WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 18 |

17.2. Сложение векторов С векторами можно производить различные действия, немного похожие на арифметические действия с числами. Сначала мы научимся векторы складывать.

Пусть нам даны векторы a и b. Чтобы их сложить, надо сделать следующее. Возьмем произвольную точку M и отложим от нее век тор MN = a; от конца этого вектора отложим вектор NP = b. Тогда суммой векторов a и b называется вектор MP. Сумма векторов a и b обозначается a + b — так же, как сумма чисел.

Вкратце наше определение сложения векРис. 17.8.

торов можно записать так:

Сложение вектоMN + NP = MP. ров.

Строго говоря, надо еще проверить, что a + b зависит только от самих векторов a и b. Предположим, мы начали построение не с точки M, а с другой точки M, построив N и P ; где гарантия, что полученный в результате вектор M P будет равен вектору MP Интуитивно ясно, что так оно и будет; вскоре мы увидим, как это доказать формально.

Координаты суммы векторов очень просто выражаются через координаты слагаемых. Именно, по определению координат направленного отрезка (вектора) мы можем записать:

(координаты a) = (координаты точки N) - (координаты точки M);

(координаты b) = (координаты точки P ) - (координаты точки N).

Сложим эти два равенства. При этом координаты точки N сократятся, и получится вот что:

(координаты a) + (координаты b) = = (координаты P ) - (координаты M).

В правой части стоит не что иное, как координаты вектора MP, то есть, по нашему определению, a + b. Стало быть, координаты вектора a + b являются суммами координат векторов a и b.

Запишем это же формулой:

Если a1 = (a1; a2), b = (b1; b2), то a + b = (a1 + b1; a2 + b2).

(a1; a2) + (b1; b2) = (a1 + b1; a2 + b2).

Эта формула показывает, в частности, что координаты вектора a + b зависят только от координат a и b, так что сумма векторов действительно не зависит от выбора точки M, использованной на рис. 17.8 для ее построения.

Итак, операция сложения векторов вполне соответствует своему названию: при сложении векторов координаты складываются.

Из этого следует также, что сложение векторов подчиняется тем же законам, что и сложение чисел:

а) б) Рис. 17.9.

a + b = b + a (переместительность, или коммутативность);

a + (b + c) = (a + b) + c (сочетательность, или ассоциативность);

a + 0 = a (свойство нуля).

Задача 17.6. Через точку O, лежащую внутри параллелограмма ABCD, проведены отрезки MN и P Q, параллельные его сторонам (рис. 17.9а). Если от точки A отложить вектор a = DN + + AP + MB + ON, где окажется конец этого вектора Задача 17.7. ABCDE — пятиугольник (рис. 17.9б). Найдите сумму векторов AD + CE + BC + DB.

Задача 17.8. На плоскости задана точка O. Изобразите множество таких точек C, что OC = a+b, где a и b — всевозможные векторы, для которых: а) |a| 1, |b| 2; б) |a| = 1, |b| = 2.

Если векторы a и b неколлинеарны (непа раллельны), то существует еще один способ построить их сумму. Именно, если отложить a и b от точки O так, что OA = a, OB = b, то a + b = OC, где C — такая точка, что OACB — параллелограмм (рис. 17.10). В са- мом деле, OB = AC, так что OC = OA + +AC = OA + AB = a+b, что и утверждалось.

В старых учебниках это построение называлось «сложение векторов по правилу параллеРис. 17.10.

лограмма».

17.3. Вычитание и умножение на число Раз уж мы умеем складывать векторы, давайте научимся их вычитать. Для начала найдем для вектора a = MN противоположный ему, то есть такой вектор -a, что a + (-a) = 0. Ясно, что таковым будет вектор NM: ведь MN + + NM = 0. Таким образом, чтобы получить вектор, противоположный данному, надо просто поменять местами его конец и начало. Координаты a = MN получают ся, если из координат N вычесть координаты M, а координаты -a = NM — если Рис. 17.11. OA из координат M вычесть координаты N.

- OB = BA.

Стало быть, координаты -a получаются из координат a переменой знака.

Что же до разности векторов a и b, то это, конечно, такой вектор c, что c + b = a (вычитание — действие, обратное сложению).

Разностью векторов a и b будет, очевидно, вектор a + (-b) = a - b;

ясно, что координаты разности векторов a и b равны разности их координат. Если векторы a = OA и b = OB отложены от одной точки O, то a - b = BA (так как OB + BA = OA). Подытожим:

Если a = MN, то -a = NM. a + (-a) = 0.

Если a = (a1; a2), то -a = (-a1; -a2).

a - b = a + (-b); (a - b) + b = a.

Если a = (a1; a2), b = (b1; b2), то a - b = (a1 - b1; a2 - b2).

Разобравшись со сложением и вычитанием, перейдем к умножению. Из начальной школы мы помним, что перемножить натуральные числа a и b — это найти сумму b слагаемых, каждое из которых равно a. Например, 5a = a + a + a + a + a.

