WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 18 |

нанесем на тригонометрический круг черные точки — числа вида + 2k и белые точки — числа вида 3n. То, что получится, изображено на рис. 25.2.

На основании этого рисунка надо, казалось бы, сделать вывод, что решений у уравнения нет: ведь на рисунке нет черных точек, не совпадающих с белыми. Тем не менее легко видеть, что, скажем, число x = будет решением уравнения. Где же мы ошиблись Дело в том, что изображение чисел вида 3n, где Рис. 25.2.

n Z, на тригонометрическом круге неадекватно: верно, что все такие числа изображаются одной из белых точек на рис. 25.2, но неверно, что все числа, соответствующие белым точкам, имеют вид 3n с целым n: белым точкам на рис. 25.2 соответствуют и числа, 2, 4, и т. д.

Вообще, изображение множества чисел на тригонометрическом круге будет адекватно, только если это множество «имеет период 2»: вместе с каждым числом x содержит числа x - 2 и x + 2.

В частности, будет иметь период 2 множество решений уравнения, обе части которого имеют период 2 как функции от x.

cos(x/2) Доведем теперь до конца решение уравнения = 0.

sin(x/3) Все, что нам нужно, — выяснить, для каких целых чисел k число x = +2k окажется посторонним корнем. Это будет тогда, когда найдется такое число n Z, что + 2k = 3n. Сокращая в этом равенстве на, получаем вопрос, к которому все сводится: для каких k Z существует такое n Z, что 1 + 2k = 3n 3n - Чтобы ответить на этот вопрос, выразим k через n: k = ;

выделим из этой дроби «целую часть»:

3n - 1 2n + n - 1 n - k = = = n +. () 2 2 n - Так как k и n — целые числа, то — тоже целое число. Значит, n - = m, n = 2m + 1 (m Z). Подставляя в (), получаем k = 3m + 1 (m Z). Итак, мы получили ответ на наш вопрос:

посторонние корни получаются при k = 3m + 1, m Z. Нас же интересуют как раз все остальные k. Ясно, что сказать «k = 3m+ 1, m Z»— все равно, что сказать «число k при делении на 3 дает остаток, не равный 1». Однако кроме единицы при делении на возможны только остатки 0 или 2. Так что можно еще сказать, что для числа x = +2k, являющегося корнем, число k дает при делении на 3 остаток 0 или 2, или, иными словами, k = 3m или k = 3m + 2, m Z. Подставляя это выражение для k, получаем окончательно ответ: x = + 6m или x = 5 + 6m.

Прием, позволивший нам выделить «плохие» значения k, срабатывает всегда; как им пользоваться в общем случае, рассказано в приложении к этому параграфу.

cos(x/2) Заметим еще, что и для уравнения = 0 можно было sin(x/3) бы обойтись изображением чисел на круге. Для этого надо было бы сделать замену переменной x = 6t. После этого уравнение cos 3t принимает вид = 0. Левая часть этого уравнения уже имеет sin 2t период 2 как функция от t, так что его можно решать, отбирая числа на круге. Найдя t, остается найти x = 6t.

Задача 25.1. Решите уравнения:

sin 3x sin 4x а) = 0; б) = 0;

cos 6x cos 5x sin 4x cos 3x в) = 1; г) = 1;

cos 6x sin 2x д) tg 5x = tg 3x.

Задача 25.2. Решите уравнения:

а) sin 3x + cos 4x = 2; б) sin 3x - cos 2x = 2;

в) sin 4x + | sin 5x| = 2; г) sin3 5x + sin4 7x = 2;

x x д) sin - sin = -2.

3 Указание к пункту а). При всех x верны неравенства sin 3x 1, cos 4x 1. Складывая их, получаем, что sin 3x+cos 4x 2, причем равенство достигается только в том случае, когда оба слагаемых одновременно равны 1.

Задача 25.3. Решите уравнения:

а) sin 6x cos 8x = 1; б) cos 4x cos 5x = 1;

x x в) cos 8x cos 3x = -1; г) sin cos = -1;

10 x x д) cos cos = 1.

2 Указание к пункту а). При всех x верны неравенства | sin 6x| 1, | cos 8x| 1. Следовательно, sin 6x cos 8x = 1 тогда и только тогда, когда оба сомножителя одновременно равны 1 или -1.

