WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 18 |

Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение можно получить и геометрически. В самом деле, отложим от начала координат векто ры OA и OB, имеющие длину 1 и образу ющие с положительным направлением оси абсцисс углы и соответственно; пусть OC = OA + OB (рис. 22.1). Тогда, очевидно, OA = (cos ; sin ), OB = (cos ; sin ), OC = (cos + cos ; sin + sin ).

Рис. 22.1.

С другой стороны, так как OA = OB = 1, параллелограмм OACB является ромбом. Следовательно, OC — биссектриса угла AOB, откуда BOC =, и для равнобедренного треугольника OBC имеем - OC = 2 · OB · cos BOC = 2 cos.

- Так как вектор OC составляет с осью абсцисс угол + = + =, то + + OC = OC cos ; OC sin = 2 + - + - = 2 cos cos ; 2 sin cos.

2 2 2 Сопоставляя два выражения для координат вектора OC, получаем + - cos + cos = 2 cos cos ;

2 + - sin + sin = 2 sin cos 2 в согласии с выведенными нами формулами.

Задача 22.2. Докажите тождества:

а) sin( + ) sin( - ) + sin( + ) sin( - ) + + sin( + ) sin( - ) = 0;

б) 4 sin sin(/3 - ) sin(/3 + ) = sin 3;

в) cos + cos 2 + cos 6 + cos 7 = 4 cos cos cos 4.

2 Задача 22.3. В предположении, что + + =, докажите равенства:

sin + sin а) = ctg ;

cos + cos б) sin + sin + sin = 4 cos cos cos ;

2 2 в) sin2 + sin2 + sin2 = 2 + 2 cos cos cos.

Задача 22.4. Пусть в треугольнике против сторон a, b, c лежат соответственно углы,,. Докажите формулы:

+ tg ctg a + b 2 = =.

- a - b tg tg 2 Эти формулы называются формулами Региомонтана, или теоремой тангенсов.

Задача 22.5. а) В предположении, что + + + =, докажите тождество:

sin sin + sin sin = sin( + ) sin( + ).

б) Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Докажите, что AB·CD+BC·AD = AC·BD (во вписанном четырехугольнике сумма произведений противоположных сторон равна произведению диагоналей — теорема Птолемея).

Формулы, которыми мы занимались в этом параграфе, применяются в радиотехнике. Пусть нам надо передать по радио голос диктора частотой, скажем, 300. На таких низких частотах вести радиопередачу невозможно: частоты радиоволн, применяемых для радиовещания, могут измеряться миллионами. Волны а) Диктор молчит. б) Диктор заговорил.

Рис. 22.2.

таких частот используют так. Пока диктор молчит, в эфир идут только радиоволны высокой частоты (несущая частота — см.

график на рис. 22.2а).

Никакой информации с этим сигналом не передается. Пусть теперь диктор начал издавать звуки с частотой ( много меньше, чем ); тогда в эфир идет сигнал u = (A sin t) sin t. Примерный график его представлен на рис. 22.2б. Можно сказать, что амплитуда колебаний высокой частоты сама претерпевает колебания с низкой частотой. Как говорят, высокочастотный сигнал модулируется низкочастотным (все сказанное — лишь грубая схема того, что на самом деле происходит в приемнике).

Преобразуем выражение для модулированного сигнала:

A A u = A sin t sin t = cos( - )t - cos( + )t.

2 Как видите, наш модулированный сигнал — не что иное, как сумма сигналов с частотами + и -. Так что когда говорят, что радиостанция ведет передачу на частоте, скажем, = 10, то надо помнить, что фактически в эфир идут не только радиоволны частоты, но и волны всех частот из интервала [ -; +] где — максимальная частота полезного сигнала, передаваемого радиостанцией. Значит, несущие частоты разных радиостанций не могут быть слишком близки друг к другу: если отрезки [ - ; + ] будут перекрываться, то радиостанции будут мешать друг дружке.

