WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 18 |

Если a = 1 или -1, этот ответ тоже верен, причем обе «серии» сливаются в одну (т. е. одни и те же значения x встречаются в обеих сериях); впрочем, при этих значениях a пользоваться общими формулами неразумно. Если же a > 1, то уравнение cos x = a не имеет решений.

Часто решения уравнения cos x = a кратко записывают так:

x = ± arccos a + 2n, n Z.

Эта запись имеет те же преимущества и недостатки, что и запись решений уравнения sin x = a с помощью одной формулы.

Для записи решений уравнения tg x = a используется функция арктангенс.

Определение. Арктангенсом числа a называется такое число x, что tg x = a и -/2 < x < /2. Это число обозначается arctg a.

Из рис. 10.8 видно, что arctg a существует и однозначно определен для всех a.

Теперь решим уравнение tg x = a. Очевидно, что оно имеет решения для всех a и что его решения — числа, соответствующие точкам M1 и M2 на рис. 10.8. Точке M1, очевидно, соответствуют числа arctg a+2n, а точке M2 — числа (arctg a+)+2k (если нанести на тригонометрическую окружность числа, отличающиеся на, то получатся две диаметрально противоположные точки).

Получилось две серии решений. Проще, однако, ответ записать так:

x = arctg a + n (n Z).

Рис. 10.8. Арктангенс.

Эта запись дает верный ответ, так как при четных n получается точка M1, а при нечетных — точка M2. Впрочем, это также следует из того, что период тангенса равен.

Осталось еще сказать про уравнение ctg x = a. Для его решения используется малоупотребительная функция арккотангенс.

Определение. Арккотангенсом числа a называется такое число x, что ctg x = a и 0 < x <. Обозначается это число arcctg a.

Арккотангенс, как и арктангенс, определен для всех чисел и связан с арктангенсом простой формулой (см. задачу 10.5).

Решениями уравнения ctg x = a являются числа x = arcctg a+ + n, n Z.

Задача 10.1. Заполните таблицы:

a -1 - 3/2 - 2/2 -1/2 0 1/2 2/2 3/2 arcsin a arccos a a 3 -1 - 3/3 0 3/3 1 arctg a arcctg a Задача 10.2. Решите уравнения:

1 а) sin 2x = ; б) sin 3x - = - ;

2 4 x в) sin x + = 3; г) sin + = ;

4 2 8 x 1 д) cos 2x + = - ; е) cos + = ;

4 2 3 12 2 ж) cos 2x - = - ; з) tg (x + /4) = - ;

3 2 x и) ctg = -1.

Задача 10.3. Решите уравнения:

1 - 5 1 + а) sin x = ; б) sin 2x = ;

x 2 в) cos + = 4 - 7; г) cos 2x - = ;

2 4 3 д) 6 sin2 x + sin x - 2 = 0; е) 3 sin2 x - 10 sin x + 3 = 0;

ж) 2 sin2 x = 4 sin x + cos2 x; з) 3 sin2 2x + cos2 2x + 5 cos 2x = 0;

и) cos2 y - 3 cos y + 1 = 0; к) tg x = 3;

л) ctg x = 4 - 7.

Задача 10.4. Решите уравнения:

а) arcsin x = /6; б) arcsin x = 5/6; в) arccos x = 5/6.

Задача 10.5. Докажите формулы:

а) arcsin(-x) = - arcsin x; б) arccos(-x) = - arccos x;

в) arctg(-x) = - arctg x; г) arctg x + arcctg x = /2.

Задача 10.6. Постройте графики функций:

а) y = sin(arcsin x); б) y = cos(arccos x);

в) y = arcsin(sin x); г) y = arccos(cos x);

д) y = tg(arctg x).

Задача 10.7. Упростите выражения:

17 а) arctg tg ; б) arcsin cos ;

5 в) arcctg(ctg 8); г) arccos(cos 11);

д) arccos(sin 11).

Задача 10.8. Для каких x верны равенства:

а) arcsin 1 - x2 = arccos x; б) arctg(1/x) = arcctg x;

в) arcsin(sin x) = x; г) sin(arcsin x) = x.

