WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 17 |

Значит, возможно только объединение диктаторов и «не Коалиция максимизирует суммарную полезность распределением диктаторов». Легко показать, что при наличии некоторых полученного ресурса xT между своими участниками. При этом отношений между агентами, не охватываемых моделью максимум этой функции достигается при xT = rT, когда все члены (симпатии, антипатии), здесь возможно изменение равновесных суммы (111) одновременно достигают своего максимума. При заявок. При этом диктаторы повышают свои заявки на ресурс, а xT < rT целевая функция монотонно возрастает, при xT > rT – полученные излишки ресурса распределяют между агентами, монотонно убывает. Так как все члены суммы в (111) – вогнутые которым они симпатизируют (то есть между «не диктаторами», функции, то целевая функция коалиции также вогнута.

входящим с ними в одну коалицию). Более точно понять, кому Таким образом, на первом шаге построения характеристичепойдет ресурс, невозможно, так как (в рамках рассматриваемой ской функции необходимо определить количество ресурса xT, модели) выигрыш диктаторов от изменения заявки не изменяется.

получаемого коалицией T в равновесии. Агенты имеют полную В равновесии все заявки равны R, и смысл сообщения заявок информацию о целевых функциях друг друга, поэтому, как и при полностью пропадает. Если же мы считаем, что для изменения некооперативном рассмотрении, логично рассматривать заявки агентом необходимо, чтобы в новом равновесии его равновесие Нэша в качестве решения игры. Отличие же 106 заключается в том, что теперь будет рассматриваться не игра n (112) xT = xi = (sT, sN \T ).

i iT iT агентов, а игра коалиций.

Тогда по лемме о непрерывности [49] для коалиции T сущеДля построения получаемого коалицией количества ресурса xT ствует такая допустимая скалярная заявка uT(xT), что если все воспользуемся методом анализа множеств диктаторства [69].

участники коалиции заявят uT(xT), то коалиция получит столько Для упрощения построения будем рассматривать только же, сколько и при исходных заявках, то есть xT Для обоснования случай дефицита ресурса. Это не уменьшает общности рассмотреэтого утверждения положим сначала uT = 0. При этом, по ния, так как только при наличии дефицита распределение ресурса свойствам монотонных механизмов, ресурс в распоряжении нетривиально.

коалиции T не больше, чем при произвольной векторной заявке.

Затем положим uT = R (при этом ресурс не меньше, чем при xN\T, rN\T произвольной векторной заявке) и заметим, что рост заявки uT от 0 до R приводит к непрерывному росту xT(uT, sN\T).

(c,m) При таком варьировании заявок коалиции T коалиция N\T не (a,m) заинтересована в изменении своих заявок, так как получаемое ее (m,m) участниками суммарное количество ресурса не изменяется.

R Аналогично и их заявки можно заменить единой заявкой uN\T.

x(0,R) Таким образом, равновесие Нэша для этой игры будет совпадать с равновесием Нэша игры двух лиц со скалярными стратегиями uT, uN\T и целевыми функциями fT и fN\T. На рис. 7 приведены x(R,R) множества диктаторства игры двух коалиций. По осям (m,c) откладывается ресурс, получаемый коалициями T и N\T в x(0,0) x(R,0) зависимости от их заявок. Точки x(0, 0), x(0, R), x(R, 0), x(R, R) xT, rT (m,a) представляют собой ресурс, получаемый коалициями при их заявках (0, 0), (0, R) и т.д. Так как в условиях дефицита ресурса R механизм сбалансирован (то есть ресурс всегда распределяется Рис. 7. Множества диктаторства механизма распределения ресурса полностью), эти точки (как и остальные точки отображения множества заявок агентов на множество получаемых ими При построении характеристической функции коалиции T ресурсов), лежат на прямой xT + xN\T = R. Кроме того, из считается, что все остальные агенты объединились в коалицию монотонности механизма следует, что точка x(0, R) лежит левее и N\T. Тогда равновесие Нэша в игре коалиций T и N\T будет выше точки x(0, 0), а x(R, 0) – правее и ниже. Соответственно равновесием Нэша игры двух лиц с векторными стратегиями.

точка x(R, R) лежит на прямой между точками x(0, R) и x(R,0). На Перейдем от векторных стратегий коалиций к скалярным, восэтой же плоскости будем откладывать точки r=(rT, rN\T) пользовавшись непрерывностью и монотонностью механизма максимума целевых функций коалиций. Так как сумма точек распределения.