Еще одно приложение формул из этого параграфа — вычисление суммы косинусов или синусов чисел, образующих арифметическую прогрессию (в физике такие вычисления используются при исследовании явления дифракции).

Пусть нам надо упростить выражение cos + cos( + h) + cos( + 2h) +... + cos( + 10h).

Для начала решим эту задачу геометрически, а потом покажем, как к ней можно применить наши формулы. Рассмотрим следующие векторы: a0 = (cos ; sin ), a1 = (cos( + h); sin( + h)),..., a10 = (cos( + 10h); sin( + 10h)). Очевидно, искомая сумма — это абсцисса вектора a0 + a1 +... + a10. Найдем эту сумму векторов.

Для этого отложим OA1 = a0 от начала координат, A1A2 = aот точки A1 и т. д. (рис. 22.3). Тогда a0 + a1 +... + a10 = OA11.

Рис. 22.3. OA1 = a0, A1A2 = a1,..., A10A11 = a10.

Чтобы найти координаты вектора OA, найдем его длину и угол наклона к оси абсцисс. Для этого заметим, что каждый из отрезков OA1, A1A2,... имеет длину 1 и повернут относительно предыдущего на один и тот же угол h радиан. Следовательно, точки O, A1, A2,..., A11 лежат на одной окружности. Ее центр Z является точкой пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам OA1 и A1A2. Если F Z и GZ — эти перпендикуляры, то F ZG = h, так что F ZA1 = h/2 и радиус окружности R равен F A1/ sin F ZA1 = 1/2 sin(h/2) (напомним, что длины отрезков OA1 и A1A2 равны единице). Так как, очевидно, OZA1 = = A1ZA2 =... = A10ZA11 = h, то OZA11 = 11h, и из равнобедренного треугольника OZA11 имеем OZA11 sin(11h/2) OA11 = 2R sin =.

2 sin(h/2) Чтобы найти угол наклона вектора OA11 к оси абсцисс, заметим, что центральный угол A1ZA11 = 10h, так что вписанный угол A11OA1, опирающийся на дугу A1A11, равен 10h/2 = 5h, а A11OX = A11OA1 + = + 5h. Стало быть, OA11 = (OA11 cos( + 5h); OA11 sin( + 5h)) = 11h 11h sin cos( + 5h) sin sin( + 5h) 2 = ;.

sin(h/2) sin(h/2) Сопоставляя две записи для координат вектора OA11, получаем формулы:

cos + cos( + h) + cos( + 2h) +... + cos( + 10h) = 11h sin cos( + 5h) = ;

sin(h/2) sin + sin( + h) + sin( + 2h) +... + sin( + 10h) = 11h sin sin( + 5h) =.

sin(h/2) Первая из этих формул — это то, к чему мы стремились, вторая получилась в качестве побочного продукта.

Как видите, вычисления оказались довольно длинными. К тому же читатель-педант может заметить, что чертеж на рис. 22.получается только для достаточно малых h, а при больших h ломаная OA1 · · · A10A11 может обойти всю окружность, и не один раз, так что чертеж будет другой. На самом деле наша формула верна при всех и h (если только знаменатель sin(h/2) не равен нулю; но последнее возможно только если h = 2n для некоторого целого n, а тогда и без всякой формулы ясно, что сумма равна 11 cos ). Чтобы в этом убедиться, давайте подсчитаем нашу сумму, не используя чертеж.

Именно, умножим и разделим нашу сумму на 2 sin(h/2):

cos + cos( + h) + cos( + 2h) +... + cos( + 10h) = = (2 sin(h/2) cos + 2 sin(h/2) cos( + h) + 2 sin(h/2) + 2 sin(h/2) cos( + 2h) +... + 2 sin(h/2) cos( + 10h)).

Каждое из слагаемых в скобках вида 2 sin(h/2) cos( + mh) преобразуем так:

h h 2 sin(h/2) cos( + mh) = sin + mh + + sin - - mh + = 2 1 = sin + m + h - sin + m - h.

