WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 18 |
И. М. Гельфанд, С. М. Львовский, А. Л. Тоом ТРИГОНОМЕТРИЯ Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия по тригонометрии для учащихся 10 классов общеобразовательных учреждений МЦНМО АО «Московские учебники» Москва 2002 ББК 22.151.0 Г32 Г32 И. М. Гельфанд, С. М. Львовский, А. Л. Тоом. Тригонометрия. М.: МЦНМО, 2002. — 199 с.

ISBN 5-94057-050-X Эта книга, написанная группой авторов под руководством одного из крупнейших математиков 20 века академика И. М. Гельфанда, призвана опровергнуть расхожее мнение о тригонометрии как скучном и непонятном разделе школьного курса математики. Читателю предлагается взглянуть на знакомый предмет по-новому. Изложение, сопровождающееся большим количеством задач, начинается «с нуля» и доходит до материала, выходящего довольно далеко за рамки школьной программы; тригонометрические формулы иллюстрируются примерами из физики и геометрии.

Отдельная глава посвящена типичным приемам решения тригонометрических задач, предлагаемых на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения.

Книга будет незаменимым помощником для школьников старших классов, преподавателей, родителей и всех, интересующихся математикой.

©И. М. Гельфанд, С. М. Львовский, А. Л. Тоом, 2002 ISBN 5-94057-050-X ©МЦНМО, 2002 Предисловие Что такое тригонометрия Скучные и никому не нужные формулы — скажут почти все старшеклассники. Тем не менее, мы хотим вас в этом разубедить.

Чтобы взглянуть на тригонометрию по-новому, мы рассказываем о ней «с нуля». Поэтому читать пособие лучше с самого начала и подряд, хотя кое-что вы, скорее всего, уже знаете.

Наши определения равносильны определениям из школьных учебников, но не всегда дословно с ними совпадают.

Не надо стремиться перерешать все задачи из книги (мы сознательно поместили их с запасом), но сколько-то задач после каждого параграфа порешать стоит. Если задачи к параграфу совсем не выходят, значит, что-то вы не усвоили, и есть смысл перечитать этот параграф.

Более трудные задачи отмечены звездочкой, более трудный текст напечатан мелким шрифтом. При первом чтении все это можно пропустить.

Теперь более подробно о содержании книги. В первых двух главах речь идет о начальных понятиях тригонометрии (точнее говоря, о той ее части, в которой не участвуют формулы сложения). Третья глава («Решение треугольников») посвящена применениям тригонометрии к планиметрии. (Имейте в виду, что решение треугольников — не единственный раздел геометрии; не следует думать, что, проработав только нашу книжку, вы уже научитесь решать геометрические задачи.) Четвертая глава посвящена формулам сложения и их следствиям. Это — центральная часть тригонометрии (и книги), и именно здесь сосредоточены основные тригонометрические формулы.

Мы надеемся, что после изучения этой главы вы поймете, откуда они берутся, и научитесь в них ориентироваться. Мы начинаем эту главу с параграфов, в которых рассказано о векторах на плоскости, а сами тригонометрические формулы иллюстрируем примерами из физики.

Тригонометрия по традиции занимает большое место в материалах конкурсных экзаменов в вузы; чтобы научиться уверенно решать экзаменационные задачи по тригонометрии, нужна тренировка. В пятой главе мы описываем типичные приемы решения тригонометрических уравнений и неравенств. Многие из задач к этой главе взяты из материалов приемных экзаменов в Московский государственный университет и ведущие вузы.

Заключительная шестая глава, напротив, посвящена теме, не входящей в программу вступительных экзаменов, но тесно связанной с тригонометрией — комплексным числам. Мы надеемся, что наши читатели получат удовольствие от знакомства с этим красивым и важным разделом математики.

При написании пятой главы нам помогли беседы с Ж. М. Рабботом; часть задач к этой главе мы позаимствовали из известного «Сборника задач по математике для конкурсных экзаменов в вузы» под редакцией М. И. Сканави. Многие задачи по планиметрии взяты из сборников И. Ф. Шарыгина. Обсуждение примеров из физики и комплексных чисел многим обязано заслуженно популярным «Фейнмановским лекциям по физике».

Работа над этой книгой никогда не была бы завершена, если бы мы не ощущали постоянного внимания и поддержки и не пользовались помощью многих и многих людей. Пользуемся случаем выразить им всем глубокую благодарность. Особенно тепло мы хотим поблагодарить Н. Б. Васильева, Ж. М. Раббота и А. Шеня, потративших много сил и времени на улучшение рукописи этого пособия.

Предисловие ко второму и третьему изданиям Второе издание этого пособия готовилось без участия И. М. Гельфанда и А. Л. Тоома, поэтому отличия от первого издания невелики (самое существенное — иное изложение дистрибутивности скалярного произведения в § 18). Само собой разумеется, что вся ответственность за эти изменения лежит только на мне. В третьем издании исправлен ряд ошибок и добавлены указания и решения к некоторым задачам.

