WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |

Задача 29.7. Докажите, что число 73734314159378042035384049570 = = 2 · 5 · 13 · 29 · 37 · 41 · 53 · 61 · 73 · 89 · 97 · 101 · 113 · 137 · 149 · 157 · также является суммой квадратов двух целых чисел.

Указание. 2 = 12 + 12; 5 = 12 + 22...

Существует аналог тождества (29.2) для сумм четырех квадратов, показывающий, что произведение двух сумм четырех квадратов также равно сумме четырех квадратов:

(a2 + a2 + a2 + a2)(b2 + b2 + b2 + b2) = 1 2 3 4 1 2 3 = (a1b1 - a2b2 - a3b3 - a4b4)2 + (a1b2 + a2b1 + a3b4 - a4b3)2 + + (a1b3 + a3b1 - a2b4 + a4b2)2 + (a1b4 + a4b1 + a2b3 - a3b2)2.

Задача 29.8. Докажите это тождество.

Имеется также аналог этих двух тождеств для сумм восьми квадратов, но на этом все и кончается: при n = 2, 4, 8 тождеств типа «произве дение двух сумм n квадратов равно сумме n квадратов» не существует.

Теперь посмотрим, что вытекает из того, что аргументы комплексных чисел при умножении складываются.

Если возвести комплексное число в степень n, то есть умножить его на себя n раз, то его модуль возведется в степень n, а аргумент умножится на n:

(r(cos + i sin ))n = rn(cos n + i sin n).

В частности, при r = 1 получится вот что:

(cos + i sin )n = cos n + i sin n.

Эта формула называется формулой Муавра.

Из формулы Муавра легко вывести формулы, выражающие cos n и sin n через cos и sin. Для этого надо в ее левой части раскрыть скобки и привести подобные. При n = 5, например, получится вот что:

(cos + i sin )5 = (cos5 - 10 cos3 sin2 + 5 cos sin4 ) + + i(5 cos4 sin - 10 cos2 sin3 + sin5 ) = = cos 5 + i sin 5.

Так как выражения слева и справа равны, то равны по отдельности их вещественные и мнимые части, откуда:

cos 5 = cos5 - 10 cos3 sin2 + 5 cos sin4, sin 5 = 5 cos4 sin - 10 cos2 sin3 + sin5.

Чтобы получить такие формулы для произвольного n, надо раскрывать скобки в (cos + i sin )n, а для этого требуется общая формула для раскрытия скобок в выражении (a + b)n. Мы выпишем эту формулу, но не будем ее доказывать. Выглядит она так:

n(n - 1) (a + b)n = an + nan-1b + an-2b2 + 1 · n(n - 1)(n - 2) n(n - 1)(n - 2)... + an-3b3 +... + a1bn-1 + bn.

1 · 2 · 3 1 · 2 ·... (n - 1) Иными словами, в правой части коэффициент при an-kbk равен n(n - 1)... (n - k + 1) : в знаменателе стоит произведение первых 1 · 2 · · · · · k k натуральных чисел, а в числителе — произведение k идущих подряд целых чисел в убывающем порядке, начиная с n. Хотя коэффициенты в нашей формуле записаны как дроби, на самом деле все они — целые числа.

Формула для (a+b)n, которую мы выписали, называется формулой бинома Ньютона.

Задача 29.9. Проверьте формулу бинома Ньютона для n = 3, 4, 5.

Задача 29.10. а) Выпишите формулу бинома Ньютона для n = 6.

б) Выпишите формулы для cos 6 и sin 6.

Задача 29.11. Убедитесь, что в формуле бинома Ньютона коэффициент при abn-1 равен n.

Задача 29.12. Докажите, что в формуле бинома Ньютона коэффициенты при an-kbk и akbn-k равны (что и не удивительно: если левая часть тождества не меняется, когда меняешь местами a и b, то такой же должна быть и правая часть).

Другое приложение формулы Муавра — еще один вывод формулы для суммы косинусов или синусов углов, образующих арифметическую прогрессию (§ 22). В самом деле, пусть нам надо вычислить сумму cos + cos( + ) + cos( + 2) +... + cos( + n).

