WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 18 |

Задача 26.8. Решите неравенства:

sin 3x а) 0; б) cos 2x cos x + ;

sin 5x 3 sin x + в) < 1.

2 cos x + § 27. Задачи на повторение Задача 27.1. Решите уравнения:

а) sin x + cos x = cos 2x; б) sin2 x + cos2 3x = 1;

cos2 3t cos2 t в) + = 0; г) sin6 x + cos6 x = sin 2x;

tg t tg 3t д) ctg x + ctg 3x = tg 2x; е) tg 3x - tg x = 4 sin x;

ж) 5 sin x + 12 cos x = 13 sin 3x;

з) cos2 x - cos4 x = sin2 x sin 3x - 1;

и) 3 ctg t - 3 tg t + 4 sin 2t = 0;

к) sin x - cos x + 5 sin x cos x = 1;

л) sin x(3 sin 2x sin3 x + 12 sin 2x sin - 16 cos x) + 2 sin 4x = 0;

x м) 2 cos 2x - + 1 = cos x + ;

3 н) sin 3x sin x + 1 = cos 2x;

x о) cos 2x + 2 cos x + 7 = 2 sin + x + 4 sin2 ;

2 п) 4(sin 4x - sin 2x) = sin x(4 cos2 3x + 3);

р) sin 3x - sin x + cos 2x = 1;

с) 3 sin x + 2 cos x = 3 + sin 2x;

т) sin x + cos 4x + 2 sin 5x = 4.

Задача 27.2. Решите уравнения а) cos x - cos 2x + 2 sin x = 0;

б) 1 - 4 sin x = 1 - 4 cos 2x;

в) (1 + 2 cos x) sin(x + /4) = 0;

1 г) + sin x = + sin 3x;

2 д) 2 sin x sin 2x = 5 cos x + 4 sin 2x;

е) 5 sin x - cos 2x + 2 cos x = 0;

x x ж) cos 2x + sin = sin x + sin.

2 a = b2;

Указание. Уравнение a = b равносильно системе уравb 0, a = b; a = b;

нение a = b равносильно любой из систем или a 0 b 0.

Задача 27.3. Решите уравнения:

cos2 x 1 3 cos x + 1;

а) = - 2 | cos x| б) = cos 2x - 1;

cos x в) 4| cos x| + 3 = 4 sin2 x;

1 г) cos = ;

sin x д) sin 8 cos x = cos 8 sin x ;

е) cos( arcctg2 x) = ;

ж) sin · sin x = -.

9 Задача 27.4. Решите системы уравнений:

tg x + ctg x = 2 sin y - ;

а) tg y + ctg y = 2 sin x +.

cos 2x cos x = 0;

б) 2 sin2 x - cos 2y - = 0.

sin x cos y = - ;

в) tg x ctg y = 1.

sin(x - y) = 2 cos x sin y;

г) cos(2x + y) + cos x cos y = 0.

4 sin x - 2 sin y = 3;

д) 2 cos x - cos y = 0.

1 + sin x sin y = cos x;

е) 2 sin x ctg y + 1 = 0.

Задача 27.5. Решите неравенства:

а) cos 2x sin x;

б) cos 2x > cos x - x;

sin в) 2 cos x(cos x - 8 tg x) < 5;

г) 4 sin x sin 2x sin 3x sin 4x;

д) (cos x - cos 5x)(2 sin x 3 cos x + 4) > 0;

+ 1 | tg x - 3| + е) - 1.

cos2 x ctg x Задача 27.6. Решите уравнения:

а) sin2 x + cos2 14x = sin x + cos 14x - ;

б) x2 + 2x sin(xy) + 1 = 0;

в) sin10 x + cos16 x = 1;

г) sin2 x - 2 sin x sin y - 2 cos2 y + cos4 y + = 0;

д) 2 3 sin 5x - 3 sin x = cos 24x cos x + 2 cos 5x - 6.

3 Задача 27.7. Найдите sin, если sin 2 и tg.

5 Задача 27.8. При каждом значении параметра a решите уравнение 3 cos x sin a - sin x cos a - 4 cos a = 3 3.

