WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 15 | 16 || 18 |

После возведения обеих частей этой формулы в степень n погрешность увеличится примерно в n раз (это свойство возведения в степень верно и для комплексных чисел) и станет равняться примерно c/n, что стремится к нулю с ростом n.

Итак, то число, к которому (1 + ix/n)n приближается с ростом n, — это cos x + i sin x. Значит, это и есть eix. Итак:

eix = cos x + i sin x.

Это — не что иное, как знаменитая формула Эйлера.

Посмотрим, что из нее можно вывести.

Для начала, теперь мы можем найти значение показательной функции от любого комплексного числа a + bi:

ea+bi = eaebi = ea(cos b + i sin b). () Задача 30.2. Выведите из формулы () тождество ez+w = ezew для произвольных комплексных z и w.

Задача 30.3. Вычислите: а) ei/2; б) ei.

Задача 30.4. Найдите все комплексные числа z, для которых выполнено равенство ez = -1.

Из формулы Эйлера следует, что e2i = cos 2i + i sin 2i = 1.

Следовательно, для любого комплексного числа z имеем:

ez+2i = eze2i = ez.

Значит, 2i — период функции f(z) = ez. Как видите, показательная функция тоже является периодической, только мы этого не видели, пока ограничивались действительными числами.

Задача 30.5. Докажите, что всякий период функции f(z) = ez имеет вид 2in для некоторого целого числа n (так что 2i является чем-то вроде наименьшего положительного периода для этой функции).

Следующее, что мы сделаем с помощью формулы Эйлера — это покажем, что тригонометрические и показательные функции — фактически одно и то же (как и было обещано в § 19). Точнее говоря, мы выразим тригонометрические функции через показательные.

Для этого запишем формулу Эйлера, а под ней — ту же формулу, в которую вместо x подставлено -x:

eix = cos x + i sin x;

e-ix = cos x - i sin x (мы воспользовались тем, что cos(-x) = cos x, sin(-x) = - sin x).

Если сложить и вычесть эти два равенства, получится eix +e-ix = = 2 cos x, eix - e-ix = 2i sin x, откуда выходит:

eix + e-ix eix - e-ix cos x = ; sin x =.

2 2i Таким образом, мы выразили тригонометрические функции через показательную, а формула Эйлера, наоборот, выражает показательную функцию через тригонометрические. Так что если в нашем распоряжении есть комплексные числа, то тригонометрические функции выражаются через показательные, и наоборот.

У наших формул, выражающих синус и косинус через показательную функцию, есть еще одно применение. Именно, правые части этих формул имеют смысл, если вместо x подставить любое комплексное число. Поэтому их можно использовать для того, чтобы определить, что такое синус и косинус от любого комплексного числа. Именно: если z — комплексное число, то положим по определению:

eiz + e-iz eiz - e-iz cos z = ; sin z =.

2 2i Формулы, выражающие синус и косинус от действительных чисел через показательную функцию, показывают, что для действительного числа z наше определение дает обычные синус и косинус.

Задача 30.6. Найдите sin i и cos i.

Задача 30.7. Докажите, что формула Эйлера eiz = cos z + i sin z верна для произвольных комплексных значений z.

Задача 30.8. Докажите, что eb + e-b eb - e-b cos(a + bi) = cos a + i sin a.

2 Задача 30.9. а) Докажите, что все комплексные решения уравнения sin z = 0 имеют вид z = n, где n — целое (так что дополнительных комплексных решений у этого уравнения нет).

б) Решите в комплексных числах уравнение cos z = 0.

в) Решите в комплексных числах остальные простейшие тригонометрические уравнения из начала § 10.

Задача 30.10. Верно ли, что для всех комплексных чисел z выполнено неравенство | sin z| 1 Задача 30.11. Докажите, что для всех комплексных z верны тождества:

а) cos(z + 2) = cos z; б) sin(z + 2) = sin z;

в) cos(-z) = cos z; г) sin(-z) = - sin z.

Задача 30.12. Докажите, что для всех комплексных чисел верны тождества:

cos2 z + sin2 z = 1;

cos(z + w) = cos z cos w - sin z sin w;

sin(z + w) = sin z cos w + cos z sin w.