2 Подставляя это в нашу формулу, видим, что сумма равна 1 h h 3h sin + - sin - + sin + +... + 2 sin(h/2) 2 2 1 1 + sin + 10 + h - sin + 9 + h ;

2 если раскрыть скобки, то сократятся все слагаемые, за исключе h 1 нием - sin - и sin + 10 + h, и сумма будет равна 2 1 h 11h sin( + (10 + )h) - sin( - ) 2 sin cos( + 5h) 2 2 = 2 sin(h/2) 2 sin(h/2) (мы преобразовали сумму в произведение). Сокращая двойки в числителе и знаменателе, получаем ту же формулу, что мы нашли геометрически.

Наше второе вычисление короче и проще первого, но менее естественно. Когда мы познакомимся с комплексными числами, мы научимся находить такие суммы наиболее естественным (хотя и не наиболее коротким) способом.

Задача 22.6. Докажите, что на рис. 22.3 точки O, A1, A2,..., Aдействительно лежат на одной окружности.

Задача 22.7. Упростите выражения:

а) cos x - cos(x + h) + cos(x + 2h) - cos(x + 3h) +... - cos(x + 9h) + cos(x + 10h);

б) sin x + sin 2x +... + sin 100x.

Задача 22.8. Через центр окружности, описанной около правильного многоугольника, проведена прямая. Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин многоугольника до этой прямой не зависит от выбора прямой.

§ 23. Производные тригонометрических функций Повторить: § 4: малые углы;

§ 5: часы, или современный взгляд на тригонометрию;

§ 11: графики синуса и косинуса.

Для начала вспомним, что такое вообще производная.

Посмотрим на таблицу значений функции y = 0,7x + 0,4:

x 3 4 5 6 7 8 0,7x + 0,4 2,5 3,2 3,9 4,6 5,Чтобы продолжить заполнение этой таблицы, не нужно даже подставлять x = 8, x = 9... в выражение 0,7x + 0,4: достаточно заметить, что при увеличении x на 1 значение y увеличивается на 0, 7. Это и не удивительно: ведь наша функция линейна, а у линейных функций одинаковым изменениям аргумента соответствуют одинаковые изменения функции.

Если, однако, функция линейной не является, то положение будет другим. Посмотрим, для тех же значений x, на таблицу значений функции y = x (приближенные значения даны с тремя знаками после запятой):

x 3 4 5 6 7 8 x 1,732 2,000 2,234 2, На сей раз при увеличении x на 1 значение x увеличивается то на 0,268, то на 0,234, то еще как-нибудь. Исходя только из этой таблицы, предсказать значение 7 будет затруднительно. Возьмем, однако, значения x с меньшим шагом, скажем, отстоящие друг от друга на 0,01:

x 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00 1,01 1, x 0,975 0,980 0,985 0,990 0,995 1,000 1,005 1, (значения x вновь взяты с тремя знаками после запятой).

Чудесным образом вновь возникла та же ситуация, что была у с линейной функцией: при увеличении x на 0,01 значение нас x увеличивается всегда на 0,005. Точные значения приращений друг другу все равно, конечно, не равны, но приближенно можно сказать, что при изменениях x на отрезке [0,95; 1,02] функция y = x ведет себя как линейная функция.

Таким свойством обладает не только функция g(x) = x.

Большинство интересных функций при изменении аргумента на малых промежутках ведут себя почти как линейные функции:

равным изменениям аргумента соответствуют приближенно равные изменения функции. По-ученому такие функции называются «дифференцируемыми» или «гладкими».

В эпоху, предшествовавшую распространению калькуляторов и компьютеров, этим свойством пользовались при нахождении значений функций с помощью таблиц. Если, допустим, в таблице были приближенные значения для 1,93 и 1,94, а требовалось найти 1,931, то поступали так: к табличному значению 1,прибавляли одну в таблице зна десятую от разности приведенных чений 1,94 и 1,93, как если бы функция y = x на отрезке [1,93; 1,94] была линейна. Такой способ обращения с таблицами назывался линейной интерполяцией.