Задача 10.9. Упростите выражения:

2 а) sin arctg ; б) cos arctg ;

3 1 в) tg arcsin ; г) sin arccos - ;

д) cos arcsin -.

Задача 10.10. а) Сколько решений уравнения sin x = 1/2 лежит на отрезке [0; 10] б) Сколько решений уравнения sin x = 1/3 лежит на отрезке [0; 100] в) Найдите сумму решений уравнения sin x = - 2/2, лежащих на отрезке [0; 64].

§ 11. Графики синуса и косинуса Повторить: § 5. Часы, или современный взгляд на тригонометрию.

Построим график функции y = sin x. При этом нам опять пригодятся часы из § 5.

Если x = 0, то, очевидно, y = 0. Когда x воз растает от 0 до /2, число sin x возрастает от 0 до 1 (представьте себе, как меняется ордината конца стрелки на наших фирменных часах). Участок графика для x от 0 до /2 изображен на рис. 11.1.

При малых x наш график близок к прямой y = x: вспомним, что при малых x верна приближенная формула sin x x. Можно сказать, Рис. 11.1.

что прямая y = x касается кривой с уравнением y = sin x в точке (0; 0). Заметим также, что наш участок графика расположен ниже этой прямой: ведь для острых углов x, измеренных в радианах, выполнено неравенство sin x < x.

Чем ближе x к /2, тем более полого идет наша кривая. Это происходит потому, что проекция конца стрелки на ось ординат, колеблясь по отрезку [-1; 1], быстрее всего движется в середине отрезка и замедляется у его краев: мы это уже обсуждали в § 5.

а) б) Рис. 11.2.

Пусть далее, /2 x 2 (стрелка часов продолжает движение). Тогда, очевидно, ордината конца стрелки, то есть sin x, уменьшается от 1 до 0 — рис. 11.2а. Далее, когда x возрастает от до 3/2, sin x уменьшается от 0 до -1, а когда x возрастает от 3/2 до 2, возрастает от -1 до 0. Итак, участок графика для 0 x 2 готов (рис. 11.2б). Заметим, кстати, что кривая на рис 11.2а симметрична относительно вертикальной прямой с уравнением x = /2. В самом деле, формула приведения sin(/2 - x) = sin x показывает, что точки с абсциссами x и - x имеют на графике одинаковые ординаты и, стало быть, симметричны относительно прямой x = /2 (рис. 11.3а).

а) б) Рис. 11.3.

Задача 11.1. Запишите уравнение прямой, касающейся графика функции y = sin x в точке с координатами (; 0).

Кривая на рис 11.2б центрально симметрична относительно точки с координатами (; 0); это следует из другой формулы приведения: sin(2 - x) = - sin x (рис. 11.3б).

После того, как у нас есть участок графика функции y = sin x для 0 x 2, весь график строится уже просто. В самом деле, когда конец стрелки прошел путь 2, стрелка вернулась в исходное положение; при дальнейшем движении все будет повторяться. Значит, график будет состоять из таких же кусков, как на рис 11.2б. Окончательно график функции y = sin x выглядит так, как на рис. 11.4. При этом участки графика при x [2; 4], [4; 6], [-2; 0],... получаются из графика на рис 11.2б сдвигом вдоль оси абсцисс на 2, 4, -2,... соответственно. Это — просто переформулировка того факта, что функция y = sin x имеет период 2.

Рис. 11.4. y = sin x.

Рис. 11.5. y = cos x.

Теперь построим график функции y = cos x. Можно было бы строить его так же, как мы строили график синуса. Мы, однако, изберем другой путь, который позволит использовать уже имеющуюся у нас информацию.

Именно, воспользуемся формулой приведения sin(x + /2) = = cos x. Эту формулу можно понимать так: функция y = cos x принимает те же значения, что и функция y = sin x, но на /раньше. Например, функция y = sin x принимает значение 1 при x = /2, а функция y = cos x = sin(x + /2) принимает это же значение уже при x = 0. На графике это означает следующее: для каждой точки графика y = sin x есть точка графика y = cos x, у которой ордината та же, а абсцисса на /2 меньше (рис. 11.5).