Рассмотрим теперь не число a, но вектор a. Для него также будет 5a = a + a + a + a + a (рис. 17.12).

Мы видим, что вектор P Q = 5a коллинеарен (параллелен) вектору a, что его длина в 5 раз больше длины a, и направлен он в ту же сторону, что и a. Ясно также, что в качестве -5a разумно взять вектор, противоположный вектору 5a.

Рис. 17.12. MN = a; P Q = 5a.

Итак, мы описали, что значит умножить вектор на число 5 или -5. Число 5 можно заменить на любое другое. Тогда получится такое Определение. Произведением вектора a = 0 на число k = 0 назы вается такой вектор b, что:

1) |b| = |k| · |a|;

2) b коллинеарен a;

3) b направлен в ту же сторону, что и a, если k > 0, и в противоположную сторону, если k < 0.

Произведение вектора a на число k обозначается ka. По определению полагаем ka = 0, если k = 0 или a = 0.

Вектор ka этим определением задается однозначно: условие определяет его длину, а условия 2 и 3 — его направление.

Чтобы определить формально, что такое «коллинеарные векторы a и b направлены в одну сторону», отложим a = OA и b = OB от одной точки O. Тогда точки O, A и B окажутся на одной прямой, и мы скажем, что a и b направлены в противоположные стороны, если точка O лежит между A и B, и в одну сторону — в противном случае.

Посмотрим, как меняются координаты вектора при умножении его на число. Пусть мы умножаем вектор a = AB на число k, получая в результате ka = AB (рис. 17.13а для случая k > и рис. 17.13б для случая k < 0). Проведем через концы отрезков AB и AB1 прямые, параллельные осям координат. Получающиеся прямоугольные треугольники ABM и AB1M1 будут, очевидно, подобны. Коэффициент подобия равен, очевидно, AB1/AB = |k|;

поэтому катеты треугольника AB1M получаются из катетов треугольника ABM умножением на |k|, и, стало быть, координаты а) б) Рис. 17.13.

вектора ka получаются из координат вектора a умножением на k (знаки совпадают, если k > 0, и противоположны, если k < 0).

Запишем это формулой:

Если a = (a1; a2), то ka = (ka1; ka2).

Или: k(a1; a2) = (ka1; ka2).

Из этой формулы следует, что умножение вектора на число подчиняется законам, аналогичным законам умножения чисел:

k · (la) = (k · l)a (ассоциативность);

k(a + b) = ka + kb (распределительность, или дистрибутивность).

(k + l)a = ka + la Задача 17.9. Докажите эти законы для векторов.

Обратите внимание, что у нас два различных распределительных закона. Так получилось потому, что сомножители неравноправны: один из них — число, другой — вектор. Наверное, было бы более естественно, если бы мы определили умножение вектора на вектор так, чтобы произведение тоже было вектором. Однако же для векторов на плоскости вообще невозможно геометрически определить такое умножение (если мы хотим, чтобы выполнялся распределительный закон). В следующем параграфе мы определим умножение вектора на вектор, но результат при этом будет не вектором, а числом.

Действия над векторами позволяют дать еще одно объяснение того, что такое координаты вектора. Именно: пусть на плоскости задана система координат. Рассмотрим два вектора e1 и e2, имеющие длину 1, параллельные осям абсцисс и ординат и направленные в сторону положительного направления этих осей.

Эти векторы называются единичными координатными векторами. Очевидно, e1 = (1; 0), e2 = (0; 1). Рассмотрим теперь произвольный вектор a = (a1; a2) и запишем такие равенства: a = = (a1; a2) = (a1; 0) + (0; a2) = a1 · (1; 0) + a2 · (0; 1) = a1e1 + a2e2.

Как видите, координаты вектора a — это коэффициенты, с помощью которых он выражается через единичные координатные векторы.

Если e1 и e2 — единичные координатные векторы, то вектор a имеет координаты (a1; a2) тогда и только тогда, когда a = a1e1+ a2e2.

Задача 17.10. Даны векторы a = (2; -1), b = (1; -6), c = (2; 24).

Найдите такие числа x и y, что c = xa + yb.

17.4. О векторах в физике Многие физические величины представляют собой векторы. В самом деле, такие величины, как скорость, ускорение, сила, напряженность электрического поля, характеризуются не только величиной, но и направлением (если нам известно, из какого порта и с какой скоростью вышел корабль, то мы не можем сказать, где он будет через час, не зная направления его движения). Поэтому, например, скорость изображают в виде вектора, длина которого соответствует величине скорости, а направление указывает на направление движения. При этом формулировка многих физических законов использует те самые операции над векторами, которые мы только что определили. Простейший пример векторной величины в физике — это перемещение. Если тело, размерами и формой которого мы пренебрегаем, передвинулось из точки A в точку B, то говорят, что перемещение нашего тела равно вектору AB (если не пренебрегать размерами тела, то вектора для описания передвижения тела будет недостаточно: по дороге тело может и повернуться). Если тело сначала переместилось на вектор S1, а затем на вектор S2, то в результате его перемещение а) б) Рис. 17.14. Перемещение.

