WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 18 |

В качестве примера применения свойств скалярного произведения дадим новое до казательство теоремы косинусов. Для этого рассмотрим треугольник ABC с углом BAC = и попробуем выразить сторону BC через AB и AC. Так как скалярное про изведение вектора на себя равно квадрату его длины, то BC2 = BC ·BC; с другой стороны, если обозначить векторы AB = b и AC = c, Рис. 18.3.

то BC = c - b. Стало быть, BC2 = BC · BC = (c - b)(c - b) = = c · c - b · c - c · b + (-b) · (-b) = = c · c - 2b · c + b · b = = AC2 - 2b · c + AB2 = AC2 - 2AB · AC · cos + AB2, что и утверждает теорема косинусов.

Задача 18.2. Пусть a и b — векторы. Докажите формулу:

a · b = (|a + b|2 - |a|2 - |b|2).

Указание. Можно вывести эту формулу из теоремы косинусов и определения скалярного произведения, можно и раскрыть скобки в равенстве |a + b|2 = (a + b)(a + b).

Задача 18.3. Пусть ABC — равносторонний треугольник и O — его центр. Докажите, что для любой точки M верно равенство MA2 + MB2 + MC2 = OA2 + OB2 + OC2 + 3 · MO2.

Указание. Положите MO = x, OA = a, OB = b, OC = c и воспользуйтесь тем, что MA2 = MA·MA, MB2 = MB ·MB, MC2 = MC · MC.

Давайте теперь выясним, как вычислять скалярное произведение векторов, если даны их координаты. Пусть a = (a1; a2), b = (b1; b2). Рассмотрим на плоскости единичные координатные векторы e1 = (1; 0), e2 = (0; 1), о которых шла речь в предыдущем параграфе. Тогда a · b = (a1e1 + a2e2) · (b1e1 + b2e2) = = a1a2(e1 · e2) + a1b2(e1 · e2) + a2b1(e2 · e1) + a2b2(e2 · e2).

Однако же e1e2 = e2e1 = 0, так как e1 и e2 перпендикулярны;

с другой стороны, e1e1 = e2e2 = 1; с учетом этих равенств получаем, что a · b = a1b1 + a2b2. Запишем эту формулу еще раз:

Если a = (a1; a2), b = (b1; b2), то a · b = a1b1 + a2b2.

Частный случай этой формулы (когда a2 = 0) мы уже установили, когда доказывали распределительный закон для скалярного произведения.

Задача 18.4. Выведите формулу, выражающую скалярное произведение векторов через их координаты, используя результат задачи 18.2.

§ 19. Тригонометрические формулы сложения Формула, выражающая скалярное произведение векторов через их координаты, — это главное, ради чего мы занялись векторами.

Сейчас мы будем пожинать плоды нашей работы. Для начала давайте научимся на ходить синус и косинус суммы чисел, если известны синус и косинус слагаемых. Нам будет удобнее начать с формулы для коси нуса разности.

Итак, пусть нам даны числа и. Рассмотрим на тригонометрической окружности точку A, соответствующую числу, и точку B, соответствующую числу Рис. 19.1.

(рис. 19.1). Обозначим начало координат буквой Z и рассмотрим векторы a = ZA, b = ZB. Из определения тригонометрических функций ясно, что координаты векторов a и b таковы: a = (cos ; sin ); b = = (cos ; sin ). Стало быть, скалярное произведение векторов a и b равно, по формуле из предыдущего параграфа, a · b = cos cos + sin sin.

С другой стороны, длина каждого из векторов a и b равна единице, а угол между ними равен - (точнее говоря, ( - ) + 2n для некоторого целого n, так как число - может оказаться отрицательным или б ольшим ). Так или иначе косинус угла между векторами a и b равен cos(-), так что a·b = |a|·|b|·cos(-) = = cos( - ). Сопоставляя два выражения для a · b, получаем:

cos( - ) = cos cos + sin sin.

Чтобы получить теперь формулу для косинуса суммы, надо в формулу для cos( - ) подставить - вместо :

cos( + ) = cos( - (-)) = = cos cos(-) + sin sin(-) = = cos cos - sin sin.