Задача 27.9. Найдите множество значений функции y = sin2 x - 12 sin x cos x + 3 cos2 x + 1.

Глава Комплексные числа § 28. Что такое комплексные числа Повторить: § 17: векторы на плоскости.

В этой главе мы познакомимся с комплексными числами, о которых уже неоднократно упоминали. Итак, что же это такое Как известно, из отрицательного числа извлечь квадратный корень невозможно: квадраты всех чисел неотрицательны. Давайте, однако, вообразим, что нашлось такое необычное число i, квадрат которого равняется -1. Посмотрим, что получится, если это число i добавить к обычным числам.

Для начала поумножаем i на само себя: i2 = -1 (как мы и договаривались), тогда i3 = (i2) · i = (-1) · i = -i; i4 = i3i = = (-i) · i = -i2 = -(-1) = 1 и т. д.

Задача 28.1. Чему равно i5 i6 i2003 Теперь давайте умножать число i на обычные числа и складывать его с обычными числами. При этом будут получаться выражения наподобие 1 - i, -4i, 2 + 5i и т.д. Раскрывая скобки и приводя подобные члены, такие выражения можно складывать и перемножать; поскольку i2 всякий раз можно заменять на -1, в выражения, получающиеся после упрощений, i будет входить не более чем в первой степени:

(2 + 5i) + (3 - i) = 2 + 3 + 5i - i = 5 + 4i;

(2 + 5i)(3 - i) = 6 + 15i - 2i - 5i2 = 6 + 13i - 5(-1) = 11 + 13i.

Задача 28.2. Упростите выражения: а) 3 + i ; б) (1 + i)20.

Имея в распоряжении число i, мы можем извлечь корень не только из -1, но и из любого отрицательного числа. Например, в качестве -2 · подойдет число i 2, поскольку (i 2)2 = i2 2 = -2.

Впрочем, -i 2 также даст в квадрате -2; число -i 2 мы тоже будем называть квадратным корнем из -2. Выделять из этих двух квадратных корней один «арифметический корень» мы не будем:

для чисел, в записи которых участвует i, не удается разумным образом определить, какие из них следует считать положительными, а какие — отрицательными.

Задача 28.3. Пользуясь формулой для корней квадратного уравнения, найдите корни уравнения x2 - 4x + 5 = 0 (дискриминант этого уравнения отрицателен, так что в их записи будет участвовать i). Проверьте найденные значения x, подставив их в уравнение.

А если выражение с i стоит в знаменателе Сейчас мы увидим, что всякую дробь, в знаменателе которой присутствует i, можно преобразовать так, чтобы в знаменателе были только обычные числа. Покажем это на примере.

Пусть требуется упростить выражение. Поступим так 2 + 3i же, как мы делали, когда в школьных примерах избавлялись от иррациональности в знаменателе: домножим числитель и знаменатель на «сопряженное выражение» 2 - 3i:

1 2 - 3i 2 - 3i 2 = = = + i.

2 + 3i (2 + 3i)(2 - 3i) 4 - (-9) 13 7 - 11i Задача 28.4. Упростите выражения: а) ; б).

3 + i i Теперь можно ответить на вопрос, стоящий в заглавии этого параграфа: комплексные числа — это те самые выражения с участием i, которыми мы до сих пор занимались. Точнее говоря:

Комплексным числом называется выражение вида a + bi, где a и b — обычные (действительные, или вещественные) числа.

Комплексные числа a + bi и c + di считаются равными, если a = c и b = d. Чтобы сложить или перемножить два комплексных числа, надо раскрыть скобки и привести подобные члены, заменяя i2 на -1.

Если провести это приведение подобных в общем виде, получится вот что:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i;

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i.

Чтобы поделить одно комплексное число на другое, надо «домножить на сопряженные»:

a + bi (a + bi)(c - di) ac + bd bc - ad = = + i.

c + di (c + di)(c - di) c2 + d2 c2 + da + bi Задача 28.5. Умножьте, вычисленное по вышеприведенной c + di формуле, на c+di и убедитесь, что действительно получится a+bi (то есть что деление комплексных чисел действительно является действием, обратным к умножению).

