WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 18 |

Кстати, тот факт, что sin 30 = 1/2, был известен вам и раньше, только в другом обличье, как теорема о том, что катет, лежащий против угла 30, равен половине гипотенузы.

Приведем более сложный пример явного вычисления синуса и косинуса. Для этого рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с углом при основании 72 и углом при вершине 36 (рис 3.4). Проведем в нем биссектрису AM угла A и подсчитаем все углы. Из рисунка видно, что треугольники ABM и ACM равнобедренные и AC = AM = BM.

Если AB = a, то AC = 2a cos 72, MC = 2AC cos 72 = 4a cos2 72;

так как AB = BC = MC + BM = MC + AC, получаем равенство a = 4a cos2 72 + 2a cos 72, откуда 4 cos2 72 + 2 cos 72 - 1 = 0. Решая это (квадратное) уравнение относительно cos 72, получаем 5 - cos 72 =.

Задача 3.5. Найдите cos 36.

Задача 3.6. В окружность вписан правильный пятиугольник. Найдите отношение его стороны к радиусу окружности.

Рис. 3.4.

Можно доказать, что правильный многоугольник можно построить с помощью циркуля и линейки в том и только в том случае, когда отношение его стороны к радиусу описанной окружности можно выразить через целые числа с помощью четырех арифметических действий и извлечения квадратного корня. Решив задачу 3.6, вы убедитесь, что правильный пятиугольник именно таков. В 1796 году К. Ф. Гаусс окончательно выяснил, какие правильные многоугольники можно построить с помощью циркуля и линейки (будущему великому немецкому математику было тогда всего 19 лет, и это была его первая научная работа).

В частности, оказалось, что циркулем и линейкой можно построить правильный 17-угольник.

Для практических применений нужны не столько точные формулы, сколько приближенные значения синусов и косинусов конкретных углов. В прежние времена эти значения собирались в таблицы тригонометрических функций. Пример такой таблицы мы приводим ниже. Излишне объяснять, что таблицы, использовавшиеся на практике, давали значения тригонометрических функций не через 5, а с гораздо более мелким шагом. В настоящее время тригонометрические таблицы утратили былое значение: чтобы приближенно найти синус или косинус угла, достаточно нажать несколько клавиш на микрокалькуляторе или компьютере.

Таблица 3.1. Значения тригонометрических функций (с двумя знаками после запятой) 5 10 15 20 25 30 35 sin 0,09 0,17 0,26 0,34 0,42 0,50 0,57 0,tg 0,09 0,18 0,27 0,36 0,47 0,58 0,70 0, 45 50 55 60 65 70 75 80 sin 0,71 0,77 0,82 0,87 0,91 0,94 0,97 0,98 0,tg 1,00 1,19 1,43 1,73 2,14 2,75 3,73 5,67 11,Задача 3.7. Найдите с помощью таблицы 3.1 приближенное значение cos 25.

§ 4. Малые углы В принципе можно было бы мерить все углы в радианах. На практике широко используется и градусное измерение углов, хотя с чисто математической точки зрения оно неестественно. При этом для малых углов используются специальные единицы: угловая минута и угловая секунда. Угловая минута — это 1/60 часть градуса; угловая секунда — это 1/60 часть угловой минуты. Если, например, величина угла равна 129 градусам, 34 минутам и секундам, то пишут: 12934 16.

Задача 4.1. На какой угол поворачивается за одну секунду:

а) часовая стрелка часов;

б) минутная стрелка часов;

в) секундная стрелка часов Решение. Разберем только пункт а). Полный оборот часовая стрелка делает за 12 часов; стало быть, за час она поворачивается на 360/12 = 30. Следовательно, за минуту часовая стрелка повернется на угол, в 60 раз меньший, чем за час, то есть на 30 ;

в свою очередь, за секунду стрелка повернется на угол, в 60 раз меньший, чем за минуту, то есть на 30. Теперь вы видите, насколько мала угловая секунда: ведь даже угол, в тридцать раз больший (поворот часовой стрелки за секунду времени) мы не в состоянии заметить.