Рассмотрим комплексные числа a = cos + i sin, b = cos + + i sin. Тогда, очевидно, abk = cos( + k) + i sin( + k). Следовательно, a + ab + ab2 +... + abn = (cos + cos( + ) +... + cos( + n)) + + i( sin + sin( + ) +... + sin( + n)).

Однако правую часть можно вычислить по формуле для суммы геометрической прогрессии:

1 - bn+a + ab + ab2 +... + abn = a = 1 - b 1 - cos(n + 1) - i sin(n + 1) = (cos + i sin ).

1 - cos - i sin (Если вас смущает, что мы применяем эту формулу к комплексным числам, посмотрите в вашем школьном учебнике, как она доказывается, и убедитесь, что дословно то же доказательство годится и для комплексных чисел.) Теперь осталось упростить выражение в правой части (для этого, как обычно при делении комплексных чисел, надо умножить числитель и знаменатель дроби на (1-cos )+i sin и выделить в полученном выражении действительную и мнимую части).

Действительная часть будет равна cos +cos(+)+...+cos(+ + n), а мнимая часть будет равна sin + sin( + ) +... + sin( + + n).

Задача 29.13. Проведите эти выкладки и убедитесь, что ответы совпадают с полученными в § 22.

Раз с помощью тригонометрической формы комплексные числа удобно возводить в степень, естественно надеяться, что та же тригонометрическая форма поможет и в выполнении обратной операции — извлечения корней из комплексных чисел. Покажем на примере, какие новые явления при этом возникают.

Давайте извлечем корень пятой степени из 32, то есть найдем число, которое, будучи возведенным в пятую степень, даст 32.

Среди действительных чисел такое число одно — это число 2. Посмотрим, что будет, если рассматривать любые комплексные числа. Мы ищем такие числа z, что z5 = 32. Проще всего найти модуль числа z: если z5 = 32, то |z5| = |z|5 = 32 (при перемножении чисел модули перемножаются), откуда |z| = 2 (уж |z|-то — это обычное действительное число, так что тут никаких разночтений не будет). Осталось найти аргумент z. Для этого запишем z в тригонометрической форме: z = 2(cos + i sin ). Тогда z5 = 32(cos 5 + i sin 5), откуда 32(cos 5 + i sin 5) = 32, cos 5 + i sin 5 = 1, что, в свою очередь, равносильно системе тригонометрических уравнений cos 5 = 1;

sin 5 = 0.

Этой системе, очевидно, удовлетворяют в точности те и только те числа, для которых числу 5 соответствует начало отсчета на тригонометрической окружности, то есть 5 = 2k, или = 2k/5 (k Z). Стало быть, решения уравнения z5 = 32 — это числа вида 2(cos 2k/5 + i sin 2k/5), где k Z. Не все эти числа различны: так как комплексные числа с аргументами, отличающимися на 2, совпадают, то разные комплексные числа получаются только при k = 0, 1, 2, 3, 4, а дальше значения z будут повторяться. Итак, все корни уравнения z5 = 32 или, если угодно, все корни пятой степени из 32 таковы:

z1 = 2(cos 0 + i sin 0);

z2 = 2(cos 2/5 + i sin 2/5);

z3 = 2(cos 4/5 + i sin 4/5);

z4 = 2(cos 6/5 + i sin 6/5);

z5 = 2(cos 8/5 + i sin 8/5);

Здесь z1 — это просто число 2, действительный корень уравнения z5 = 32. Прочие кор ни этого уравнения действительными уже не являются. Если изобразить все корни пятой степени из 32 на комплексной плос- кости, то окажется, что они расположены в вершинах правильного пятиугольника.

В наших рассуждениях не играло никаРис. 29.3.

кой роли ни то, что мы извлекали корень именно степени 5, ни то, что мы извлекали его из 32. На самом деле для всякого комплексного числа a = 0 существует ровно n решений уравнения zn = a (эти решения называются корнями степени n из a). При изображении на комплексной плоскости корни степени n из a располагаются в вершинах правильного nугольника с центром в точке 0.

