WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 18 |

§ 16. Теорема синусов Мы уже перевели на язык формул первый и третий признаки равенства треугольников (то есть мы можем восстановить все элементы треугольника, если даны две его стороны и угол между ними или же три стороны). А те перь давайте выясним, какие формулы будут соответствовать второму признаку равенства треугольников, кото рый гласит, что треугольник полностью определяется стороной и двумя прилежащими к ней углами. Чтобы получить соответствующие формулы, рассмотрим стороны a и b треугольРис. 16.1.

ника ABC, выходящие из вершины C, и опустим из C высоту h на сторону AB (рис. 16.1). Тогда h = a sin (независимо от того, будет ли чертеж таким, как на рисунке, или же угол будет тупым или прямым). Точно так же можно записать равенство h = b sin. Значит, a sin = b sin, откуда, деля обе части на sin sin, получаем равенство a/ sin = b/ sin :

отношение длины стороны к синусу противолежащего угла будет одно и то же для стороны a и стороны b. Однако то же самое можно сделать и для любых двух сторон, так что эти отношения для всех трех сторон равны. Получилось у нас вот что:

Теорема синусов (предварительная форма). Если в треугольнике против сторон a, b, c лежат углы,, соответственно, то a b c = =.

sin sin sin Задача 16.1. К стороне a треугольника прилегают углы и.

а) Найдите остальные стороны и углы этого треугольника.

б) Найдите площадь этого треугольника.

В теореме синусов в том виде, в каком мы ее получили, присутствует недоговоренность: мы узна- ли, что отношения сторон к синусам противолежащих им углов рав ны между собой, но чему же именно равны эти отношения Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним коечто из геометрии.

Рис. 16.2.

Для начала вспомним, как связаны угловая величина дуги и длина стягиваемой ей хорды. Из равнобедренного треугольника ABO на рис. 16.2 видно, что если дуга AB имеет угловую величину, а радиус окружности равен R, то AB = 2 · AM = 2R sin(/2) (на рисунке дуга занимает меньшую из двух половин окружности, но величина дуги, дополняющей дугу AB до полной окружности, равна = 360 - и sin(/2) = sin(180 - /2) = sin(/2), так что формулой можно пользоваться для любых дуг).

Второй факт из геометрии, который нам понадобится, — это теорема о вписанном угле. Пусть на окружности даны дуга AB и точка M, не лежащая на ней (рис. 16.3а), тогда угол AMB называется вписанным углом1, опирающимся на дугу AB. Теорема о Если дуга AB больше половины окружности, угол AMB становится больше 180, что нынешние учебники запрещают. Мы опускаем необходимые уточнения.

а) б) Рис. 16.3. Вписанные углы вписанном угле гласит, что величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается. Из этой теоремы следует, в частности, что величина угла AMB, где точки A, M, B лежат на одной окружности, полностью определяется дугой AB и не зависит от положения точки M вне дуги AB: на рис. 16.3б углы AM1B, AM2B, AM3B, и т. д. равны.

Теперь, когда в нашем распоряжении есть теорема о вписанном угле, мы можем наконец уточнить теорему синусов. Именно, рас смотрим треугольник ABC с углами A =, B =, C = и сторонами AB = c, BC = a, CA = b, и опишем около него окружность. Радиус окружности обозначим через R (рис. 16.4). В этой окружности длина хорды BC равна, как мы видели, 2R sin(BC /2) (имеРис. 16.4.

ется в виду та из дуг BC, что не содержит точки A). С другой стороны, по теореме о впи санном угле BC /2 =, хорда же BC — не что иное, как сторона a треугольника ABC. Подставляя эти равенства в выражение для BC, получаем, что a = 2R sin, или a/ sin = 2R. Проделывая то же для двух других сторон, получаем:

Если в треугольнике против сторон a, b, c лежат углы,, соответственно, то a b c = = = 2R, sin sin sin где R — радиус окружности, описанной около треугольника.

Задача 16.2. Треугольник с углами,, вписан в окружность радиуса R. Найдите площадь треугольника.

Задача 16.3. а) Докажите, что площадь треугольника со сторонами a, b и c, вписанного в окружность радиуса R, равна abc/4R.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами a, b и c.

Задача 16.4. Сторона квадрата ABCD равна a. Найдите радиус окружности, проходящей через вершину A, центр квадрата и середину стороны BC.

Задача 16.5. В окружности проведены три хорды, каждая из которых пересекается с двумя другими. Каждая из этих хорд делится точками пересечения на три отрезка равной длины a. Найдите радиус окружности.

Задача 16.6. Диагонали разбивают выпуклый четырехугольник на четыре треугольника. Радиусы окружностей, описанных около этих треугольников, одинаковы и равны R. Найдите стороны четырехугольника.

Задача 16.7. В круг радиуса R вписана трапеция, основания которой видны из центра под углами и. Найдите площадь трапеции.