Представление об угловой минуте дает такой факт: «разрешающая способность» человеческого глаза (при стопроцентном зрении и хорошем освещении) равна примерно одной угловой минуте. Это означает, что две точки, которые видны под углом или меньше, на глаз воспринимаются как одна.

Посмотрим, что можно сказать о синусе, косинусе и тангенсе малых углов. Если на рис. 4.2 угол мал, то высота BC, дуга BD и отрезок BE, перпендикулярный AB, очень близки. Их длины — это sin, радианная мера и tg. Стало быть, для малых углов синус, тангенс и радианная мера приближенно равны друг другу:

Рис. 4.1. Разрешающая способность.

Рис. 4.2. Малые углы.

Если — малый угол, измеренный в радианах, то sin ;

tg.

Задача 4.2. Запишите приближенные формулы для синуса и тангенса малых углов, считая, что угол измеряется в градусах.

Ответ. sin /180.

Видно, что формулы сложнее, чем для радианной меры — еще один довод в ее пользу! Задача 4.3. Под каким углом видно дерево высотой 10 метров с расстояния в 800 метров Дайте ответ: а) в радианах; б) в угловых минутах.

Задача 4.4. Чему равно расстояние, равное одной минуте дуги земного меридиана Радиус Земли равен примерно 6370.

Расстояние, о котором идет речь в этой задаче, примерно равно морской миле (именно так и появилась эта мера длины).

Рис. 4.3. Парсек.

Рис. 4.4. Формула тысячных.

Задача 4.5. В астрономии применяется единица измерения расстояний, называемая парсек. По определению, расстояние в 1 парсек — это расстояние с которого радиус земной орбиты1 виден под углом 1 (рис. 4.3). Сколько километров в одном парсеке (Радиус земной орбиты равен примерно 150 миллионам километров.) Задача 4.6. Военные пользуются единицей измерения углов, называемой «тысячная». По определению, тысячная — это 1/развернутого угла. Такое измерение углов военные применяют в следующей формуле для определения расстояния до удаленных предметов: = (/) · 1000. Здесь — расстояние до предмета, — его высота, — угол, под которым он виден, измеренный в тысячных (рис. 4.4). Точна ли эта формула Почему ей можно пользоваться на практике Чему равно число, по мнению военных Мы видим, что формулы sin, tg верны с хорошей точностью для малых углов. Посмотрим, что произойдет, Астрономы поправили бы нас: не радиус (орбита Земли — не круг, а эллипс), а большая полуось (половина расстояния между наиболее удаленными друг от друга точками орбиты).

если угол не столь мал. Для угла в 30 точное значение синуса равно 0,5, а радианная мера равна /6 0,52. Ошибка (или, как еще говорят, погрешность), которую дает формула sin, равна примерно 0,02, что составляет 4% от значения синуса. Можно сказать, что относительная погрешность при таком вычислении (отношение погрешности к значению синуса) составляет 4%.

Для углов, меньших 10, относительная погрешность формулы sin меньше одного процента. Чем меньше угол, тем меньше относительная погрешность формулы sin.

Существуют и другие формулы, позволяющие вычислять синусы и тангенсы — и не только малых углов — с хорошей точностью. Например, формула sin - 3/6 (напоминаем, что измеряется в радианах!) дает относительную погрешность менее 1% уже для всех углов, не превосходящих 50. Позднее мы увидим, как оценить погрешность наших формул.

Задача 4.7. Пусть — острый угол, измеренный в радианах. Докажите неравенство cos > 1 - 2.

Указание. Воспользуйтесь формулой cos = 1 - sin2, нера венством sin < и неравенством t > t (для 0 < t < 1).

Задача 4.8. Для косинусов малых углов в качестве приближенного значения можно брать 1. Докажите, что при величине угла менее 5 относительная погрешность этого приближения будет менее 1%.