Задача 25.4. а) Решите уравнение cos x + cos(x 2) = 2.

б) При каких значениях a уравнение cos x + cos(ax) = 2 имеет бесконечно много решений Приложение. Линейные неопределенные уравнения с двумя неизвестными При отборе корней тригонометрических уравнений иногда приходится отвечать на вопросы наподобие: «для каких k Z существует такое n Z, что 44k + 6 = 166n» Посмотрим на этот вопрос немного с другой стороны: выясним, для каких вообще целых k и n выполняется равенство 166n - 44k = 6. Такого рода задачи называются неопределенными уравнениями (точнее говоря, линейными неопределенными уравнениями с двумя неизвестными, но эти уточняющие слова мы будем опускать, поскольку других неопределенных уравнений нам не встретится). Расскажем, как можно решать такие уравнения.

Первое, что надо сделать для решения неопределенного уравнения, — это найти наибольший общий делитель коэффициентов при неизвестных и попробовать сократить на него обе части уравнения (разумеется, свободный член должен при этом остаться целым числом). Рассмотрим, например, уравнение 21k - 24n = 8.

Наибольший общий делитель коэффициентов равен 3, и сократить на него не удается, так как 8 на 3 не делится. Тогда можно сразу сказать, что это уравнение решений в целых числах не имеет. В самом деле, если (k; n) — решение этого уравнения1, то левая В этом приложении под «решением» мы всегда понимаем целочисленное решение.

часть делится на 3 (так как на 3 делятся оба коэффициента), а правая часть на 3 не делится. Значит, у этого уравнения решений нет. Сформулируем примененное нами соображение в общем виде:

Если в уравнении ax+by = c (с целыми a, b и c) коэффициенты a и b делятся на некоторое число d, а свободный член c не делится на d, то это уравнение не имеет решений в целых числах.

Мы указали одну причину, по которой наше неопределенное уравнение может не иметь решений. Оказывается, во всех остальных случаях решения обязательно будут.

Если в неопределенном уравнении ax+by = c свободный член c делится на наибольший общий делитель коэффициентов a и b (в частности, так будет, если a и b вообще не имеют общих делителей, кроме единицы), то уравнение обязательно имеет решения в целых числах.

Мы не будем доказывать это утверждение, а просто покажем, как искать решения.

Решим уравнение 166n - 44k = 6. Для начала, как мы уже говорили, поделим обе части на 2: 83n - 22k = 3. Теперь выберем ту неизвестную, коэффициент при которой меньше по абсолютной величине — в нашем случае это k, — и выразим ее через другую 83n - неизвестную: k =. Выделим в этой дроби целую часть:

83n - 3 66n + 17n - 3 17n - k = = = 3n +. () 22 22 Как видите, целочисленные решения нашего уравнения будут получаться, если подставлять в него все те целые n, для которых 17n - число тоже будет целым: ведь тогда из () получается, 17n - что и k — целое число. Но как же узнать, когда число 17n - будет целым Для этого обозначим буквой t и запишем:

17n - = t, или 17n - 3 = 22t. Как видите, снова получилось неопределенное уравнение, но его коэффициенты уже меньше, чем у исходного. Проделаем с этим новым уравнением ту же операцию, что и c исходным: выразим из него ту неизвестную, коэффициент при которой меньше по абсолютной величине (на сей раз это будет n), и выделим из получающейся дроби целую часть:

22t + 3 17t + 5t + 3 5t + n = = = t +. () 17 17 5t + Из () видно, что число обязано быть целым. Обозначим 5t + его буквой s: = s, 5t + 3 = 17s. Продолжая в том же духе, выразим t через s:

17s - 3 2s - t = = 3s +.

