WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 17 |

есть то, что в НМ-решении нельзя найти пару дележей, такую, что Определение 8 [67]: Коалиционной структурой для игры (N, v) один из них доминирует другой. Внешняя устойчивость НМназывается разбиение P множества игроков N, то есть множество решения состоит в том, что для произвольного дележа найдется непересекающихся коалиций, объединение которых дает N.

доминирующий его дележ, принадлежащий НМ-решению.

Определение 9 [67]: Конфигурацией для игры (N, v) и коалиционИтак, множество V E(v) называется НМ-решением, если ной структуры P называется такое распределение дохода 1. Не существует такой пары дележей x, yV, что x y ;

x = {(xi,i S); S P} между участниками коалиций, что 2. Если дележ y не принадлежит решению V, то найдется такой (12) xi = v(S), S P, дележ xV, что x y.

iS Между НМ-решениями и C-ядром существует определенная (13) xi v({i}), i N.

связь:

Здесь же определим понятия, которые понадобятся ниже при Теорема §13.3 [18]. Если в сбалансированной игре существует описании решений в угрозах и контругрозах.

НМ-решение, то оно содержит в себе C-ядро.

Определение 10 [67]: Индивидуально рациональной называется конфигурация x, в которой для всех игроков i N справедливо 24 игре единственный дележ из множества дележей, называемый неравенство xi v({i}) (все конфигурации, удовлетворяющие значением игры.

формуле (13), индивидуально рациональны по определению).

Этот подход к поиску решения разрабатывался, в основном, Определение 11 [67]: Если в конфигурации x = {(xi,i S); S P} аксиоматической теорией принятия решений [52, 74]. Его никакая подкоалиция T произвольной коалиции SP не может основной чертой является введение некоторых аксиом о механизгарантировать себе больший доход, чем она получает в ме принятия решения и поиск понятия решения, удовлетворяконфигурации x, (то есть если S P и T S xi v(T ) ), то ющего данным аксиомам.

iT Уже само определение оператора значения несет в себе такая конфигурация называется коалиционно рациональной.

черты вводимой аксиоматики. Так, по сути дела, априори предпоПонятно, что индивидуальная рациональность – более слабое лагается, что любая игра обязательно должна иметь решение, и условие, чем коалиционная рациональность.

решение это должно быть единственным. Дальнейшие аксиомы Определение 12 [67]: Конфигурация x = {(xi,i S); S P} домивводятся в основном в рамках основных направлений теории нирует конфигурацию y = {(yi,i T ); T R}, если найдется такая коллективного выбора – утилитаризма и эгалитаризма [52], прикоалиция SP, что xi > yi, i S. водя к разным концепциям решения – вектору Шепли и N-ядру соответственно.

Легко видеть, что при этом коалиция S не может принадлежать коалиционной структуре R.

Вектор Шепли На основании введенного таким образом отношения доминиОпределение 14 [52]: Оператор значения анонимен, если он рования можно определить решение по Нейману и Моргенштерну коммутирует с перестановкой агентов, то есть при перестановке аналогично тому, как это было сделано выше. Определенное тадвух игроков местами соответственно переместятся и компоким образом решение называется НМ-решением в конфигурациях.

ненты значения игры.

Известно, что любая игра пяти лиц имеет решение в конфиОпределение 15 [52]: Оператор значения маргинален, если его гурациях, а для игры n лиц можно сколь угодно мало изменить значение зависит только от маргинальных вкладов игроков в значение характеристической функции, чтобы игра имела решекоалиции, то есть от величин v(S {i}) - v(S).

ние в конфигурациях [67].

Определение 16 [52]: Носителем игры называется такая коалиция Значения игры S, что для любой коалиции T выполнено равенство Общими недостатками рассмотренных выше концепций v(T ) = v(T S).

решения является то, что, во-первых, решение существует не для Определение 17 [52]: Для двух игр N лиц с характеристическими всех игр, во-вторых, если оно существует, то в большинстве функциями u и v их суммой называется игра с характеристичеслучаев не является единственным. Однако в реальности ской функцией w(S) = u(S) + v(S) для любой коалиции S.

результатом игры является всегда единственное распределение Аксиомы Шепли [1]:

выигрыша между игроками. В этой связи представляется заман1. Если S – любой носитель игры v, то [v])i = v(S), где ( чивым построение концепции решения, которая всегда давало бы iS единственный дележ в качестве решения. Такие концепции ( [v])i – это компонента вектора Шепли, относящаяся к i-му решения называются операторами значения игры.

игроку.

Определение 13 [52]: Оператором значения игры называется 2. [v] анонимен.

отображение [v], ставящее в соответствие любой кооперативной 3. Для любой пары игр u и v выполнено [u + v]= [u] + [v].