Стало быть, график y = cos x получится, если сдвинуть график y = sin x вдоль оси абсцисс на /2 влево. На рис. 11.5 график функции y = cos x изображен сплошной кривой.

Итак, мы выяснили, что график косинуса получается преобразованием (сдвигом) из графика синуса. Случаи, когда график одной функции можно получить преобразованием из графика другой функции, интересны и сами по себе, поэтому скажем о них несколько слов.

Как, например, будет выглядеть график функции y = 2 sin x Ясно, что ординаты точек этого графика получаются из ординат соответствующих точек графика y = sin x умножением на 2, так что наш график изобразится сплошной кривой на рис. 11.6. Можно сказать, что график y = 2 sin x получается из графика y = sin x растяжением в два раза вдоль оси ординат.

Рис. 11.6. y = 2 sin x.

Рис. 11.7. y = sin 2x.

Теперь построим график функции y = sin 2x. Легко понять, Рис. 11.8. y = sin(2x + /3).

что функция y = sin 2x принимает те же самые значения, что и функция y = sin x, но при в два раза меньших значениях x.

Например, функция y = sin x принимает значение 1 при x = /2, а функция y = sin 2x — уже при x = /4; иными словами, чтобы получить график y = sin 2x, надо абсциссы всех точек графика y = sin x уменьшить в два раза, а ординаты оставить неизменными. То, что получается, изображено на рис. 11.7. Можно сказать, что график y = sin 2x (сплошная линия на рис. 11.7) получается из графика y = sin x сжатием в 2 раза к оси ординат.

Попробуем еще построить график функции y = sin(2x + /3).

Понятно, что он должен получаться каким-то преобразованием из графика y = sin 2x. На первый взгляд может показаться, что это преобразование — сдвиг влево на /3 вдоль оси абсцисс, по аналогии с тем, что изображено на рис. 11.5. Однако, если бы это было так, то вышло бы, например, что функция y = sin(2x + /3) принимает значение 1 при x = /4 - /3 = /12, что не соответствует действительности (проверьте!). Правильно рассуждать так: sin(2x + /3) = sin 2(x + /6), так что функция y = sin(2x+/3) принимает те же значения, что и функция y = sin 2x, но на /6 раньше. Так что сдвиг влево — не на /3, а на /(рис. 11.8).

Кривые, являющиеся графиками функций y = a sin bx, где a = 0, b = 0, называются синусоидами. Заметим, что кривой «ко синусоида» вводить не надо: как мы видели, график косинуса — это та же кривая, что и график синуса, только иначе расположенная относительно осей координат.

Задача 11.2. Каковы координаты точек, помеченных на рис. 11.вопросительными знаками Задача 11.3. Возьмите свечу, тонкий лист бумаги и острый нож.

Намотайте лист бумаги на свечу в несколько слоев и аккуратно разрежьте эту свечу вместе с бумагой наискосок ножом. Теперь разверните бумагу. Вы увидите, что она оказалась разрезанной по волнистой линии. Докажите, что эта волнистая линия является синусоидой.

Задача 11.4. Постройте графики функций:

а) y = - sin x; б) y = sin x - ; в) y = cos(x/2);

x г) y = 3 cos 2x; д) y = cos 2x - ; е) y = sin - ;

4 2 ж) y = sin(x).

Замечание. Если вы строите графики тригонометрических функций на клетчатой бумаге, удобно выбрать немного разные масштабы по осям, с тем чтобы на оси абсцисс числу соответствовало целое число клеточек. Например, часто выбирают такой масштаб:

по оси ординат отрезок длины 1 занимает две клеточки, по оси абсцисс отрезок длины занимает 6 клеточек.

Задача 11.5. Постройте графики функций:

а) y = arcsin x; б) y = arccos x.

Посмотрим, как выглядят на графиках уже известные нам решения уравнений sin x = a и cos x = a. Эти решения являются абсциссами точек пересечения горизонтальной прямой y = a с графиком функций y = sin x (соответственно y = cos x). На рис. 11.9, 11.10 хорошо видны две серии решений, получающихся при -1 < a < 1.