Все тригонометрические тождества, которые мы выводили в главе 4, следуют из трех тождеств, перечисленных в этой задаче (а также из свойств четности и нечетности синуса и косинуса, которые в комплексных числах также верны — см. задачу 30.11). Поэтому все эти тождества верны и для тригонометрических функций комплексного переменного.

Задача 30.13. Решите в комплексных числах уравнение sin z = (решить уравнение — найти все его решения).

Задача 30.14. Верны ли для тригонометрических функций комплексного аргумента формулы приведения Задача 30.15. Докажите, что уравнения sin z = a и cos z = a имеют решения (возможно, комплексные) при любом a.

Ответы и указания к некоторым задачам 1.2. sin 10 0,17, sin 30 = 0,5, sin 60 0,87. Радианные меры углов в 10, 30 и 60 градусов приближенно равны 0,17, 0,52 и 1,05. Радианные меры углов в 30 и 60 градусов больше их синусов приблизительно на 4% и 21% соответственно; радианная мера угла в 10 градусов совпадает с его синусом с точностью до двух знаков после запятой.

2.1. Указание: два прямоугольных треугольника с равными острыми углами подобны.

2.2. sin < tg.

2.3. tg = sin / 1 - tg2.

2.4. tg 10 0,18, tg 30 0,58, tg 60 1,73. Тангенсы углов в 10, 30 и 60 градусов больше их радианных мер приблизительно на 1%, 10% и 65% соответственно.

3.4. а) 2a cos. б) a sin. в) a sin 2, если < 45, и a sin(180 - 2), если > 45 (когда мы познакомимся с тригонометрическими функциями произвольного угла, вы увидите, что этот ответ во всех случаях записать в виде a sin 2).

3.5. ( 5 + 1)/4.

3.6. 2 sin(36) = 10 - 2 5/2.

3.7. cos 25 = sin 65 0,91.

4.1. б) 6. в) 6.

4.3. 0,012 радиана, или приблизительно 43.

4.4. Примерно 1850 метров.

4.6. Указание. Тысячная равна /3000 1/1000 радиана (если принять, что 3, что при таких измерениях и делают). И не надо считать военных неучами: ошибка порядка 15%, получающаяся при вычислениях по формуле тысячных, несущественна, поскольку измерить угол подручными средствами с б точностью нереально.

ольшей 5.1. а) Примерно 90 метров. б) Примерно полтора метра.

5.2. 12 января, в двенадцать часов три минуты пополуночи. Чтобы не ошибиться с датой, достаточно знать путь, пройденный секундной стрелкой за сутки, с точностью до 4 метров.

5.4. а) cos(/2) = 0, sin(/2) = 1. г) cos(5/2) = 0, sin(5/2) = 1.

5.6. а) 30 различных чисел. б) Число a должно быть рациональным.

в) Да.

6.1. Если вы не ошиблись, должно получиться 4 различных точки.

6.3. а) Две точки. б) Одна точка.

6.4. В первой четверти.

6.5. 214 точек.

6.6. Рациональным.

6.11. (1/2; 3/2), (-1/2; 3/2), (-1; 0), (-1/2; - 3/2), (1/2; - 3/2).

6.12. (( 5 - 1)/4; 10 + 2 5/4), (-(1 + 5)/4; 10 - 2 5/4), (-(1 + + 5)/4; - 10 - 2 5/4), (( 5 - 1)/4; - 10 + 2 5/4).

6.13. При пользовании формулой cos 1 для малых углов относительная погрешность (отношение погрешности к точному значению) будет мала, а если для столь же малых углов использовать формулу sin 0, то погрешность будет близка к 100% точного значения — столь грубые приближенные формулы в этой ситуации бесполезны.

6.14. б) (t - sin t, 1 - cos t).

6.16. б) 10.

7.3. а) 2/2 или - 2/2. б) Только - 2/2.

7.5. cos x = - 10/10, sin x = -3 10/10.

7.6. 13/5.

7.8. а) 2. б) 2(tg2 + ctg2 ). в) 2/ sin.

8.1. а) 2/3. б) 4. в) 2. г) 200.

8.2. а) 100. б) 1/50.

8.6. Указание. 2 · 8 - 3 · 5 = 1.