Чтобы получить формулы для синуса суммы и разности, воспользуемся формулами приведения. Вот формула синуса суммы:

sin( + ) = cos(/2 - ( + )) = = cos((/2 - ) - ) = = cos(/2 - ) cos + sin(/2 - ) sin = = sin cos + cos sin.

Аналогичным способом получается и формула синуса разности.

Предлагаем вам вывести ее самостоятельно и свериться с ответом:

cos( + ) = cos cos - sin sin ;

cos( - ) = cos cos + sin sin ;

sin( + ) = sin cos + cos sin ;

sin( - ) = sin cos - cos sin.

Из формул для синуса и косинуса суммы и разности получаются и формулы для тангенса суммы и разности. Вот, например, как получается формула для тангенса суммы:

sin( + ) sin cos + cos sin tg( + ) = = = cos( + ) cos cos - sin sin (sin cos + cos sin )/ cos cos = = (cos cos - sin sin )/ cos cos (sin / cos ) + (sin / cos ) = = 1 - (sin sin / cos cos ) tg + tg =.

1 - tg tg Выпишем еще раз формулы для тангенса суммы и разности:

tg + tg tg - tg tg( + ) = ; tg( - ) =.

1 - tg tg 1 + tg tg В этой книжке уже шла речь о периодических, или колебательных, процессах. В простейшем и типичном случае колебательного процесса график зависимости величины (скажем, силы тока) от времени является синусоидой. Если отсчитывать время от того момента, когда значение величины равно нулю, то зависимость величины u, совершающей колебания, от времени t задается формулой u = A sin t, где A и — постоянные. В общем же случае, когда отсчет времени начинается через время после этого момента, вместо t в формулу надо будет подставить t +, и формула примет вид u = A sin (t + ) = A sin(t + ), где через мы обозначили величину. Постоянные, A и называются соответственно частотой, амплитудой и фазой, и этими тремя параметрами синусоидальное колебание полностью определяется.

Амплитуда показывает, какого наибольшего значения достигает величина в процессе колебаний, а фаза показывает, на каком этапе колебаний мы начали отсчет времени: если = 0, то в момент, когда u = 0, а если, допустим, = /2, то в момент, когда u достигло наибольшего значения.

Если преобразовать выражение u = A sin(t + ), то мы получим:

u = A cos sin t + A sin cos t = P sin t + Q cos t, где P = A cos, Q = A sin — постоянные. Учитывая, что вместо cos t можно написать sin(t+/2), получаем, что всякое синусоидальное колебание можно представить в виде суммы колебаний с фаза ми 0 и /2.

Задача 19.1. Если, и + — острые уг лы, то формулу для синуса суммы можно получить геометрически, без всяких векторов.

Рис. 19.2.

Сделайте это, руководствуясь рис. 19.2.

Задача 19.2. а) Докажите тождество sin( + ) tg + tg =.

cos cos б) Выведите аналогичное тождество для ctg + ctg.

Задача 19.3. Докажите тождество sin + sin( + 120) + sin( - 120) = 0.

Задача 19.4. Найдите значения следующих выражений:

а) cos 78 cos 18 + cos 12 cos 72;

б) cos 76 cos 31 + cos 14 cos 59;

tg 22 + tg в).

1 + tg 158 ctg Задача 19.5. а) Найдите sin, если sin(/6 + ) = 4/5, / /2.

б) Дано, что 0 < < < /2, tg + tg = 3, tg( + ) = -3.

Найдите.

Задача 19.6. Докажите тождества:

а) arctg 2 + arctg 3 = 3/4;

1 1 1 б) arctg + arctg + arctg + arctg = /4.

3 5 7 Задача 19.7. а) Докажите тождество sin(60 - ) + sin = sin(60 + ).

б) Равносторонний треугольник ABC вписан в окружность.

На дуге BC взята точка M. Докажите, что AM = BM + CM.

Задача 19.8. Расстояние между центрами двух пересекающихся окружностей равно a, общая хорда видна из центров под углами 90 и 60. Найдите радиусы окружностей.