С. Львовский Глава Первое знакомство с тригонометрией § 1. Как измерить крутизну Классификация углов из книги по альпинизму:

«Перпендикулярно» — 60 градусов;

«Мой дорогой сэр, абсолютно перпендикулярно!» — 65 градусов;

«Нависающе»— 70 градусов.

Дж. Литтлвуд. «Математическая смесь».

1.1. Синус Пусть человек поднимается в гору. Будем считать, что склон горы — это гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC (рис. 1.1).

Можно предложить по крайней мере два способа измерения крутизны подъема: 1) измерить высоту подъема (отрезок BC на рис. 1.1а);

2) провести дугу с центром в точке (рис. 1.1б) и измерить ее длину.

Конечно, сама по себе высота подъема ничего не характеризует: если вы долго идете по склону, то можно подняться высоко даже при пологом склоне. Поэтому нужно рассматривать отно а) б) Рис. 1.1.

шение длины подъема к длине пути (соответственно отношение длины дуги к радиусу)1. Эти отношения от длины пути уже не зависят.

Вот формальное доказательство того, что отношение длины подъема к длине пути не зависит от этой длины. Пусть человек прошел не весь путь, а дошел только до точки B (рис. 1.2). Тогда крутизна подъема на отрезке AB равна B C /A B, а на отрезке AB равна BC/AB.

Однако B C BC как два перпендику ляра к одной прямой, так что AC B = = ACB = 90, AB C = ABC. Стало быть, треугольники ABC и AB C подобны по двум углам, и BC/AB = B C /AB.

Таким образом, отношение высоты подъема к длине пути не зависит от длины пути. Доказать, что отношение длины дуРис. 1.2.

ги к радиусу не зависит от радиуса, также можно, но для этого надо формально определить, что такое длина дуги.

В этой книжке мы этим заниматься не будем.

Определение. Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение катета этого треугольника, лежащего против угла, к гипотенузе треугольника (рис. 1.3).

От выбора прямоугольного треугольника, содержащего угол, это отношение не зависит.

Физик объяснил бы это так: высота подъема имеет размерность длины, а крутизна — безразмерное число.

Рис. 1.3. sin = BC/AB. Рис. 1.4. Радианная мера угла AOB — отношение длины дуги AB к радиусу AO.

1.2. Измерение углов Вторая из введенных нами характеристик крутизны называется радианной мерой угла.

Определение. Радианной мерой угла называется отношение длины дуги окружности, заключенной между сторонами угла и с центром в вершине угла, к радиусу этой окружности (рис. 1.4).

От радиуса окружности это отношение не зависит.

Например, когда говорят, что «радианная мера угла равна 1/2», или «величина угла равна 1/2 ра диана», или попросту «угол равен 1/радиана», это значит, что заключенная внутри него дуга вдвое короче радиуса.

Если радиус окружности равен 1, то ра дианная мера угла равна длине дуги.

Вычислим радианную меру прямого угла. В соответствии с нашим определением проведем дугу окружности радиуса r с центром в вершине прямого угла (рис. 1.5). Дуга AB составляет четРис. 1.5.

верть всей окружности. Коль скоро длина окружности радиуса r равна 2r, длина нашей дуги равна 2r/4 = r/2, а радианная мера прямого угла равна (r/2)/r = /2 1,57.

Обе введенные нами характеристики крутизны (синус и радианная мера угла) имеют то преимущество перед привычным измерением углов в градусах, что являются естественными; про измерение углов в градусах этого не скажешь: как бы вы стали объяснять представителю внеземной цивилизации, почему один градус составляет именно одну девяностую прямого угла Кстати, во время Великой французской революции, когда пытались изменить все, включая календарь и названия игральных карт, была предложена и новая единица измерения углов — одна сотая прямого угла, что ничуть не хуже и не лучше одной девяностой.

Выясним, как связаны между собой радианная и градусная меры угла. Как мы уже знаем, величина прямого угла равна радиан. Так как угол 1 в 90 раз меньше прямого угла, то и его радианная мера в 90 раз меньше радианной меры прямого угла, то есть равна : 90 = /180 0,017. Угол в k градусов имеет меру (/180)k радиан. Чтобы узнать, сколько градусов содержит угол в 1 радиан, надо найти такое k, что (/180)k = 1. Стало быть, в одном радиане содержится 180/ 57,29.

Задача 1.1. Заполните пустые места в таблице, после чего выучите таблицу наизусть:

градусы 30 45 60 120 135 150 180 радианы Задача 1.2. Для каждого из углов 10, 30, 60 найдите приближенные значения синуса и радианной меры (с двумя значащими цифрами). На сколько процентов отличаются синус и радианная мера для этих углов Задача 1.3. Пусть радианная мера острого угла равна. Докажите неравенство: sin < (словами: синус острого угла меньше его радианной меры).

Указание. См. рис. 1.6.

Рис. 1.6. Рис. 2.1. Тангенс.

§ 2. Тангенс В предыдущем параграфе мы научились измерять крутизну с помощью синуса угла. Есть и другой способ измерения крутизны, составляющий, как пока еще говорят, альтернативу синусу.