8.7. Ответ: да. Когда вы освоите § 22, вы сможете проверить, что 2x такими свойствами обладают функции f(x) = sin x, g(x) = sin - sin x. Можно, однако, построить пример, в котором тригонометрические функции вообще не используются.

9.2. а) - x. б) sin x. е) - ctg x. ж) - sin x.

cos 9.3. а) 3/2. в) 0. д) -1. ж) - 3/2. и) - 2/2.

9.4. б) tg(10 - 3). г) cos(114 - 36). е) - sin(/7).

9.5. а) -. д) -.

9.6. а) (-a; b). в) (-a; -b). д) (b; a).

n 10.2. а) (-1)n +, n Z. в) Решений нет. д) - ± +n, n Z.

12 2 8 ж) ± + n, n Z.

6 1 - 10.3. а) (-1)n arcsin +n, n Z. б) Решений нет. д) Указание:

положите sin x = t; ответ: (-1)n arcsin - + n n Z. ж) Указание:

2 - замените cos2 x на 1 - sin2 x; ответ: (-1)n arcsin + n, n Z.

к) arctg 3 + n, n Z; л) arcctg(4 - 7) + n, n Z.

10.4. а) 1/2. б) Нет решений. в) - 3/2.

10.6. а) Указание: sin(arcsin x) = x по самом определению арксиу нуса, но не от всякого числа можно взять арксинус. в) Указание: эта функция — периодическая с периодом 2.

10.7. а) 2/5. б) 3/10. д) - 11.

10.8. а) -1 x 1. б) x > 0. в) - x. г) -1 x 1.

2 10.9. а) 2 13/13. в) 1/3. д) 2 2/3.

10.10. а) 10.

11.1. y = - x.

11.2. (0; 3/2), (5/6; 0).

11.7. б) sin(11,2) < cos(-6,4). г) sin 7 < cos 7;

11.8. sin 5 < cos 4 < cos 2 < sin 3 < sin 1 < cos 6.

12.1. Например, относительно прямой с уравнением x = /4.

12.2. y = /2 - x.

12.3. а) tg(13/11) < tg 3,3.

12.4. tg 5 < tg 2 < tg 3 < tg 4 < tg 1.

12.7. Указание: эта функция нечетная.

14.1. Указание: каковы знаки косинуса острых и тупых углов 14.2. Указание: обозначьте стороны параллелограмма буквами a и b, а угол между ними буквой ; выразите диагонали через a, b и.

14.5. Указание: выразите косинус угла ABM через стороны треугольника, после чего примените теорему косинусов еще раз.

15.1. Указание: диагонали разбивают четырехугольник на четыре треугольника.

15.4. а) = (p - a)(p - b)(p - c)/p.

r 15.7. 6 14/5.

15.10. arccos(43/48), arccos(29/36), arccos(-11/24).

16.2. 2R2 sin sin sin.

16.4. a 10/4.

16.5. a 21/6.

16.6. Указание: докажите, что четырехугольник является ромбом.

16.7. R2 sin + sin cos ± cos (у задачи, вообще говоря, два 2 2 2 ответа!).

16.8. R2(sin + sin 2) 4 sin2 3 - (sin 2 - sin )2.

a cos 16.9..

sin( + ) m2 + n2 + 2mn cos 16.10..

sin 17.1. (4; 12).

17.3. а) (1; 1). б) ( 2; 0).

17.4. 19 (не забудьте про нулевой вектор!).

36 17.10. x =, y = -.

11 17.11. а) На 400/3 133,9 м. б) Лодку надо направить против течения под углом arctg(4/3) к берегу; при этом ее снесет на 320/3 106,7 м.

17.12. Наименьшее расстояние — 15 миль; на этом расстоянии ко рабли окажутся через 3 3/2 2,6 часов.

19.4. а) 1/2.

19.5. а) (3 + 4 3)/10. б) /4.

19.8. 4a/( 2 + 6), 2a 2/( 2 + 6).

19.9. 22 5/5.

19.12. (x cos + y sin ; y cos - x sin ).

20.2. [- 5; 5].

20.3. б) - + (-1)n + n, n Z.

4 21.2. а) m2 - 1.

21.4. а) 1/8. б) 1/8.

21.6. а) - 6/3. б) 6/4. в) 0 a < 2 arcsin( 6/4).

cos(11h/2) cos(x + 5h) sin 50x sin(101x/2) 22.7. а). б).

cos(h/2) cos(x/2) 23.1. Годится, например, та граница 0 h 0,1.