максимума превышает имеющееся количество ресурса R Пусть некоторая векторная заявка sT коалиции T при фикси(дефицит), то эта точка будет лежать правее и выше прямой рованной заявке sN \T их противников дает суммарное значение xT + xN\T=R. Можно показать [69], что если эта точка лежит в ресурса коалиции T области (a, m), то равновесные заявки агентов будут (0, R), и распределение ресурса будет x(0, R). В области (m, a) наоборот, 108 равновесные заявки будут (R, 0), а распределение ресурса – x(R, Аналогичный анализ можно провести и для немонотонного, 0). Если точка r лежит в области (m, c), то коалиция N\T будет разрывного и несбалансированного механизма, однако при этом диктатором и получит ресурс в необходимом ей объеме, тогда как процесс построения функции xT(rT) уже нельзя представить коалиция T в равновесии будет сообщать максимальную заявку. В наглядно на графике.

области же (c, m) наоборот, коалиция T будет диктатором, а N\T Отдельно заметим, что если механизм распределения ресурса будет сообщать максимальную заявку. В области (m, m) обладает «свойством нулевой заявки», то на рис. 8 останутся равновесные заявки обоих коалиций максимальны, и распределе- только зоны I, II и III, а если механизм анонимен, то ние ресурса между ними будет x(R, R). | S |, и рис. 8 будет выглядеть следующим образом:

x(R, R) = R N xT xT R R III III' x(R,0) II x(R,R) II III x(R,R) I I I' x(0,R) |S|R |S|R rT - r + rT |N| |N| Рис. 8. Зависимость получаемого в равновесии коалицией T Рис. 9. Зависимость xT от rT для анонимного механизма, ресурса xT от ее потребности в ресурсе rT обладающего «свойством нулевой заявки» Для фиксированного построим все сочетания оптимальных 3.4. Условия сбалансированности игры агентов точек целевых функций агентов. Все они лежат на прямой Кооперативная игра сбалансирована, если она имеет непусrT + rN\T =, которая проходит последовательно через все тое C-ядро. По определению, C-ядро есть набор таких распреописанные зоны (изображена жирной линией на рис. 7). Для делений дохода максимальной коалиции, которые дают каждой любой ее точки известны количества ресурса, получаемые возможной коалиции суммарный доход не меньший, чем эта коалициями в равновесии. График зависимости xT, от точки пика коалиция могла гарантировать себе сепаратными от остальных rT коалиции приведен на рис. 8. Теперь мы можем пользоваться агентов действиями. Если такие дележи возможны при заданной зависимостью xT = xT (rT,T ) для произвольной коалиции T.

характеристической функции игры, это значит, что максимальная Подставляя полученную зависимость в (111), получаем коалиция реализуема, то есть устойчива относительно претензий характеристическую функцию коалиции T в зависимости от ее произвольной коалиции агентов.

состава и положения оптимальной точки rT ее целевой функции.

Сбалансированность игры дает центру уверенность в том, (113) v(T ) = fi (yiT ), где yT = arg max fi (ziT (xT (rT,T ))).

что рациональные агенты образуют устойчивую максимальную iT zTZ (rT,T ) iT коалицию. В задаче распределения ресурса целевая функция 110 ( m, c ) ( m, m ) ( c, m ) ( m, c ) ( m, a ) ( m, m ) ( c, m ) ( a, m ) центра совпадает с целевой функцией максимальной коалиции, довольствоваться лишь высокой эффективностью, не получая при которая равна сумме целевых функций ее участников, то есть этом дополнительной информации о системе.

всех агентов. В данном случае можно говорить о полном Дело обстоит иначе, если объединение в коалицию требует совпадении целей центра и агентов, что создает идеальные дополнительных затрат от агентов, включающих помимо условия для управления, так как, максимизируя внутренним организационных расходов и транспортные расходы по распределением ресурса свою целевую функцию, максимальная перераспределению полученного от центра ресурса. Если коалиция максимизирует одновременно и целевую функцию предположить, что расходы по доставке ресурса при начальном центра. Эффективность механизма при этом максимальна, так как его распределении центр берет на себя, то любые перемещении агенты делят ресурс именно так, как разделил бы центр, если бы ресурса впоследствии уменьшают совокупный выигрыш точно знал целевые функции всех агентов. коалиции. Таким образом, при возрастании транспортных Значит, сбалансированность игры является положительным расходов в некоторый момент агенты предпочтут сообщать моментом с точки зрения управления ОС и говорит о возможно- центру такие заявки, чтобы централизованное распределение сти полного согласования интересов всех участников ОС, ресурса совпадало с оптимальным для коалиции распределением.

включая центр. Заметим, что только у максимальной коалиции есть возможности Коснемся вкратце неманипулируемости [61, 69] механизма такого снижения своих транспортных затрат, так как ей не распределения ресурса в сбалансированной игре. При реализации приходится манипулировать заявками в целях получения максимальной коалиции весь ресурс в объеме R попадает в ее большего количества ресурса. Однако эти заявки в общем случае распоряжение независимо от заявок агентов, и участники будут иметь мало общего с точками пика целевых функций коалиции могут реализовать произвольное внутреннее агентов.