Задача 19.9. Остроугольный треугольник вписан в окружность радиусом 10. Центр окружности удален от двух сторон треуголь ника на 2 5 и 8. Чему равно расстояние от центра окружности до третьей стороны треугольника Задача 19.10. а) На клетчатой бумаге нарисован треугольник, вершины которого расположены в узлах (точках пересечения линий).

Докажите, что тангенсы углов этого треугольника являются рациональными числами.

б) Докажите, что на клетчатой бумаге нельзя нарисовать равносторонний треугольник с вершинами в узлах.

Задача 19.11. Величина u зависит от времени t по закону u = P cos t + Q sin t.

Сдвинем начало отсчета на постоянную величину (то есть подставим t = t + и выразим u через t ); получится формула u = P cos t + Q sin t. Выразите P и Q через P, Q и число =.

Если говорить не о колебательных процессах, а просто о функциях, то эта задача говорит, что функция y = a sin x + b cos x после сдвига аргумента на постоянное число c (замены x на x + c) остается функцией того же вида, только с другими коэффициентами a и b. Существует и более простой пример такого рода: показательная функция y = kax Рис. 19.3.

после замены x на x + c остается функцией того же вида, только с другим коэффициентом k. Великий математик XVIII века Леонард Эйлер открыл, что эти два примера — фактически одно и то же. У нас пойдет об этом речь, когда мы займемся комплексными числами.

Задача 19.12. Точку M, имеющую координаты (x; y), повернули относительно начала координат на угол в положительном направлении. Получилась точка M (рис. 19.3). Каковы ее координаты Указание. Если e1 и e2 — единичные координатные векторы, то OM = xe1 + ye2; пусть e1 и e2 — векторы, полученные из eи e2 соответственно поворотом на угол (относительно начала координат в положительном направлении). Тогда, очевидно, OM = xe1 + ye2.

Формулы, выражающие координаты точки M через координаты точки M, совпадают с формулами из предыдущей задачи, выражающими P и Q через P и Q. Причины такого совпадения мы обсудим в следующем параграфе.

Задача 19.13. а) Пусть a и b — положительные числа, меньшие 1.

a + b Покажите, что arctg a + arctg b = arctg.

1 - ab б) Что нужно подставить вместо многоточия в правую часть равенства arcsin a + arcsin b = arcsin(...), чтобы получилось тождество, верное при всех достаточно малых положительных a и b § 20. Формула вспомогательного угла, или сложение колебаний равной частоты Повторить: § 13: Чему равно sin x + cos x В предыдущем параграфе мы с помощью формул сложения перешли от записи колебаний в виде u = A sin(t+) к записи u = = P cos t + Q sin t. Давайте теперь научимся переходить от второй записи к первой.

Если вместо t написать, то задача будет такова: дано выражение P sin + Q cos ; требуется найти такие числа A и, чтобы выполнялось тождество P sin +Q cos = A sin(+) (мы можем, очевидно, считать, что P и Q не равны одновременно нулю).

Предположим сначала, что нам удалось найти такое, что P = cos, Q = sin. Тогда наша задача решалась бы просто:

P sin + Q cos = cos sin + sin cos = sin( + ).

Однако в общем случае такого числа может и не существовать:

ведь если P = cos, Q = sin, то P + Q2 = cos2 + sin2 = 1, а сумма квадратов двух произвольных чисел P и Q равняться единице не обязана. Поэтому применим небольшой трюк, а именно умножим и поделим наше выражение на P + Q2:

P Q P sin +Q cos = P + Q2 sin + cos.

2 P + Q2 P + QЗаметим, что 2 P Q +.

2 P + Q2 P + Q Q P Стало быть, точка с координатами ; лежит на 2 P +Q2 P +Qтригонометрической окружности; пусть — какое-нибудь из соответствующих ей чисел. Тогда выполнены равенства P cos =, P + QQ sin =, P + Qи наше выражение запишется так:

P sin + Q cos = P + Q2(cos sin + sin cos ) = = P + Q2 sin( + ).

Итак, наша цель достигнута.

Если числа P и Q не равны 0, то P sin + Q cos = P + Q2 sin( + ), Q P где cos =, sin =.