5 2s - 3 2s - Обозначим, далее, буквой v: = v, 2s - 3 = 5v, 5 5v + 3 v + 3 v + s = = 2v +. Обозначим, наконец, буквой u:

2 2 v + = u, v = 2u - 3. В этом месте наши мучения и кончаются. В самом деле, нам надо выяснить, для каких целых v чисv + ло будет целым, и ответ на этот вопрос уже готов: если v = 2u - 3, где u — любое целое число! (дело тут, конечно, в том, что в неопределенном уравнении v = 2u - 3 коэффициент при v равен единице). Теперь, чтобы получить решения исходного уравнения, нам осталось последовательно выразить v через u, s через v, t через s, n через t и k через n. Отправимся в обратный путь:

v + 3 2s - v = 2u - 3; s = 2v + = 5u - 6; t = 3s + = 17u - 21;

2 5t + 3 17n - n = t + = 22u - 27; k = 3n + = 83u - 102. Итак, ре17 шение получено: k = 83u-102, n = 22u-27, где u — произвольное целое число. Стало быть, ответ на наш исходный вопрос таков:

пусть k — целое число. Тогда 44k + 6 = 166n для некоторого n Z тогда и только тогда, когда k = 83u - 102, где u Z.

Изложенный нами способ нахождения решения линейного неопределенного уравнения с целыми коэффициентами называется алгоритмом Евклида.

Задача 25.5. Для каких целых k существует такое целое n, что 7k - 19 = 5n Задача 25.6. Решите уравнения в целых числах:

а) 17x + 19y = 1; б) 26x - 78y = 143; в*) 7x2 - 4y = 5.

Задача 25.7. При решении в целых числах уравнения 166n-44k = = 6 нам пришлось ввести помимо n и k четыре дополнительные переменные (t, s, v и u). Приведите пример неопределенного уравнения вида ax + by = c, в котором a и b — двузначные числа, для решения которого по изложенному методу надо ввести восемь дополнительных переменных. Попробуйте также доказать, что большего количества дополнительных переменных при двузначных a и b никогда не потребуется.

§ 26. Как решать тригонометрические неравенства Повторить: § 6. Определение тригонометрических функций.

§ 11. Графики синуса и косинуса.

Мы начнем с простейших неравенств, к которым любое тригонометрическое неравенство в конечном счете сводится.

Пример 26.1. sin x > 1/2.

Решение. Для начала выясним, какие точки на тригонометрической окружности соответствуют решениям неравенства. Это — точки, ордината которых больше 1/2, и на окружности они заполняют дугу P Q, отмеченную на рис. 26.1.

Теперь можно записать множество чисел, соответствующих Рис. 26.1.

точкам на дуге P Q. Ясно, что это множество содержит интервал (/6; 5/6) (/6 соответствует точке P, 5/6 — точке Q), а вообще наше множество состоит из всех интервалов (/6+2k; 5/6+ 2k), где k — целое: ведь если точке на тригонометрической окружности соответствует число x, то ей же соответствуют и все числа вида x + 2k (k Z) (рис. 26.2).

Рис. 26.2.

Ответ к неравенству можно записать так:

(/6 + 2k; 5/6 + 2k) (k Z) или еще проще: /6 + 2k < x < 5/6 + 2k.

Пример 26.2. sin x 1/3.

Решение. На тригонометрической окружности множество решений неравенства изобразится дугой P Q, отмеченной на рис. 26.3. Нам нужно выбрать на числовой оси какой-нибудь отрезок, соответствующий этой дуге, и тогда останется только прибавить к его границам 2n. Выберем Рис. 26.3.

какое-нибудь число, соответствующее одному из концов дуги. Очевидно, точке P соответствует arcsin. Раз это число выбрано, выбор числа, соответствующего другому концу, уже предопределен. Чтобы найти это число, надо сдвинуться из точки arcsin на числовой оси в отрицательном направлении на расстояние, равное длине дуги P Q. Точке O на окружности соответствует ноль, точке B — число -, а точке Q — чис1 ло, расположенное еще на arcsin левее, то есть - - arcsin.

3 Стало быть, один из отрезков, соответствующих дуге P Q, будет 1 - -arcsin ; arcsin, а ответом к неравенству sin x 1/3 будет 3 объединение отрезков 1 - - arcsin + 2k; arcsin + 2k (k Z).

3 Разумеется, тот же ответ можно представить и по-иному, например 1 1 - + 2k; arcsin + 2k ; - arcsin + 2k; + 2k.

2 3 3 Пример 26.3. tg x > -.