Глава Начальные свойства тригонометрических функций § 5. Часы, или современный взгляд на тригонометрию 5.1. Часы и процессы До сих пор тригонометрия была для нас наукой о соотношениях сторон в треугольниках. Именно с этого развитие тригонометрии и начиналось (слово «тригонометрия» означает в переводе с древнегреческого «измерение треугольников»). Позднее, однако, акценты сместились, и сейчас тригонометрию правильнее рассматривать как науку не о треугольниках, а о периодических процессах. Чтобы понять, при чем тут периодические процессы, рассмотрим простейший из них — движение стрелок часов.

Задача 5.1. Предположим, что все стрелки часов имеют длину 1 см (видимо, это женские наручные часики). Какой путь проходит за сутки:

а) секундная стрелка;

б) минутная стрелка;

в) часовая стрелка Рис. 5.1. Часы фирмы «Тригонометрия».

(Мы имеем в виду, конечно, путь, проходимый концом стрелки.) Задача 5.2. Секундная стрелка часов имеет длину 1 см. Часы завели в 12 часов дня 1 января. В котором часу и какого числа путь, пройденный концом секундной стрелки, составит 1 км С какой точностью надо знать пройденный стрелкой путь, чтобы иметь возможность ответить на вопрос о дате Часы нам еще сослужат добрую службу, но чтобы не входить в противоречие с общепринятой терминологией и обозначениями, нам нужны часы не совсем обычные. Наши «часы для любителей тригонометрии» имеют всего одну стрелку. Эта стрелка движется в обратном (по сравнению с обычными часами) направлении.

В момент пуска часов стрелка указывает вправо (туда, где на обычных часах написана цифра 3). За час стрелка поворачивается на 1 радиан.

Будем считать, что длина стрелки равна 1. Тогда, согласно определению радианной меры угла, длина дуги, описываемой концом стрелки за час, равна 1, за два часа — 2 и т. д.

Объясним теперь, какое отношение эти часы имеют к синусам и косинусам. Для этого рассмотрим систему координат, расположенную, как показано на рис. 5.2а.

а) б) Рис. 5.2. Часы и тригонометрия.

Каковы будут координаты конца стрелки в момент t (через t часов после запуска) Из рис. 5.2б ясно, что, пока стрелка не успела выйти за пределы первой координатной четверти, ее координаты будут (cos t; sin t) (имеются в виду косинус и синус угла в t радиан). В самом деле, из прямоугольного треугольника MAP видно, что cos MAP = AP, sin MAP = MP, а радианная мера угла MAP равна t.

Пусть теперь стрелка вышла за пределы первой координатной четверти (это означает, что пройденный ей путь t превысил /2).

Формально мы не можем сказать, что координаты конца стрелки равны (cos t; sin t), так как t больше не является радианной мерой острого угла, а синус и косинус мы определили только для острых углов. Однако мы можем обобщить наши определения.

Можно определить косинус числа t как абсциссу конца стрелки в тот момент, когда пройденное этим концом расстояние составит t. Аналогично синус t определяется как ордината конца стрелки в тот же момент. Как мы видели, в тех случаях, когда t является радианной мерой острого угла, новые определения согласуются с прежними.

Задача 5.3. Как бы вы определили синус и косинус отрицательного числа t Задача 5.4. Найдите:

а) cos(/2) и sin(/2); б) cos и sin ;

в) cos(3/2) и sin(3/2); г) cos(5/2) и sin(5/2).

В следующем параграфе мы дадим более формальные определения синуса и косинуса произвольного числа и начнем систематическое изучение тригонометрии. Но некоторые важные свойства синуса и косинуса можно увидеть уже сейчас.

Заметим, что за время 2 стрелка наших часов делает полный круг и оказывается на прежнем месте. Поэтому координаты ее конца в моменты t и t + 2 одинаковы. Другими словами:

cos(t + 2) = cos t sin(t + 2) = sin t Как говорят, функции синус и косинус имеют период 2.