Задача 29.14. Найдите: а) все три кубических корня из i; б) все шесть корней степени 6 из 1 и изобразите их на комплексной плоскости.

Задача 29.15. а) Докажите, что произведение двух корней степени n из 1 — тоже корень степени n из 1.

б*) Пусть z1, z2,..., zn — все корни степени n из 1, k — целое число. Докажите, что 0, если k не делится на n;

k k k z1 + z2 + · · · + zn = n, если k делится на n.

Мы добавили к обычным вещественным числам число i для того, чтобы можно было извлекать квадратные корни из отрицательных чисел; при этом оказалось, что в комплексных числах можно решить любое квадратное уравнение. Замечательно, что и вообще любое алгебраическое уравнение имеет корень в комплексных числах: никаких новых чисел помимо i ради этого вводить не надо. Этот важный факт, который по традиции называют основной теоремой алгебры, доказал в конце 18 века великий немецкий математик К. Ф. Гаусс.

§ 30. Показательная функция и формула Эйлера Повторить: § 23. Производная.

Хороший физик пользуется формализмом, как поэт — естественным языком.

Ю.И. Манин. «Математика и физика» В предыдущих параграфах мы видели, что с комплексными числами можно так же, как и с действительными, проделывать такие операции, как сложение, умножение, возведение в степень и извлечение корня. Цель этого параграфа — придать смысл таким выражениям, как 2z или sin z, где z — комплексное число.

В последующем тексте не будет ни аккуратных математических определений, ни (тем более) строгих доказательств: мы будем обращаться с математикой примерно так же вольно, как это делают физики. Тем не менее обмана не будет: все последующие определения и рассуждения можно довести до математического уровня строгости, и в абзацах, набранных мелким шрифтом, объясняется, как это сделать. Руководствуясь этими указаниями, заинтересованный читатель сможет навести строгость в нашем тексте (если не сейчас, то тогда, когда он овладеет основами математического анализа).

Теперь приступим к делу. Удобнее начать с показательной функции. Пусть a — положительное действительное число; чему должно быть равно az для комплексных чисел z Вспомним для начала, как определяется az для действительных z. Если z — целое число, то az — это произведение z сомножителей, каждый из кото n рых равен a; если z = m/n, где m и n — целые числа, то az = am.

Как распространить такие определения на случай комплексных z — неясно: что такое «умножить на себя i раз» или «извлечь корень i-й степени»! Поэтому придется пойти другим путем.

Для начала заметим, что если x мало, то для ax можно записать приближенную формулу. В самом деле, если обозначить буквой l производную функции y = ax в точке x = 0, то, согласно § 23, для малых x получается: ax = a0+x a0 + lx = 1 + lx. Итак, Если x мало, то ax 1+lx, где l — производная функции y = ax в точке x = 0.

Разумеется, как мы уже объясняли в § 23, приближенную формулу такого типа можно получить для любой «достаточно хорошей» функции, и действовать она будет только для малых x.

К счастью, свойства показательной функции позволяют перейти к формуле, пригодной при любых x. Вот как это делается.

Пусть x — любое число. Выберем большое целое число n и запишем ax = a(x/n)n = (ax/n)n; если n велико, то x/n уже мало, и можно с помощью нашей приближенной формулы заменить ax/n на 1 + lx/n. Подставляя это выражение для ax/n, получаем:

Для больших целых n верна приближенная формула ax (1 + lx/n)n, где l — производная функции y = ax в точке x = 0.

Добросовестный читатель скажет, что наше рассуждение не очень убедительно: при умножении погрешности могут накапливаться, и где гарантия, что после перемножения n штук формул ax/n 1+lx/n они не накопятся настолько, что ax не будет иметь с (1 + lx/n)n ничего общего Это действительно могло бы случиться, но, к счастью, в данном случае накопление погрешностей к опасным последствиям не приводит: при больших n приближенное равенство ax (1 + lx/n)n имеет место, причем, выбрав n достаточно большим, погрешность этой формулы можно сделать сколь угодно малой.