26 Вектор Шепли – это оператор значения, задаваемый формулами:

Определение 18 [52]: Вектор x Rn превосходит вектор y Rn в s!(n - s -1)! смысле лексиминного порядка, если найдется такой индекс xi = (v(S {i}) - v(S)) [1].

i {1, …, n – 1}, что L(x)k = L(y)k при k < i, и L(x)i > L(y)i.

n! 0sn-1 SN \{i} |S|=s Определение 19 [52]: Поставим в соответствие каждому эффекТеорема 5.2 [52]. Аксиомы Шепли определяют единственный тивному распределению x в игре (N, v) такой вектор эксцессов оператор значения – вектор Шепли. N e(x) |2 \{N}|, что любой собственной коалиции S соответствует Существует и альтернативный набор аксиом, также единственным образом характеризующий вектор Шепли:

компонента этого вектора e(x)S и sup f2(~1 (x2), x2).

x x2XТеорема 5.1 [52]. Вектор Шепли – единственный анонимный и маргинальный оператор значения.

На множестве эффективных распределений существует единстДля содержательной интерпретации вектора Шепли испольвенное распределение, такое, что для любого эффективного расзуется так называемая арбитражная схема Шепли. Пусть игроки пределения x вектор e( ) предпочтительнее e(x) в смысле лексиминдоговорились собраться в определенном месте. Из-за случайных ного порядка. Это распределение называется N-ядром игры (N, v).

флуктуаций они будут прибывать в разное время. Будем В супераддитивных играх N-ядро удовлетворяет условию предполагать, что вероятность любого из n! порядков появления индивидуальной рациональности, то есть является дележом [52].

игроков одинакова и равна 1/n!. Предположим, что если игрок, По сути, механизм выбора N-ядра следующий. Для любого прибывая на место, находит там членов коалиции S и только их, эффективного распределения коалиции ранжируются по их то он получает выигрыш xi = v(S {i}) - v(S). Значение компосверхприбыли (разнице дохода коалиции в результате распределения дохода v(N) и значения характеристической функции v(S) для ненты вектора Шепли – это математическое ожидание выигрыша нее). На множестве эффективных распределений вводится отноигрока в условиях описанной рандомизированной схемы.

шение предпочтения, основанное на лексиминном порядке вектоОт оператора значения было бы логично ожидать, чтобы ров эксцессов, и определяем наилучшее в этом смысле справедливо (в соответствии с принятой аксиоматикой) распрераспределение. Более подробное рассмотрение аксиоматической деленный доход давал бы дележ, принадлежащий C-ядру (если характеризации N-ядра и его модификаций проведено в [52].

игра сбалансирована), то есть чтобы он был селектором ядра.

Одним из недостатков вектора Шепли является то, что он, в Решения в угрозах и контругрозах общем случае, селектором ядра не является [52].

Еще одна концепция решения, которая, подобно решениям в N-ядро конфигурациях, не ограничивается исследованием случая, когда реализуется максимальная коалиция, а рассматривает как Самый распространенный оператор значения, являющийся результат игры и случаи неполного согласия игроков, это селектором C-ядра – это N-ядро. Этот оператор реализует эгаликонцепция решений в угрозах и контругрозах, которая основана тарный подход в распределении кооперативной прибыли. Эгалина следующей идее.

таризм [52] считает справедливым распределение дохода, максиПусть, например, в процессе игры трех лиц образовалась мизирующее доход наименее удовлетворенного члена общества.

коалиционная структура {{1, 2}, {3}}, содержащая коалицию Для вектора x будем обозначать L(x) вектор, составленный из T = {1, 2}, в которую входят игроки с номерами 1 и 2. При компонент вектора x, ранжированных по возрастанию.

распределении дохода коалиции v({1, 2}) игроки 1 и 2 получают суммы x1 и x2 соответственно. Тогда, если игрок 1 недоволен таким распределением, то он может сказать своему партнеру, что 28 если его доля дохода не будет увеличена, то он сформирует То есть члены коалиции K, выдвигая угрозу против L, коалицию S = {1, 3}, где сможет рассчитывать на больший претендуют на то, что они смогут получить больше путем выигрыш. Если такая коалиция S может образоваться, то есть перехода к новой коалиционно рациональной конфигурации, и если игроку 3 выгодно сменить конфигурацию x на новую что их новые партнеры будут согласны с этим. Члены коалиции L конфигурацию y, то такое заявление может реально угрожать могут выдвинуть контругрозу, если они сумеют найти третью целостности коалиции T и называется угрозой игрока 1 игроку 2. коалиционно рациональную конфигурацию, в которой и они, и В свою очередь, игрок 2, интересы которого ущемлены подобным все их партнеры получат не меньше своей первоначальной доли.