же 9 - 24.1. б) (-1)n · 2 arcsin + 2n, n Z.

24.2. а) ± + 2n, n Z. б) n, n Z.

24.3. Объединение прямых, заданных уравнениями y = x и y = = 10x/3.

1 ± 5 1 ± 24.4. ;.

2 5 ± 24.5. а) arctg + n, n Z. в) + 2n; + 2k, n, k Z.

14 д) - + n, n Z.

24.6. a 0.

k 24.7. а) n;, n, k Z (на самом деле здесь можно было и не n n выписывать серии x = n; см. § 25). в), n Z. е) - +, + 2 24 2 k +, n, k Z.

-1 ± 24.8. б) + (-1)n arcsin + 2n, n Z.

3 24.9. а) 2n, ± arccos - + 2k, n, k Z. в) + n, (-1)n + 4 2 n 2k 2m 2 + k, n, k Z. д),, +, n, k, m Z. ж) + n, + 2 7 5 5 3 + 2k, n, k Z.

n 24.10. а) +, + k, n, k Z. в) (-1)n + n, n Z. д) + 4 2 6 + 4n, n Z.

24.11. К первой группе относятся тождества (а), (б), (г) и (е), ко второй группе относится тождество (д), к третьей — тождество (в).

24.13. а) 2n, + 2k, n, k Z. б) n, arctg(5 ± 34) + k, n, k Z.

1 1 в) n, +k, +m, n, k, m Z. г) arctg - 3- ± 4 + 14 3 + 3 6 6 6 + n, n Z.

n 9 13 25.1. а), n Z. г) + 2n, + 2k, + 2m, + 3 10 10 10 + 2l, n, k, m, l Z.

25.2. а) - + 2n, n Z. г) Решений нет. д) Решений нет.

25.3. а) + n, n Z. г) 15 + 60n, n Z.

25.4. а) 0. б) При рациональных a и только при них.

25.5. k = 2 + 5t, t Z.

25.6. а) x = -10+19t, y = 9-17t, t Z. б) Решений нет. в) Решений нет.

n n 26.1. а) - + 2n; + 2n, n Z. д) - + ;, n Z.

2 2 4 2 26.2. а) + n; + n, n Z. в) - + n; + n, n Z.

3 8 г) + n; + n, n Z.

2 1 1 1 26.3. а) --arcsin +2n; arcsin +2n, n Z. б) - arccos + 4 4 3 2n 1 2 2n 10 + ; arccos +, n Z. в) - arcsin + n; arcsin + 3 3 9 3 10 + n, n Z.

26.4. а) (--1+2n; 1+2n), n Z. б) [3-7+2n; 7+2n], n Z.

в) (10 + 2n; 8 - 10 + 2n), n Z.

-3 + 17 -3 + 26.5. а) arccos + 2n; 2 - arccos + 2n, n Z.

4 1 1 26.6. а) -1;. б) (cos 2; 1]. в) -1; - sin. г) ; 1.

2 4 2 3 2 26.8. а) +n; +n, +n; +n, +n;, n Z.

5 3 5 3 11 23 35 б) + 2n; + 2n, + 2n; + 2n, n Z. в) + 6 18 18 18 2 4 + 2n; arctg + + 2n, + 2n; arctg + 2 + 2n n Z.

3 3 28.1. i5 = i, i6 = -1, i1999 = -i.

28.2. а) ( 3 + i)3 = 8i.

28.3. 2 ± i.

28.4. а) 8 - 10i. б) -i.

1 3 1 28.7. 1, - + i, - - i.

2 2 2 28.8. ±(3 - 2i).

29.2. а) cos +i sin. в) 2 cos +i sin. г) cos(+)+i sin(+).

2 2 6 29.10. а) (a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6.

б) cos 6 = cos6 - 15 cos4 sin2 + 15 cos2 sin4 - sin6. sin 6 = = 6 cos5 sin - 20 cos3 sin3 + 6 cos sin5.

30.4. а) i + 2in, n Z.

30.9. б) + n, n Z.

30.10. Нет.

Pages:     | 1 |   ...   | 15 | 16 || 18 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.