Задача 16.8. Диагонали трапеции, вписанной в круг радиуса R, образуют с ее боковыми сторонами углы и 2. Найдите площадь трапеции.

Задача 16.9. Вокруг треугольника ABC со стороной BC = a и углами ABC = и ACB =, описана окружность. Биссектриса угла A пересекает окружность в точке K. Найдите длину хорды AK.

Задача 16.10. Внутри угла величины лежит точка, находящаяся на расстояниях m и n от сторон угла. Найдите ее расстояние от вершины угла.

Глава Формулы сложения и их следствия § 17. Векторы Повторить: Свойства параллелограмма.

Прямоугольные координаты на плоскости (по любому пособию).

17.1. Направленные отрезки и векторы Чтобы как следует понять важный раздел тригонометрии, которому посвящена эта глава, нам придется познакомиться с векторами на плоскости.

Давайте рассматривать отрезки, у которых один из концов назван началом отрезка (а другой так и остался концом). Такие отрезки называются направленными отрезками. На черРис. 17.1.

тежах их принято изображать в виде стрелки, идущей от начала отрезка к его концу. Направленный отрезок с началом A и концом B обозначается AB.

Главное отличие направленных отрезков от обычных — это то, в каких случаях два направленных отрезка считаются равными.

Рис. 17.2. AB = CD = KL.

Если обычные отрезки равны в том случае, когда равны их длины, то для направленных отрезков мы будем учитывать еще и направление. Именно:

Определение. Два направленных отрезка AB и CD считаются равными, если:

1) Равны их длины, т. е. AB = CD;

2) Прямые AB и CD параллельны (или совпадают), и при этом отрезки AB и CD направлены в одну сторону.

Например, на рис. 17.2 длины направленных отрезков AB, CD, KL, P Q и MN равны друг другу; тем не менее верны только равенства AB = CD = KL; направленные отрезки P Q и MN не равны друг другу и этим трем (P Q хоть и лежит на прямой, параллельной AB, но направлен в сторону, противоположную AB).

Если два направленных отрезка не лежат на одной прямой, то определение их равенства можно сформулировать и короче: AB = CD тогда и только тогда, когда четырехугольник ABDC является параллелограммом (рис 17.3).

(Вспомним, что четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда Рис. 17.3.

две его стороны равны и параллельны.) Обратите внимание, что вершины параллелограмма идут в порядке ABDC: именно это обеспечивает выполнение того условия, что направленные отрезки AB и CD направлены в одну сторону, а не в противоположные.

Рис. 17.4. Координаты направленного отрезка.

Предположим теперь, что на плоскости задана система координат. Тогда можно определить, что такое координаты направленного отрезка.

По определению, координаты направленного отрезка получаются, если из координат его конца вычесть координаты начала.

Точнее говоря:

Если точка A имеет координаты (x1; y1), а точка B имеет координаты (x2; y2), то координатами направленного отрезка AB называется пара чисел (x2 - x1; y2 - y1).

В частности, если начало направленного отрезка OA совпадает с началом координат, то координаты OA — не что иное, как координаты точки A.

Геометрически можно представить координаты направленного отрезка так: проведем через его концы прямые, параллельные осям координат (рис. 17.4). Вместе с самим отрезком эти прямые ограничивают прямоугольный треугольник (AMB на рисунке)1.

Координаты AB — это длины катетов этого треугольника, взятые с подходящим знаком («плюс», если при движении по катетам треугольника из начала в конец отрезка мы движемся в том же направлении, куда указывает соответствующая ось координат, и «минус» в противном случае).

Если отрезок AB параллелен одной из осей, этот «треугольник» будет отрезком.

Можно еще сказать, что координаты направленного отрезка AB — это числа, указывающие, на какие расстояния надо сдвинуться вдоль осей координат, чтобы попасть из A в B.

Главное свойство координат направленного отрезка таково:

Направленные отрезки равны тогда и только тогда, когда равны их координаты.

В самом деле, пусть AB = CD.

Достраивая эти отрезки до прямоугольных треугольников ABM и CDN (рис. 17.5), получаем, что в этих треугольниках AB = CD и BAM = DCN: первое равенство — это часть определения на правленных отрезков, второе вытекает из того, что AB CD и AM Рис. 17.5. CN. Значит, прямоугольные треугольники ABM и CDN равны, стало быть, равны и их катеты: AM = CN, BM = DN. А катеты этих треугольников — это и есть координаты AB и CD.

Напротив, пусть нам известно, что у направленных отрезков AB и CD равны координаты. Тогда, построив те же треугольники ABM и CDN, получаем, что они равны (по двум катетам), откуда BAM = DCN; так как AM CN, из этого следует, что AB CD.

С формальной точки зрения наши рассуждения неполны: например, из равенства направленных отрезков мы вывели лишь равенство абсолютных величин их координат, ни словом не обмолвившись об их знаках. Это — неизбежное следствие того, что в определении равенства направленных отрезков мы пользовались наглядно очевидным, но не определенным формально понятием «отрезки направлены в одну сторону». Давайте сформулируем определение равенства направленных отрезков более строго.