По графикам синуса и косинуса видно, на каких промежутках эти функции возрастают, а на каких убывают. Ясно, например, что функция y = sin x возрастает на отрезках [-/2; /2], Рис. 11.9.

Рис. 11.10.

а) б) Рис. 12.1.

[3/2; 5/2], [-5/2; -3/2],... — одним словом, на всех отрезках [-/2 + 2k; /2 + 2k], где k Z, и убывает на всех отрезках [/2 + 2n; 3/2 + 2n], где n Z.

Задача 11.6. На каких отрезках возрастает и на каких убывает функция y = cos x Задача 11.7. Сравните числа:

а) sin(17/5) и cos(-6/7); б) sin(11, 2) и cos(-6, 4);

в) cos(19/9) и cos(-13/6); г) sin 7 и cos 7;

д) cos 7 и cos 10.

Задача 11.8. Расположите в порядке возрастания: sin 1, cos 2, sin 3, cos 4, sin 5, cos 6.

§ 12. Графики тангенса и котангенса Построим график функции y = tg x. Для начала построим его для чисел x, принадлежащих интервалу (-/2; /2).

Если x = 0, то tg x = 0; когда x возрастает от 0 до /2, tg x тоже возрастает — это видно, если посмотреть на ось тангенсов (рис. 12.1а). Когда x приближается к /2, оставаясь меньше Рис. 12.2. y = tg x.

/2, значение tg x возрастает (точка M на рис. 12.1а убегает все выше) и может, очевидно, стать сколь угодно большим положительным числом. Аналогично, когда x убывает от 0 до -/2, tg x становится отрицательным числом, абсолютная величина которого возрастает при приближении x к -/2. При x = /2 или -/функция tg x не определена. Стало быть, график y = tg x при x (-/2; /2) выглядит примерно как на рис. 12.1б.

Вблизи начала координат наша кривая близка к прямой y = x x: ведь для малых острых углов верно приближенное равнество tg x x. Можно сказать, что прямая y = x касается графика функции y = tg x в начале координат. Кроме того, кривая на рис 12.1б симметрична относительно начала координат. Это объясняется тем, что функция y = tg x нечетная, то есть выполнено тождество tg(-x) = - tg x.

Чтобы построить график функции y = tg x для всех x, вспомним, что tg x — периодическая функция с периодом. Стало быть, чтобы получить полный график функции y = tg x, надо повторить бесконечно много раз кривую рис. 12.1б, перенося ее вдоль оси абсцисс на расстояния n, где n — целое число. Окончательный вид графика функции y = tg x — на рис. 12.2.

По графику мы в очередной раз видим, что функция y = tg x Рис. 12.3. y = ctg x.

не определена при x = /2 + n, n Z, то есть при тех x, при которых cos x = 0. Вертикальные прямые с уравнениями x = /2, 3/2,..., к которым приближаются ветви графика, называются асимптотами графика.

На том же рис. 12.2 мы изобразили решения уравнения tg x = a.

Построим график функции y = ctg x. Проще всего, воспользовавшись формулой приведения ctg x = tg(/2 - x), получить этот график из графика функции y = tg x с помощью преобразований наподобие тех, что мы описывали в предыдущем параграфе.

Результат — на рис. 12.Задача 12.1. График функции y = ctg x получается из графика функции y = tg x с помощью симметрии относительно некоторой прямой. Какой именно Есть ли другие прямые с указанным свойством Задача 12.2. Как выглядит уравнение прямой, касающейся графика функции y = ctg x в точке с координатами (/2; 0) Задача 12.3. Сравните числа: а) tg(13/11) и tg 3,3; б) tg 9,6 и ctg(-11,3).

Задача 12.4. Расположите числа в порядке возрастания: tg 1, tg 2, tg 3, tg 4, tg 5.

Задача 12.5. Постройте графики функций:

а) y = tg(2x - /3); б) y = 2 ctg(/4 - x).

Задача 12.6. Постройте графики функций:

а) y = arctg x; б) y = arcctg x.

Задача 12.7. Постройте график функции y = arctg x + arctg(1/x).

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 18 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.