Комплексное число a+bi удобно изображать точкой на плоскости с координатами (a; b) (рис. 28.1). Абсцисса этой точки, то есть a, называется вещественной (или действительной) частью числа a+bi, а ордината этой точки, то есть b, называется мнимой частью числа a + bi. Плоскость с системой координат, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

Комплексные числа, мнимая часть которых равна нулю, располагаются при таком изображении на оси абсцисс (когда речь Рис. 28.1. Комплексная плоскость.

идет о таком изображении комплексных чисел, ось абсцисс принято называть вещественной, или действительной, осью, а ось ординат — мнимой осью). Комплексные числа, лежащие на действительной оси, складываются и умножаются так же, как обычные действительные числа: ведь в их записи i не участвует. Поэтому можно считать, что действительные числа — частный случай комплексных, а действительная ось, которую они заполняют, — это знакомая нам с младших классов числовая прямая.

Задача 28.6. Докажите, что уравнение z2 = -1 не имеет (в комплексных числах) других решений, кроме i и -i.

Указание. Пусть z = x + iy. Тогда z2 = x2 - y2 + i · 2xy. По условию, z2 = -1. Так как комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, получаем:

x2 - y2 = 1;

2xy = 0.

Решите эту систему уравнений.

Задача 28.7. Найдите все комплексные решения уравнения z3 = и изобразите их на комплексной плоскости.

Указание. Решений три; на комплексной плоскости они окажутся вершинами правильного треугольника.

Задача 28.8. Найдите все комплексные решения уравнения z2 = = 5 - 12i.

Задача 28.9. Докажите, что для всякого отличного от нуля комплексного числа a + bi существуют ровно два решения уравнения z2 = a + bi.

Результат задачи 28.9 показывает, что, имея в своем распоряжении комплексные числа, можно извлекать квадратные корни не только из отрицательных, но и вообще из любых комплексных чисел.

Если дано комплексное число z = a + bi, то сопряженным к нему называется число a - bi. Мы уже сталкивались с сопряженными комплексными числами, когда обсуждали деление комплексных чисел. Число, сопряженное к комплексному числу z, обозначается z. Говорят еще, что числа z и z сопряжены друг дру гу. Сопряженные числа изображаются на комплексной плоскости точками, симметричными относительно действительной оси.

Задача 28.10. Докажите тождества:

а) (z) = z; б) (z + w) = z + w; в) (zw) = z + w.

Задача 28.11. Пусть z и w — комплексные числа, не являющиеся действительными. Докажите, что z и w сопряжены тогда и только тогда, когда z + w и zw — действительные числа.

Задача 28.12. Докажите, что всякое квадратное уравнение с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня, сопряженных друг с другом.

Верна ли для таких уравнений теорема Виета Если изобразить комплексные числа точками на плоскости, то оказывается, что у действий над комплексными числами есть геометрический смысл. Давайте выясним, какой геометрический операции соответствует сложение комплексных чисел.

Соединим начало координат 0 (соответствующее числу нуль) с точкой на плоскости, соответствующей комплексному числу z = x + iy — получится вектор OZ, имеющий координаты (x; y). Так как при сложении векторов их координаты складываются, то равенство z1 + z2 = z3 равносильно равенству OZ1 + OZ2 = OZ(рис. 28.2). Итак, сложить комплексные числа — все равно что сложить соответствующие векторы.

Рис. 28.2. Сложение комплексных чисел.

Умножение комплексных чисел также имеет геометрический смысл; мы выясним его в следующем параграфе.

§ 29. Модуль и аргумент комплексного числа Повторить: § 25: отбор чисел на круге.

В этом параграфе мы выясним геометрический смысл умножения комплексных чисел. Сначала — небольшая подготовка.

Расстояние на комплексной плоскости от начала координат (точки O) до точки z называется модулем комплексного числа z.

Модуль комплексного числа z обозначается |z|, как и модуль действительного числа.

Такое совпадение обозначений не приводит к путанице, поскольку модуль действительРис. 29.1.

ного числа также равен расстоянию от соответствующей точки на числовой оси до точки O. Если z = a + bi, то, очевидно, |z| = a2 + b2 (рис. 29.1).