Для случая, когда отрезки AB и CD не лежат на одной прямой, равенство AB = CD равносильно, как мы знаем, тому, что ABDC — параллелограмм. Однако четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда его диагонали в точке пересечения делятся пополам, поэтому определение можно сформулировать еще и так:

AB = CD если и только если середины отрезков AD и BC совпадают.

В таком виде это определение имеет смысл и в том случае, когда точки A, B, C и D лежат на одной прямой; легко убедиться, что и в этом случае оно равносильно нашему исходному определению. Такое определение равенства направленных отрезков уже безупречно с формальной точки зрения.

С помощью нового определения легко дать аккуратное доказательство того факта, что равенство направленных отрезков равносильно равенству их координат. В самом деле, пусть точки A, B, C, D имеют координаты соответственно (a1; a2), (b1; b2), (c1; c2), (d1; d2). Так как координаты середины отрезка являются полусуммами координат его концов, равенство AB = CD (то есть, по нашему определению, совпадение середин отрезков AD и BC) равносильно равенствам a1 + d1 b1 + c= ;

2 a2 + d2 b2 + c=.

2 Эти равенства, в свою очередь, равносильны равенствам b1-a1 = d1-c1, b2 - a2 = d2 - c2, то есть равенству координат AB и CD.

Задача 17.1. Точки M, N и P таковы, что координаты направленного отрезка MN равны (10; -14), а координаты направленного отрезка NP равны (-6; 26). Найдите координаты направленного отрезка MP.

Задача 17.2. Докажите, длина направленного отрезка с коор что динатами (x; y) равна x2 + y2.

Указание. Воспользуйтесь формулой, выражающей расстояние между точками через их координаты, или теоремой Пифагора.

Задача 17.3. Рассмотрим на плоскости наряду с той системой координат OXY, которая у нас уже есть (назовем ее «системой координат номер 1»), еще две следующие системы координат (рис. 17.6):

Система координат номер 2. Ее начало координат O имеет в си стеме номер 1 координаты (3; 2), а оси O X и O Y параллельны осям OX и OY и направлены в ту же сторону.

Система координат номер 3. Ее начало координат совпадает с O, а оси OX и OY повернуты на 45 в положительном направлении относительно осей OX и OY.

Рис. 17.6.

Пусть направленный отрезок имеет в системе координат номер 1 координаты (1; 1). Каковы будут его координаты: а) в системе номер 2 б) в системе номер 3 Указание. Так как равные направленные отрезки имеют равные координаты, удобно рассмотреть равный данному направленный отрезок, имеющий своим началом точку O.

В тех случаях, когда все равно, о котором из равных направленных отрезков идет речь (в трех последних задачах так и было), направленные отрезки часто называют векторами.

Например, на рис. 17.2 изображено 5 различных направленных отрезков, но всего 3 различных вектора. Так как с точностью до равенства направленный отрезок полностью определяется координатами, для задания вектора не обязательно рисовать направленный отрезок: если есть система координат, то достаточно указать координаты, и вектор будет полностью определен.

В большинстве интересных задач, в которых встречаются направленные отрезки, равные направленные отрезки взаимозаменяемы, так что обычно предпочитают говорить именно о векторах, а не о направленных отрезках.

Наряду с векторами, соответствующими настоящим отрезкам, рассматривают еще «нулевой вектор», имеющий координаты (0; 0).

Можно сказать, что нулевой вектор соответствует любому из «отрезков» AA, у которого начало и конец совпадают. Как мы вскоре увидим, нулевой вектор играет роль, аналогичную роли нуля среди чисел.

Обозначать векторы можно так же, как и направленные отрезки; кроме того, иногда их обозначают латинскими буквами с черточкой сверху, например a. Можно также в качестве обозначения вектора записать его координаты: если вектор a имеет координаты (x; y), пишем a = (x; y). Нулевой вектор обозначается 0 или (0; 0). Длина вектора a обозначается |a|.

И еще одна особенность терминологии: если про направленные отрезки говорят «отрезки параллельны», то векторы принято называть не «параллельными», а «коллинеарными».

Задача 17.4. Рассмотрим всевозможные векторы вида AB, где A и B — две вершины данного правильного шестиугольника. Сколько среди этих векторов различных Если нам даны вектор a и точка M, то однозначно определена такая точка N, что a = MN (рис. 17.7). В этом случае говорят, что MN получен откладыванием вектора a от точки M. Говорят также, что точка N получена из точки M переносом на вектор a.

Рис. 17.7.

Задача 17.5. Каждую точку квадрата с вершинами (1; 0), (0; 1), (-1; 0), (0; -1) подвергли переносу на вектор (-1; 2). Изобразите фигуру, которая при этом получилась.

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 18 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.