будет равно S1 + S2 (рис. 17.14а). Точно так же складываются перемещения, если тело совершило перемещение S относительно платформы, которая за это время сама совершила относительно нас перемещение S: перемещение тела относительно нас будет равно S1 + S2 (рис. 17.14б).

Так как скорость — это перемещение за единицу времени, то скорость тоже является векторной величиной. Свойство перемещений, изображенное на рис. 17.14б, для скоростей будет выглядеть так: если платформа движется относительно нас со скоростью u, а тело движется относительно платформы со скоростью v, то относительно нас тело движется со скоростью u + v.

Задача 17.11. а) Скорость течения реки равна 5 /, ширина реки равна 80, гребец в лодке развивает скорость 3 / относительно воды. Гребец переправляется через реку, направив лодку перпендикулярно берегу. На какое расстояние снесет лодку б*) Как надо направить лодку, чтобы ее снесло течением как можно меньше На какое расстояние ее при этом снесет Задача 17.12. Два корабля, находящиеся друг от друга на расстоянии 30 миль, движутся со скоростью 10 узлов1 (каждый) курсами, указанными на рис. 17.15. На какое наименьшее расстояние они сблизятся Через какое время после момента, показанного на рисунке, это произойдет Узел — единица скорости, равная одной морской миле в час.

Указание. Перейдите в систему отсчета, связанную с одним из кораблей, и вос- пользуйтесь тем, что если одно тело движется со скоростью v, другое — со скоростью w, то второе тело движется относительно первого со скоростью Рис. 17.15.

w - v.

§ 18. Скалярное произведение Пусть тело, на которое действует сила F, совершило перемещение s. При этом, как говорят физики, сила совершает работу. Если сила параллельна перемещению, работа рав на произведению силы и перемещения, взято му со знаком «+», если сила действует в на правлении перемещения, и со знаком «-» в противном случае. В общем случае, когда F и s образуют угол, работа равна |F |·|s| cos.

Это объясняется тем, что силу F можно предРис. 18.1. Работа.

ставить в виде суммы сил F и F, парал лельной и перпендикулярной направлению перемещения, причем работа равна работе силы F (сила, перпендикулярная пути, ра боты не совершает). Великий английский физик и математик прошлого века У. Гамильтон понял, что действие над векторами, используемое в определении работы, заслуживает названия умножения, так как для него, как и для умножения чисел, выполняется распределительный закон. Давайте и мы изучим эту операцию.

Определение. Скалярным произведением векторов a = 0, b = 0 называется число |a| · |b| cos, где — угол между векторами a и b (если a и b коллинеарны, то полага ют = 0, если векторы направлены в одну сторону, и =, если векторы направлены в противоположные стороны). Если один из векторов равен нулю, то скалярное Рис. 18.2.

произведение полагают равным нулю. Скалярное произведение векторов a и b обозначается a · b.

Основное свойство скалярного произведения — это распределительный закон a · (b + c) = a · b + a · c.

Чтобы его доказать, установим прежде всего следующий факт: если a = (a1; 0), где a1 > 0, b = (b1; b2), то a · b = a1 · b1. В самом деле, в этом случае |a| = a1, |b| · cos = b1 (рис. 18.2), так что требуемое равенство непосредственно следует из определения скалярного произведения; чтобы теперь доказать распределительный закон для векторов a, b и c, выберем систему координат так, чтобы вектор a был параллелен оси абсцисс и направлен в положительную сторону. В этой системе координат имеем a = (a1; 0), где a1 > 0; если в этой же системе b = (b1; b2), c = (c1; c2), то из доказанного нами факта вытекает:

b + c = (b1 + b2; c1 + c2), a · b = a1 · b1, a · c = a1 · c1, a · (b + c) = a1 · (b1 + c1), так что распределительный закон для векторов вытекает из обычного распределительного закона a1(b1 + c1) = a1 · b1 + a1 · c1.

Еще одно важное свойство скалярного умножения — это аналог сочетательного закона: если k — число, a и b — векторы, то (ka)·b = k(a · b) (в самом деле, если — угол между a и b, то обе части равенства равны k · |a| · |b| · cos ). Наконец, уж совсем очевидно, что для скалярного умножения выполняется переместительный закон: a · b = b · a. Подытожим:

a · b = b · a (a + b) · c = a · c + b · c a · (b + c) = a · b + a · c (ka) · b = k(a · b) Выписанные свойства показывают, что при проведении выкладок с участием скалярного произведения, как и при действиях с числами, можно раскрывать скобки, приводить подобные члены и так далее. Нужно только не забывать, что скалярное произведение векторов — не вектор, а число.

Задача 18.1. Пусть a и b — ненулевые векторы. В каких случаях a·b положительно, в каких — отрицательно, а в каких равно нулю Попробуем скалярно умножить вектор a на самого себя. Так как он образует сам с собой нулевой угол и cos 0 = 1, получаем, что скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его длины: a · a = |a|2.

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 18 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.