Задача 29.1. Докажите, что для любых комплексных чисел z и w верно неравенство |z + w| |z| + |w|.

Теперь соединим точку z с точкой O. Угол, образуемый полученным отрезком с действительной осью (точнее говоря, с поло а) б) Рис. 29.2.

жительным направлением действительной оси), называется аргументом числа z (рис. 29.2а). Этот угол принято выражать в радианах.

Если z = a + bi, |z| = r, аргумент z равен, то, очевидно, a = r cos ;

b = r sin.

Стало быть, z = r cos + ir sin = r(cos + i sin ).

Запись комплексного числа в виде r(cos + i sin ), где r > 0, называется тригонометрической формой комплексного числа. В тригонометрической форме можно записать любое комплексное число, кроме нуля (аргумент нуля мы не определяем).

Запишем, например, в тригонометрической форме число z = = -1-i. Очевидно, |z| = 2, и из рис. 29.2б видно, что в качестве аргумента можно взять 5/4:

5 -1 - i = 2 cos + i sin.

4 Впрочем, с тем же успехом можно было бы сказать, что аргу мент -1 - i равен -3 : ведь равенство -1 - i = 2 cos - + +i sin - также верно. Вообще, аргумент комплексного числа определен не однозначно, а с точностью до прибавления 2n, где n — целое число. В качестве аргумента числа z можно взять любое число, для которого z = |z|(cos + i sin ).

Задача 29.2. Найдите аргументы следующих чисел, после чего запишите эти числа в тригонометрической форме: а) i; б) -1; в) 3 + i; г) 3 - i; д) -(cos + i sin ); е) cos - i sin.

Задача 29.3. Докажите, что = cos - i sin.

cos + i sin Пусть теперь нам даны комплексные числа z1 = r1(cos 1 + + i sin 1) и z2 = r2(cos 2 + i sin 2). Давайте их перемножим:

z1z2 = r1(cos 1 + i sin 1)r2(cos 2 + i sin 2) = = r1r2(cos 1 + i sin 1)(cos 2 + i sin 2) = = r1r2(cos 1 cos 2 - sin 1 sin 2)+ + i(sin 1 cos 2 + cos 1 sin 2) = = r1r2(cos(1 + 2) + i sin(1 + 2)).

(мы воспользовались формулами синуса и косинуса суммы).

Как видите, если перейти к тригонометрической форме, то умножение комплексных чисел запишется простой формулой:

r1(cos 1 + i sin 1)r2(cos 2 + i sin 2) = = r1r2(cos(1 + 2) + i sin(1 + 2)).

Или словами:

При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Поскольку деление — действие, обратное к умножению, то:

При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Итак, мы придали геометрический смысл умножению комплексных чисел, рассматриваемых как векторы на плоскости. На первый взгляд это противоречит сказанному в § 17, где мы говорили, что геометрически определить умножение векторов на плоскости невозможно. Представьте себе, однако, что у нас даны два вектора и мы хотим их умножить «как комплексные числа»— тут же выяснится, что для того, чтобы сложить аргументы, надо сначала иметь ось, от которой эти аргументы отсчитывать, причем если выбрать «действительную ось» по-другому, то произведение изменится! Рассматривая умножение комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, мы убедились, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются. Запишем это свойство комплексных чисел в виде формулы |zw| = |z| · |w|. (29.1) Задача 29.4. Докажите формулу (29.1), исходя из определения умножения комплексных чисел.

Задача 29.5. а) Докажите, что |z| = z · z; б) выведите из этой формулы тождество (29.1).

Формулу (29.1) можно переписать и не используя комплексных чисел. В самом деле, если z = a1 + b1i и w = a2 + b2i, то, возводя (29.1) в квадрат, получаем такое тождество:

(a2 + b2)(a2 + b2) = (a1a2 - b1b2)2 + (a1b2 + b1a2)2. (29.2) 1 1 2 Разумеется, это тождество легко проверить и непосредственно.

Задача 29.6. Докажите, что число 32858969712941053630927296788431704044342041015625 = 531·является суммой квадратов двух целых чисел.

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 18 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.