Решение. Используя ось тангенсов, легко убедиться, что на тригонометрической окружности решения неравенства изображаются двумя дугами, отмеченными на рис. 26.4. Дуге P Q соответству ет интервал - ; arctg -, а дуге MN — ин тервал ; + arctg -. Второй из этих ин- Рис. 26.4.

2 тервалов получается из первого сдвигом на, так что ясно, что ответ к неравенству — это объединение интервалов 3 - + n; arctg - + n (n Z).

2 При решении простейших тригонометрических неравенств можно также пользоваться не тригонометрическим кругом, а графиками. Например, чтобы решить то же неравенство sin x 1/3, достаточно отметить на числовой оси такие точки, что лежащие над ними точки графика y = sin x имеют ординату не более 1/(рис. 26.5). По этому рисунку легко записать ответ.

При оформлении решений простейших тригонометрических неравенств не надо записывать рассуждений наподобие тех, что мы проводили в этих примерах: достаточно рисунка наподобие рис. 26.3 и ответа. Можно также нарисовать рисунок наподобие рис. 26.5 и опять же записать ответ.

Задача 26.1. Решите неравенства:

Рис. 26.5.

а) cos x 0; б) sin x < 0;

x в) cos 100x 0; г) cos 0;

д) tg 2x < 0.

Задача 26.2. Решите неравенства:

2 а) sin 2x ; б) sin x < - ;

2 в) | sin x| ; г) tg x 1;

д) | tg x| >.

Задача 26.3. Решите неравенства:

1 2 а) sin x < ; б) cos 3x > - ; в) | sin x| ;

4 9 г) tg x 5.

Задача 26.4. Решите неравенства:

а) sin x > sin 1; б) sin x sin 7; в) cos x > cos 10;

г) cos x sin 2; д) tg x < ctg 10.

Задача 26.5. Решите неравенства:

а) 2 sin2 x - 3 cos x - 1 0;

б) 9 cos 4x + 6 cos 2x + 5 < 0;

в) cos 2x - 2 sin x + 5 > 0.

Задача 26.6. Решите неравенства:

а) arccos x ; б) arccos x < 2;

в) arcsin x - ; г) arccos x <.

4 Приведем пример решения более сложного неравенства.

2 sin x + Пример 26.4. 0.

x 2 cos - Решение. Мы применим «метод интервалов», который должен быть вам знаком по решению рациональных неравенств. Рецепт таков: надо на числовой оси отметить те точки, в которых обращаются в нуль числитель и знаменатель; на каждом из интервалов, на которые делится этими точками числовая ось, знак левой части будет постоянен, и останется только записать ответ как объединение интервалов с нужным знаком. В случае тригонометрических неравенств точек и интервалов будет, как правило, бесконечно много, однако они будут периодически повторяться, поэтому достаточно все проделать на отрезке длиной в период.

В нашем случае наименьшим периодом числителя будет 2, а знаменателя 4. Будем поэтому рассматривать знак левой части на отрезке [0; 4]: его длина равна 4, а это число служит периодом как числителя, так и знаменателя.

Легко видеть, что на отрезке [0; 4] числитель обращается в 7 11 19 нуль в точках,, и, а знаменатель — в точках 6 6 6 2 и. Знаки числителя, знаменателя и левой части удобно 3 записать в таблице (точки, в которых знаменатель обращается в нуль, мы в интервалы не включили).

2 7 7 11 11 Интервал 0; ; ; ;

3 3 6 6 6 6 2 sin x + 1 + + - + x 2 cos - 1 + - - Левая часть + - + 19 10 10 23 Интервал ; ; ; 6 3 3 6 2 sin x + 1 - - + x 2 cos - 1 - + + Левая часть + - + Теперь, выделяя промежутки, на которых левая часть неотрицательна, и прибавляя к концам 4k, получаем 7их 2 11 Ответ: 4k; + 4k ; + 4k; + 4k ; + 4k; + 6 6 6 23 + 4k ; + 4k; 4 + 4k (k Z).

Задача 26.7. Ответ к неравенству из 7 19примера 26.4 можно записать 11 и так: + 4k; + 4k ; + 4k; + 4k ; + 6 6 6 3 + 4k; + 4k (k Z). Убедитесь, что ответ в этой форме задает то же самое множество значений x.

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 18 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.