суммы S можно вычислять с помощью финансового калькулятора или находя значения е^п и других тре­ буемых величин в специальных таблицах.

Очевидно, что непрерывный способ начисления процентов да­ ет максимальную величину наращенной суммы при прочих рав­ ных условиях (т. е. при одинаковых n,j, P).

Аналогично случаю простых процентов полученные формулы можно преобразовывать, выражая одни величины через другие, в зависимости от того, что известно, а что требуется найти.

Так, из формулы (3.1) получаем (3.11) Напомним, что, как и в случае простых процентов, определе­ ние современной величины суммы S называется дисконтирова­ нием.

Коэффициент дисконтирования а является величиной, обрат­ ной коэффициенту наращения, т. е. Лнх-fl = 1.

Формула (3.11), а также соответствующие формулы для случая простых ставок ссудного процента и для учетных ставок дают лег­ ко понять, что текущий финансовый эквивалент будущей денеж­ ной суммы тем ниже, чем отдаленнее срок ее получения и чем выше норма доходности.

Также из формулы (3.1) имеем (3.12) Из формулы (3.6):

(3.13) Применяя операцию логарифмирования к обеим частям фор­ мулы (3.1), получаем (3.14) Подобным же образом из формулы (3.6) получаем формулу:

(3.15) Если нет специального калькулятора, значения логарифмов также находят по таблицам.

Существует несколько правил, позволяющих быстро рассчи­ тать срок удвоения первоначальной суммы для конкретной про­ центной ставки.

Правило 4(72»:

Правило «69* (более точное):

Здесь, однако, следует иметь в виду, что при выводе этих пра­ вил используются математические формулы, дающие верный ре­ зультат не для любых значений входящих в них величин. Напри­ мер, выражение \/х< х (х > 0) неверно при х < 1.

Данные правила дают весьма точный результат при небольших значениях /с(%). До /с(%) = 100(%) отклонения достаточно малы и ими можно пренебречь. При процентной ставке, равной, на­ пример, 120%, погрешность (для правила «69») составляет 5,2% (для правила «72» она будет больше) и растет с ростом /с. При этом срок удвоения, полученный по правилу «69», будет больше, чем в действительности, а по правилу «72» — меньше.

В качестве примера найдем срок удвоения капитала при годо­ вых ставках: а) 20% и б) 110% по формуле (3.14) и по правилам «69» и «72».

а) п = In 2/In 1,2 = 3,8 года, или п = 72/20 = 3,6 года, или п = 69/20 + 0,35 = 3,8 года;

б) п = In 2/In 2,1 = 0,93 года, или п = 72/110 = 0,65 года, или п = 69/110 + 0,35 = 0,98 года (разница с точным значени­ ем — 18 дней).

Следующие примеры иллюстрируют использование получен­ ных формул.

Пример Первоначальная вложенная сумма равна 200 000 руб. Опреде­ лить наращенную сумму через пять лет при использовании про­ стой и сложной ставок процентов в размере 28% годовых. Решить этот пример также для случаев, когда проценты начисляются по полугодиям, поквартально, непрерывно.

Решение По формуле (U) для простых процентных ставок имеем S = 200 000 (1 + 5 • 0,28) = 480 000 (руб.).

По формуле (3.1) для сложных процентов:

S = 200 000 (1 + 0,28)5 = 687 194,7 (руб.).

По формуле (3.6) для начисления по полугодиям:

S = 200 000 (1 + 0,14)10 = 741 444,18 (руб.).

Из той же формулы для поквартального начисления:

S = 200 000 (1 + 0,07)20 = 773 936,66 (руб.).

По формуле (3.9) для непрерывного начисления:

S = 200 000 е1'4 = 811 000 (руб.).

Пример Первоначальная сумма долга равна 50 000 000 руб. Определить наращенную сумму через 2,5 года, используя два способа начис­ ления сложных процентов по ставке 25% годовых.

Решение По формуле (3.3) получаем S = 50 000 000 (1 + 0,25)2 (1 + 0,125) = 87 890 625 (руб.).

Для второго способа используем формулу (3.1) с нецелым по­ казателем степени:

S = 50 000 000 (1 + 0,25)2'5 = 87 346 390 (руб.).

Отчетливо видно расхождение: при использовании приблизи­ тельного метода упущенная выгода могла бы составить около 550 000 руб.

Пример Определить современную (текущую, настоящую, приведенную) величину суммы 100 000 000 руб., выплачиваемую через три года, при использовании ставки сложных процентов 24% годовых.

Решение Воспользуемся формулой (3.11):

P = 100 000 000/(1 + 0,24)3 = 52 449 386 (руб.).

Пример За какой срок первоначальный капитал в 50 000 000 руб. увели­ чится до 200 000 000 руб., если:

а) на него будут начисляться сложные проценты по ставке 28% годовых;

б) проценты будут начисляться ежеквартально Решение По формулам (3.14) и (3.15) имеем:

а) п = 1п(200 000 000/50 000 000)/1п(1 + 0,28) = 5,6 года;

б) п = 1п(200 000 000/50 000 000)/4 In(I + 0,07) = 5,1 года.

Пример Какова должна быть сложная ставка ссудного процента, чтобы первоначальный капитал утроился за пять лет Решить пример также для случая начисления процентов по полугодиям.

Решение По формулам (3.12) и (3.13) вычисляем:

/с = 5Jb - 1 = 0,245 = 24,5%;

у = 2 (Ц/3 - 1) = 0,232 = 23,2%.