Представим себе, что человек, поднимаясь по тропе, приближается к крутому берегу (рис. 2.1). Если измерять крутизну подъема с помощью отношения высоты подъема к длине пути, то получится уже знакомый нам синус. Давайте теперь вместо длины пройденного человеком пути измерять, насколько он приблизился к берегу по горизонтали. Иными словами, рассмотрим расстояние AC — проекцию пути на горизонталь. В качестве характеристики крутизны возьмем отношение BC/AC. Это отношение называется тангенсом угла.

Определение. Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение катета этого треугольника, лежащего против угла, к катету треугольника, прилежащему к углу (рис. 2.1).

Как и синус угла, тангенс не зависит от выбора прямоугольного треугольника, содержащего этот угол.

Обозначается тангенс угла так: tg (читается «тангенс альфа»).

Задача 2.1. Докажите, что тангенс угла не зависит от размеров прямоугольного треугольника, содержащего этот угол.

Задача 2.2. Для данного острого угла что больше: sin или tg Выясним, как связаны синус и тангенс угла. Пусть, например, известен тангенс угла ; как найти его синус Воспользуемся тем, что для вычисления tg годится любой прямоугольный треугольник с углом ; выберем тот из них, что изображен на рис. 2.1. По теореме Пифагора его гипотенуза равна 1 + tg2, так что tg sin = 1 + tg Рис. 2.1.

Задача 2.3. Пусть — острый угол; выведите формулу, выражающую tg через sin.

Задача 2.4. Для каждого из углов 10, 30, 60 найдите приближенные значения их тангенса. Что больше: тангенс или радианная мера И на сколько процентов больше Из предыдущей задачи вы должны были увидеть, что тангенсы фигурировавших в ней углов больше, чем их радианная мера.

На самом деле это верно для любых острых углов. Наглядно это можно пояснить с помощью рис. 2.2а. На нем AC = 1, так что длина дуги CMC равна 2 (мы считаем, что угол измерен в радианах), а длина ломаной CBC равна 2 tg. Из рисунка ясно, что длина ломаной CBC больше, чем длина дуги CMC,1 так что 2 tg > 2, откуда tg >.

Аккуратное доказательство этого неравенства вы узнаете, решив следующую задачу.

Задача 2.5. Докажите неравенство tg >.

Указание. Сравните площадь треугольника ABC и сектора AMC (рис. 2.2б). Площадь сектора равна половине произведения длины дуги, ограничивающей этот сектор, на радиус окружности.

Веревочку CBC надо укоротить, чтобы она облегала дугу CMC вплотную.

а) б) Рис. 2.2. tg >.

§ 3. Косинус Определение. Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение катета, прилежащего к углу, к гипотенузе треугольника (рис. 3.1).

Рис. 3.1. cos = AC/AB.

От выбора прямоугольного треугольника, содержащего угол, это отношение не зависит.

Косинус угла обозначается cos («косинус альфа»).

Задача 3.1. Докажите следующие формулы:

а) sin(90 - ) = cos ;

б) cos(90 - ) = sin ;

в) tg = sin / cos.

Рис. 3.2. Функции угла 45. Рис. 3.3. Углы 30 и 60.

Задача 3.2. Докажите формулу: sin2 + cos2 = 1.

Указание. Воспользуйтесь теоремой Пифагора.

Задача 3.3. Пусть — острый угол. Выведите формулу, выража ющую cos через tg : cos = 1/ 1 + tg2.

Указание. Воспользуйтесь рис. 2.1 из предыдущего параграфа.

Задача 3.4. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна a, угол при основании равен. Найдите: а) основание; б) высоту, опущенную на боковую сторону; в) высоту, опущенную на основание.

Не существует простой формулы, позволяющей по величине угла найти точное значение его синуса или косинуса. Тем не менее для некоторых углов точные значения синуса, косинуса и тангенса легко вычислить. Сделаем это для углов 30, 45 и 60.

Начнем с угла 45. Чтобы посчитать его синус, косинус и тангенс, надо, согласно нашим определениям, взять прямоугольный треугольник с углом 45. В качестве такого треугольника можно взять половинку квадрата со стороной 1 (рис. 3.2).

Из теоремы Пифагора ясно, что диагональ этого квадрата рав на 2. Следовательно, из треугольника ACD получаем:

sin 45 = CD/AC = 1/ 2 = 2/2;

cos 45 = AD/AC = 2/2;

tg 45 = CD/AD = 1.

Теперь займемся углами 30 и 60. Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 1 и опустим в нем высоту (рис. 3.3).

Эта высота разделит его на два прямоугольных треугольника с гипотенузой 1 и острыми углами 60 и 30; при этом AD = 1/(высота BD в равностороннем треугольнике является также биссектрисой и медианой). По теореме Пифагора находим BD = AB2 - AD2 = 3/2. Теперь, когда длины всех сторон треугольника ABD нам известны, остается только выписать:

sin 30 = AD/AB = 1/2; sin 60 = BD/AB = 3/2;

cos 30 = BD/AB = 3/2; cos 60 = AD/AB = 1/2;

tg 30 = AD/BD = 1/ 3 = 3/3; tg 60 = BD/AD = 3.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 18 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.