сценарием, может заявить игроку 1, что в случае подобных его Если для этого членам L в качестве партнеров нужны некоторые действий он может предложить игроку 3 такую конфигурацию z партнеры коалиции K (или даже некоторые члены K) в коалиционной структуры {{1}, {2, 3}}, что игрок 3 получит конфигурации угрозы, то им дают не меньше, чем они получали в больший доход, чем в конфигурации y, а сам игрок 2 получит не коалиционно рациональной конфигурации угрозы.

меньше, чем в исходной конфигурации x. Таким образом, игрок 2 Определение 20 [67]: Конфигурация называется устойчивой, если выдвигает контругрозу, «защищающую» его долю x2. Для общего на каждую угрозу произвольной коалиции K против другой описания этой идеи введем следующие определения. коалиции L найдется контругроза коалиции L против коалиции K. Множество устойчивых конфигураций называется решением в Пусть = {T1,...,TN } – некоторая коалиционная структура, а угрозах и контругрозах.

K – произвольная коалиция. Тогда партнерами коалиции K назоИтак, в данном разделе кратко описаны основные концепции вем множество P(K,) = {i : i Tk, Tk K }. Таким образом, решения, используемые теорией кооперативных игр. Обзор позигрок i – партнер коалиции K в Г, если он входит в ту же воляет сделать вывод, что в настоящее время в теории кооперакоалицию, что и какой-либо из игроков K. Смысл этого опретивных игр не существует единой и общепризнанной концепции деления состоит в следующем: чтобы члены коалиции K могли решения игры.

получить свою долю в коалиционно рациональной конфигурации В связи с этим, для решения поставленной во введении зада(x, Г), им необходимо согласие только своих партнеров.

чи, а именно – формулировки модели коалиционного взаимодейПусть (x, Г) – коалиционно рациональная конфигурация в ствия участников ОС, необходимо осуществить выбор одной (или игре v, а K и L – непустые непересекающиеся подмножества нескольких, совместимых между собой в некотором смысле) коннекоторой коалиции Tk. Тогда угрозой коалиции K против цепции решения.

коалиции L называется коалиционно рациональная конфигурация 1.3. Выбор концепции решения кооперативной игры (y, U), удовлетворяющая условиям: P(K,U ) L =, x2 = x2 для Итак, на основе описанных выше концепций решения всех i K, yi xi для всех i P(K,U ).

кооперативной игры необходимо сформулировать модель Пусть (x, Г) – коалиционно рациональная конфигурация в коалиционного взаимодействия, в рамках которой можно было игре v, а K и L – те же коалиции, что и в предыдущем определебы в дальнейшем проводить анализ задач управления ОС.

нии. Если (y, U) – угроза коалиции K против коалиции L, то Основным критерием сравнения рассмотренных концепций контругрозой коалиции L против коалиции K называется решения должна быть именно их применимость к моделированию коалиционно рациональная конфигурация (z, V), удовлетворяюзадач управления. Задачи управления обуславливают определенщая условиям: K P(L,V ), zi xi для всех i P(L,V ), zi yi ные требования к используемому аппарату исследования.

для всех i P(L,V ) P(K,U ).

Среди таких требований можно выделить следующие:

1. Наличие понятной содержательной интерпретации решений;

30 2. Адекватность модели поведению участников ОС; экономического поведения. Также немаловажна и простота поис3. Существование решения для всех игр; ка решений. В таблице 1 столбцы, соответствующие этим крите4. Единственность решения для всех игр; риям, выделены серым цветом.

5. Простота поиска решения. Как уже отмечалось, C-ядро является самой «простой» конСравнение концепций решения по этим признакам представ- цепцией решения – оно имеет простую содержательную интерлено в Таблице 1. претацию. Действительно, если C-ядро не пусто, объединение в Как видно из таблицы, ни одна из строк не набирает положи- максимальную коалицию выгодно всем игрокам, если им предлательной оценки сразу по всем критериям. Таким образом, чтобы гается один из дележей ядра. Устойчивость такого решения основыбрать концепцию решения для использования, необходимо вывается на полном отсутствии возможностей угрозы со стороны установить приоритетные критерии, которым при выборе будет произвольной коалиции.

приписываться наибольший вес. Тем не менее, эта концепция имеет два серьезных недостатка.

Во-первых, C-ядро может быть очень обширным для некоторых Таблица 1. Сравнение концепций решения игр, и тогда непонятно – какой из дележей предпочтут игроки. В Концепция Содерж-я Адек- Сущест- Единст- Про- то же время, для многих игр C-ядро оказывается пустым и тогда Решения интерпр-я ватность вование венность стота поведение игроков с точки зрения этой концепции решения C-ядро + + - - + оказывается полностью неопределенным.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 17 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.