2 P +Q2 P +QЭта формула называется формулой вспомогательного угла (вспомогательный угол — это ).

Если поделить друг на друга выражения для sin и cos, то получится равенство tg = Q/P, так что возникает искушение написать попросту = arctg(Q/P ). К сожалению, так писать можно только если P > 0:

в этом случае точка, соответствующая, лежит правее оси ординат, и поэтому ей соответствует число из интервала (-/2; /2), в котором лежат арктангенсы всех углов. Если P < 0, то это уже не так (тогда в качестве годится число arctg((Q/P ) + )).

Теперь мы можем довести до конца исследование функции y = sin x + cos x, начатое в § 13. Если преобразовать выражение sin x + cos x по нашему рецепту, то получится вот что:

1 sin x + cos x = 2 sin x + cos x = 2 = 2(sin x · cos(/4) + sin(/4) cos x) = 2 sin(x + /4).

а) б) Рис. 20.1.

Стало быть, график нашей функции — действительно синусоида;

заодно мы еще раз убеждаемся, что наибольшее значение выра жения sin x + cos x равно 2, а наименьшее значение равно - 2.

Задача 20.1. Постройте графики функций:

а) y = sin x + cos x; б) y = sin x - cos x;

в) y = sin x - 3 cos x.

Задача 20.2. Найдите множество значений функции y = sin x - 2 cos x.

Задача 20.3. Решите уравнения:

а) 6 cos x - 5 sin x = 8; б) sin x + cos x = 1.

Нашу формулу вспомогательного угла можно получить и геометрически. Напомним для начала, что вектор длины r, образующий с осью абсцисс угол, имеет координаты (r cos ; r sin ) (рис. 20.1а).

Теперь рассмотрим вектор OA, имеющий длину P и образующий с осью абсцисс угол, и перпендикулярный ему вектор OB, имеющий длину Q и образующий с осью абсцисс угол + /(рис. 20.1б). Тогда OA = (P cos ; P sin ), OB = (-Q sin ; Q cos ) (второе равенство вытекает из формул приведения sin( + /2) = = cos, cos( + /2) = - sin ), откуда OA + OB = (P cos - Q sin ; P sin + Q cos ).

Однако сумму можно найти и по правилу параллелограмма: OA+ + OB = OC, где точка C — вершина прямоугольника OACB. По теореме Пифагора имеем OC = OA2 + OB2 = P + Q2; если обозначить AOC через, то вектор OC образует с осью абсцисс угол +, откуда OC = P + Q2 cos( + ); P + Q2 sin( + ).

Приравнивая ординаты векторов OC и OA + OB, получаем, что P sin + Q cos = P + Q2 sin( + ).

Угол найдем также геометрически: из прямоугольного треугольника OAC видим, что tg = AC/OA = Q/P. Это также согласуется с предыдущими результатами (напомним, что числа P и Q положительны).

Задача 20.4. Если приравнять абсциссы векторов OC и OA + OB, то для положительных P и Q получится формула P cos - Q sin = P + Q2 cos( + ), где = arctg(Q/P ). Выведите эту формулу, не используя векторов.

Прием, которым мы воспользовались, позволяет придать геометрический смысл и другим тригонометрическим выкладкам.

Давайте, например, упростим выражение sin + sin( + 120) + +sin(-120) (задача 19.3 из предыдущего параграфа). Для этого отложим от начала координат следующие три вектора a, b и c, соответствующие точкам, - 120, - 120 тригонометрической окружности: a = (cos ; sin ), b = (cos( - 120); sin( - 120)), c = (cos( + 120); sin( + 120)) (рис. 20.2а). Если искать сумму a + b + c геометрически (откладывая b от конца a и т. д.), то ясно, что наша ломаная из трех звеньев замкнется в правильный треугольник, так что a + b + c = 0 (рис. 20.2б). Записывая же сумму a + b + c в координатах, получаем равенства sin + sin( + 120) + sin( - 120) = 0, cos + cos( + 120) + cos( - 120) = 0.

а) б) Рис. 20.2.

а) б) Рис. 20.3. Векторные диаграммы.

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 18 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.