распределение ресурса, независимое от исходного механизма. Это Тем не менее, в важном с практической точки зрения случае, распределение будет даже лучшим, так как основано на большей когда используется механизм пропорционального распределения информированности о производственных возможностях агентов ресурса, а производственные функции агентов имеют вид (тогда роль исходного механизма будет сводиться просто к fi (xi ) = ri f (xi / ri ) [12, 40] (обобщенные производственные фунстимулированию образования именно максимальной коалиции).

кции Кобба-Дугласа), оптимальные заявки максимальной коалиПоскольку заявки коалиции никак не влияют (в рамках ции будут по крайней мере пропорциональны реальным рассматриваемой модели) на их результирующие выигрыши, значениям точек пика агентов. Это обусловлено тем, что распрецентр может рассчитывать на честное сообщение точек пика деление пропорционально эффективностям ri является оптимальцелевых функций агентов только в рамках гипотезы благожеланым для агентов с подобными целевыми функциями [12].

тельности [11], когда при прочих равных условиях агенты Достаточное условие сбалансированности игры [25, 36] предпочитают говорить правду. Условие благожелательности, однако, является довольно сильным предположением, особенно с При некооперативном рассмотрении задачи распределения точки зрения повышения информированности центра при ресурса [8] для предсказания стратегий агентов не нужно знать большом числе повторений игры, что не всегда может быть точного вида их целевых функций – достаточно знать положение выгодным агентам. Действительно, получив информацию о их точек пика ri. Чтобы в кооперативной модели найти ситуации положении пиков, центр при следующем повторении игры может когда игра сбалансирована, необходимо более точное знание цеизменить механизм распределения, что может затронуть левых функций. На практике определение точного вида целевых интересы некоторых агентов, которые постараются этого не функций часто невозможно, поэтому интересным представляется допустить. Таким образом, центру, по-видимому, придется получение достаточных условий сбалансированности, основан112 ных на анализе только положения точек пика целевых функций Тогда, проводя замену порядка суммирования (аналогично агентов. процедуре, описанной в доказательстве леммы 4) в (117), получим Теорема 8. Если для любого сбалансированного покрытия (119) Y = yiT = T yiT = T T xT (rT,T ).

iN T:iT TD iT TD T xT (rT,T ) R, то кооперативная игра агентов сбалансирована.

TD То есть левая часть неравенства (118) представляет собой, по Доказательство. Подставляя в критерий сбалансированности сути, выигрыш максимальной коалиции N при некотором игры (11) значение характеристической функции (111), имеем: распределении между ее участниками ресурса в количестве Y.

При этом каждый агент получает ресурс в количестве Yi. В правой (114) fi (yiT ) fi (yiN ).

T T N iT iN части этого неравенства стоит выигрыш той же максимальной Заменим местами порядок суммирования так же, как это коалиции N при оптимальном распределении между ее было сделано при доказательстве леммы 4:

участниками ресурса в количестве R. Большее количество ресурса (115) fi ( yiN ).

fi (yiT ) в распоряжении максимальной коалиции дает большую T iN T:iT iN полезность в силу монотонного возрастания целевой функции при В этой сумме фигурируют только собственные коалиции.

росте количества распределяемого ресурса в условиях дефицита Для любой вогнутой функции fi справедливо свойство [42].

(то есть при R < ).

xk (k = 1...M ), > 0 : = 1 f (xk ) f ( xk ) k k k k Значит, если Y R, то, даже если распределение Yi окажется k k k оптимальным распределением ресурса между участниками По определению сбалансированного покрытия (10), = T максимальной коалиции, все равно будет выполняться T:iT неравенство fi (Yi ) fi (yiN ), так как правая часть есть для любого агента i, то есть для произвольного агента i можно iN iN записать:

результат оптимального распределения большего количества fi ( yiT ) fi ( yiT ).

T T ресурса R. Поскольку это неравенство – достаточное условие T:iT T:iT сбалансированности, то сбалансированность игры будет Отсюда следует, что неравенство (115) можно огрубить следовать и из условия Y R, то есть для любого сбалансированследующим образом:

ного покрытия (116) fi ( fi (yiT ) yiT ).

T T iN T:iT iN T:iT (120) T xT (rT,T ) R. • TD Если обозначить Если это условие не выполняется для некоторого набора Yi := yiT, T T:iT (профиля) точек пика ri целевых функций агентов, то найдутся такие вогнутые функции с максимумами в этих точках, что (117) Y := = Yi T yiT, iN iN T:iT построенная на этих целевых функциях игра будет несбалансирото достаточное условие сбалансированности примет вид:

ванной.

(118) fi (Yi ) fi (yiN ).

Покажем, что для механизма обладающего «свойством iN iN нулевой заявки» доказанное достаточное условие является Заметим, что, по определению yT, yiT = xT (rT,T ), то есть необходимым и достаточным, если производственные функции iT агентов имеют вид:

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 17 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.