Задача 5.5. Как меняется положение стрелки за время Чему равны cos(t + ) и sin(t + ) 5.2. Скорость Посмотрим теперь, как изменяются cos t и sin t при изменении t.

Сделаем это для косинуса (ситуация с синусом аналогична).

Стрелка часов равномерно вращается, при этом в тот момент, когда конец стрелки прошел расстояние t, проекция этого конца на ось абсцисс отмечает число cos t (рис. 5.3а). Видно, что эта проекция совершает колебания от 1 до -1 и обратно. Далее, движение конца стрелки по окружности равномерно, но движение его проекции равномерным уже не будет. Чтобы это увидеть, нанесем на окружность положения конца стрелки через равные промежутки времени, а на ось абсцисс — их проекции (рис. 5.3б). Хорошо видно, что вблизи концов отрезка [-1; 1] точки идут гуще, чем в его середине. Однако отмеченные точки — не что иное, как проекции конца стрелки через равные промежутки времени. Стало быть, в середине отрезка [-1; 1] наша точка движется быстрее, чем у его краев. Это и понятно: в своих колебаниях по отрезку наша точка в концах разворачивается, а чтобы развернуться, надо сначала затормозить.

а) б) Рис. 5.3. Как меняется косинус.

Задача 5.6. а) Если для каждого целого n найти число sin(n/30), сколько различных чисел получится б*) Каким должно быть число a, чтобы множество чисел вида cos(na), где n пробегает все целые числа, было конечно в**) Существует ли такое натуральное число n, что | cos n| < < 1/1000 Давайте подсчитаем поточнее, с какой скоростью движется проекция конца стрелки. Будем опять-таки рассматривать проекцию на горизонтальную ось, соответствующую косинусу. Мы считали, что стрелка движется со скоростью 1 / и имеет длину 1, так что ее конец движется со скоростью 1. Пусть в данный момент стрелка повернута на угол t (рис. 5.4) Через маленькое время конец стрелки переместится из точки A в точку B, а его проекция — из точки M в точку N. Найдем отрезок MN. Для этого заметим, что угол CAB можно приближенно считать прямым, так как хорда AB мала. Поэтому BAK /2 - CAK = /2 - t (углы измеряются в радианах). Следовательно, MN AB cos(/2 - t) = AB · sin t.

Далее, так как хорда AB мала, ее длина приближенно равна длине дуги AB, то есть. Следовательно, MN · sin t, и средняя скорость проекции конца стрелки на участке от M до N приблизительно равна MN/ = sin t. На самом деле чем меньше, тем меньше ошибки наших Рис. 5.4.

приближенных вычислений и тем ближе средняя скорость к sin t. Как говорят, мгновенная скорость проекции конца стрелки в тот момент, когда стрелка прошла расстояние t, равна sin t. Точнее говоря, эта мгновенная скорость равна - sin t, так как при возрастании пройденного расстояния от t до t + проекция конца стрелки движется по оси абсцисс в «отрицательном направлении» (от б чисел к меньшим).

ольших Говоря по-ученому, производная от функции y = cos t — это функция y = - sin t.

§ 6. Определение тригонометрических функций В этом параграфе мы аккуратно сформулируем определения тригонометрических функций.

Для этого введем на плоскости прямоугольную систему координат и рассмотрим окружность радиуса 1 с центром в начале координат (рис. 6.1а).

Такой чертеж принято называть тригонометрическим кругом (или тригонометрической окружностью). Точку с координатами (1; 0), лежащую на этой окружности, будем называть началом отсчета или точкой ноль (не путайте с началом координат!).

Направление движения против часовой стрелки будем называть положительным направлением (рис. 6.1б).

Тригонометрическая окружность служит для того, чтобы наносить на нее числа. Это делается так. Пусть у нас есть число t.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 18 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.