Вот как это устанавливается. В § 23 мы уже говорили, что для «достаточно хороших» функций погрешность формулы f(a+h) f(a)+hf (a) не превосходит Mh2 для некоторого числа M, не зависящего от h. Если применить это соображение к функции f(x) = ax, выйдет, что погрешность формулы ax/n 1+lx/n не превосходит Ml2x2/n2 для некоторого M. Обозначая, для сокращения письма, Ml2x2 буквой c, получаем, что погрешность формулы ax/n 1 + lx/n не превосходит c/n2, где число c от n не зависит. При возведении обеих частей этой формулы в степень n эта погрешность возрастает, но не слишком сильно: можно показать, что при возведении в n-ую степень обеих частей приближенной формулы, в которой левая и правая части близки к 1 (а именно таковы ax/n и 1 + lx/n), погрешность возрастает примерно в n раз.

Стало быть, погрешность формулы ax (1 + lx/n)n не превосходит n · (c/n2) = c/n, и чем больше n, тем эта погрешность меньше, так что наша формула действительно позволяет вычислить ax с любой степенью точности.

Теперь мы готовы определить az для комплексных значений z.

В самом деле, правая часть нашей приближенной формулы имеет смысл и при комплексных значениях x. Теперь для любого комплексного z определим az как (1 + lz/n)n для большого целого числа n. Точнее говоря, это будет не само az, но его приближенное значение, а точное значение az — это то, к чему стремится (1 + lz/n)n при росте n (по-ученому говоря, «предел (1 + lz/n)n при n, стремящемся к бесконечности»). Напомним, что через l обозначена производная функции y = ax в нуле.

Сейчас мы исследуем свойства показательной функции комплексного аргумента, но сперва — одно замечание. В наших формулах постоянно присутствует число l. Наиболее простые формулы получатся, если взять основание степени, для которого l равняется 1. Это число так часто встречается в математике, что для его есть специальное обозначение: его обозначают буквой e;

повторим еще раз, что e — это, по определению, положительное число, для которого производная в нуле функции y = ex равна единице.

Задача 30.1. Покажите, что производная функции y = ax в точке 0 равна логарифму числа a по основанию e.

Приближенно e равно 2,718. Таким образом, имеем формулу:

n z ez 1 + при больших целых n.

n Для действительных z эта формула выражает свойство показательной функции с основанием e, а для произвольного комплексного z представляет собой определение.

Если в нашей формуле для ez положить z = 1, то получим n приближенную формулу для e = e1: e 1 +. Можно такn же показать, что при нашем определении показательной функции от комплексных чисел основное свойство показательной функции ez+w = ezew будет верно для любых комплексных z и w.

Давайте теперь посмотрим, каковы будут свойства функции ez при z, не являющихся действительными. Выясним, например, как подсчитать eix, где x — действительное число.

Согласно нашему определению, надо взять большое целое число n, и тогда eix будет примерно равно (1 + ix/n)n. Чтобы узнать, к чему будет приближаться это число при росте n, заметим, что при больших n число x/n мало, так что действуют приближенные формулы sin(x/n) x/n, cos(x/n) 1. Поэтому (1 + ix/n)n cos(x/n) + i sin(x/n), откуда, возводя в степень n, получаем:

n n ix x x 1 + cos + i sin = cos x + i sin x.

n n n Иными словами, при больших n верна приближенная формула (1 + ix/n)n cos x + i sin x. Можно показать, что с ростом n погрешность этой формулы уменьшается.

Это следует из того, что в формулах sin(x/n) x/n, cos(x/n) 1 погрешность, как мы видели в § 23, не превосходит (x/n)2 (при достаточно больших n); стало быть, можно сказать, что и у приближенной формулы ix x x 1 + cos + i sin n n n погрешность не превосходит (по модулю) c/n2, где c не зависит от n.

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.