2.4. Сложные учетные ставки Рассмотрим теперь антисипативный способ начисления слож­ ных процентов.

Пусть d (%) — сложная годовая учетная ставка;

c d — относительная величина сложной учетной ставки;

c Ic у — коэффициент наращения для случая учетной ставки;

n / — номинальная годовая учетная ставка.

Тогда по прошествии первого года наращенная сумма S1 в со­ ответствии с формулой (2.5) составит Еще через год эта формула будет применяться уже к сумме S1:

и т. д., аналогично случаю сложных ставок ссудных процентов.

По прошествии п лет наращенная сумма составит (4.1) Отсюда для множителя наращения имеем (4.2) Сравнивая формулы (3.1) и (4.1), легко видеть, что при равен­ стве ссудного процента и учетной ставки наращение первона­ чальной суммы во втором случае (антисипативный метод) идет быстрее.

Поэтому в литературе часто можно встретить утверждение, что декурсивный метод начисления более выгоден для заемщика, а антисипативный — для кредитора. Это можно считать справедли­ вым лишь для небольших процентных ставок, когда расхождение не столь значительно (рис. 2). Но с ростом процентной ставки разница в величине наращенной суммы становится огромной (при этом она сама растет с ростом л), и сравнение двух методов с точки зрения выгодности утрачивает смысл. Представить себе эту разницу можно с помощью графика на рис. 3.

Рис. 2. Декурсивный (нижняя кривая) и антисипативный (верхняя кривая) способы начисления сложных процентов при *<%) =

Иначе величины P или S не будут иметь смысла, становясь беско­ нечными или даже отрицательными. Наращенная сумма S очень быстро увеличивается с ростом d, стремясь к бесконечности, ко­ гда d{%) приближается к 100%.

В следующем разделе рассмотрим, какие учетные ставки дают результаты, одинаковые с наиболее распространенными в насто­ ящее время ставками ссудных процентов.

Так же, как и при декурсивном способе, возможны различные варианты начисления антисипативных процентов (начисление за короткий — меньше года — интервал, начисление т раз в году и т. д.). Им будут соответствовать формулы, полученные аналогич­ ным образом.

Так, для периода начисления, не являющегося целым числом, имеем (4.3) При учетной ставке, изменяющейся в течение срока ссуды, на­ ращенная сумма превращается в (4.4) Здесь /I1, /I2,..., nN— продолжительность интервалов начисле­ ния в годах, d{, d2,..., dN — учетные ставки, соответствующие данным интервалам.

Для начисления процентов т раз в году формула имеет такой вид:

(4.5) или (4.6) При этом тп — целое число интервалов начисления за весь пе­ риод начисления, / — часть интервала начисления.

При непрерывном начислении процентов S рассчитывается по формуле:

(4.7) Из полученных формул путем преобразований получаем фор­ мулы для нахождения первоначальной суммы, срока начисления и величины учетной ставки:

(4.8) (4.9) (4.10) (4.11) (4.12) Мы рассмотрели различные способы начисления процентов. В заключение составим таблицу, дающую возможность наглядного представления результатов, получаемых при этих способах для одной и той же первоначальной суммы, одинаковых по величине процентных ставок и периодов начисления п.

Таблица 1. Величина наращенной суммы в зависимости от вида процентной ставки P = 10 000 ам. долл., величина процентной ставки — 10% Величина нара­ л=1 л = 3 л=щенной суммы Is=P(I + in) 11000 13 000 16 000 I \S= P(I + i)" 11000 13 310 17 \S= Pe>" 11052 13 499 18 \S= P/(\-dri) 11 111 14 286 25 \S= P/(\ -d)" 11 111 13 717 18 816 I Результаты вычислений, вероятно, будут неожиданными для большинства читателей — наибольший рост капитала мы имели бы в случае начисления процентов по простой учетной ставке.

(Следует заметить, что на практике она не применяется на дли­ тельных, больше года, периодах начисления.) Однако, для того, чтобы выбрать в каждом конкретном случае наиболее выгодную процентную ставку, не обязательно считать получаемые суммы. Можно воспользоваться эквивалентными про­ центными ставками, о которых пойдет речь в следующем разделе.

Пример Первоначальная сумма долга равняется 25 000 000 руб. Опреде­ лить величину наращенной суммы через три года при применении декурсивного и антисипативного способов начисления про­ центов. Годовая ставка — 25%.

Решение По формулам (3.1) и (4.1) получаем:

51 = 25 000 000 (1 + 0,25)3 = 48 828 125 (руб.);

52 = 25 000 000/(1 - 0,25)3 = 59 255 747 (руб.).

Данный пример наглядно демонстрирует ощутимость различия в результатах при разных способах начисления процентов. Разни­ ца составляет больше 10 млн. руб.

Пример Определить современное значение суммы в 120 000 000 руб., которая будет выплачена через два года, при использовании сложной учетной ставки 20% годовых.

Решение Производим расчет по формуле (4.8):

P = 120 000 000 (1 - 0,2)2 = 76 800 000 (руб.).

2.5. Эквивалентность процентных ставок различного типа Часто при расчетах, проводимых по различным финансовым операциям, возникает необходимость в определении эквивалент­ ных процентных ставок.

Эквивалентные процентные ставки — это такие процентные ставки разного вида, применение которых при одинаковых на­ чальных условиях дает одинаковые финансовые результаты.

Эквивалентные процентные ставки необходимо знать в случа­ ях, когда существует возможность выбора условий финансовой оперции и требуется инструмент для корректного сравнения раз­ личных процентных ставок.

Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 76 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.