Давайте выразим то, что мы узнали про функцию y = x, с помощью формулы. Если x близко к 1, то при увеличении x на 0,01 значение x увеличивается примерно на 0,005, т. е. на в два раза меньшую величину. Если x отстоит от 1 на малую величину h, то x отстоит от 1 примерно на h/2. Стало быть, для малых h h верна приближенная формула 1 + h 1 +.

Рассмотрим теперь вместо y = x произвольную «достаточно хорошую» функцию y = f(x) и число a из ее области определения. При x, близких к a, изменения значений f(x) приблизительно пропорциональны изменениям значений x. Обозначим коэффициент пропорциональности буквой c; тогда если x отстоит от a на малую величину h, то f(x) отстоит от f(a) приблизительно на ch, так что f(a + h) f(a) + ch.

Если при малых h верна приближенная формула f(a + h) f(a) + ch, то число c называется производной функции f в точке a. Производная функции f в точке a обозначается f (a).

Результат наших экспериментов над функцией y = x можно теперь записать так: производная функции y = x в точке 1 равна 1/2.

Как искать производные функций, не обращаясь к таблицам их значений Рассмотрим произвольную функцию y = f(x). Из приближенной формулы f(a + h) f(a) + ch число c = f(a) выражается так:

f(a + h) - f(a) f(a).

h Чем меньше a, тем эта формула точнее. Стало быть, f (a) — это число, к которому приближается отношение f(a + h) - f(a) h при h, приближающемся к нулю.

f(a + h) - f(a) Говоря по-ученому, f(a) равна «пределу при h, h стремящемся к нулю». Еще раз повторим, что этот предел может не существовать, но он существует для большинства интересных функций (и в большинстве точек).

Вот как можно найти этим способом производную функции f(x) = x3. Чтобы найти ее производную в точке a, надо узнать, (a + h)3 - aк чему приближается отношение при приближении h h к нулю. После упрощений с использованием формулы куба суммы это выражение примет вид 3a2 + 3ah + h2. Ясно, что при стремлении h к нулю это выражение приближается к 3a2, так что f (a) = 3a2, если f(x) = x3.

Теперь найдем производную функции y = x. Чтобы найти эту производную в точке a, надо узнать, к чему приближается a + h - a отношение при приближении h к нулю. Для этого h обозначим a через b, a + h - a через t; тогда a + h будет равен b + t; запишем еще число h в виде h = (a + h) - a = ( a + h)2 - ( a)2 = (b + t)2 - b2.

Тогда получается:

a + h - a t t = = =.

h (b + t)2 - b2 2bt - b2 2b - t Когда h приближается к нулю, число t = a + h - a тоже при a + h - a ближается к нулю, так что приближается к 1/2h = h = 1/2 a. Стало быть, производная функции y = x в точке a равна 1/2 a. При a = 1 получается 1/2, что согласуется с результатами нашего эксперимента.

Более подробно о производной вы прочитаете в книжках, посвященных основам анализа. Мы же еще напомним только, как производная связана с графиками функций.

Рассмотрим на графике функции y = f(x) секущую, соединяющую точки (a; f(a)) и (a + h; f(a + h)) (рис. 23.1). Если — угол наклона этой секущей к оси абсцисс, то из треугольника P QR f(a + h) - f(a) имеем = tg. Когда h уменьшается до нуля, точh ка R(a + h; f(a + h)) сливается с точкой P (a; f(a)), секущая P R превращается в касательную к графику в точке P, а отношение f(a + h) - f(a) превращается в f(a). Стало быть:

h производная функции y = f(x) в точке a равна тангенсу угла между касательной к графику функции в точке (a; f(a)) и осью абсцисс.

Рис. 23.1.

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 18 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.