WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |

Утверждение 4. Область устойчивости унифицированной скачкообразной системы стимулирования с планом x A есть n B(, x) = {t | (N – 1) t1 c(x/t1) – ti c(x/ti) }.

i=В заключение настоящего раздела рассмотрим кратко известные свойства соревновательных ранговых систем стимулирования (СРСС), в которых центр задает число классов и число мест в каждом из классов, а также величины поощрений АЭ, попавших в тот или иной класс. Таким образом, в СРСС индивидуальное поощрение АЭ не зависит непосредственно от абсолютной величины выбранного им действия, а определяется тем местом, которое он занял в упорядочении показателей деятельности всех АЭ.

Усложним рассматриваемую модель. Предположим, что АЭ имеют произвольные функции затрат, удовлетворяющие А.3-А.4.

Теорема 3 [7, 43]. Если выполнены предположения А.3-А.4, то необходимым и достаточным условием реализуемости вектора действий АЭ y* A в классе СРСС является выполнение (14), причем данный вектор реализуем следующей системой стимулирования, обеспечивающей минимальность затрат центра на стимулирование:

i (24) qi(y*) = {cj-1( y* ) – cj-1( y*-1 )}, i = 1,n.

j j j =Приведем оценки сравнительной эффективности СРСС и УНРСС, а также СРСС и компенсаторных систем стимулирования (неравенства выполнены в силу предположений А.3 и А.4) [7, 43]:

(25) y* A' (y*) – (y*) = СРСС УНРСС n i = [cj-1( y* ) – сj( y* ) + cj( y*-1) – сj-1( y*-1)] 0.

j j j j i=1 j=n i (26) (СРСС, QK) = { {cj-1( y* ) – cj-1( y*-1)} – ci( yi* )} 0.

j j i =2 j =Если АЭ имеют функции затрат ci(yi, ri) = ri c(yi/ri) с типами r1 r2 … rn, то из (26) следует справедливость следующего утверждения.

Утверждение 5. Область устойчивости СРСС есть n i B( ) = {t | ( { {tj-1c( y*,tj-1)–tj-1c( y*-1,tj-1)}–tic( yi*,ti)} }.

j j i =2 j=Рассмотрим кратко основные используемые в управлении проектами формы и методы оплаты труда для того, чтобы в седьмом разделе исследовать свойства НРСС, используемых на практике.

6. Свойства ранговых систем стимулирования Одним из типовых решений в управлении проектами является использование ранговых систем стимулирования, в которых либо множество возможных результатов деятельности разбивается на равные отрезки («расстояния» между нормативами одинаковы), либо на равные отрезки разбивается множество вознаграждений («расстояния» между размерами вознаграждений за выполнение нормативов одинаковы). Поэтому исследуем последовательно эти два случая для нормативных и соревновательных РСС. Кроме того, в управлении проектами (см. шестой раздел) зачастую предполагается, что существуют нормативы затрат, не зависящие от объемов работ, что в рамках рассматриваемой модели стимулирования приводит к предположению о линейности функций затрат АЭ. На протяжении всего изложения материала настоящего и последующего разделов будем предполагать, что выполнены предположения А.1-А.5 (см. пятый раздел).

Пусть множество A = [0; A+] разбито на n равных отрезков [Yi, Yi+1], i = 0, n -1, Y0 = 0, Yn = A+, то есть Yi = i A+ / n, i I.

Тогда из выражения (15) пятого раздела получаем, что размеры вознаграждений должны удовлетворять следующему соотношению:

(1) q1 = с1(A+/n), qi = qi-1 + [ci(i A+ / n) – ci((i – 1) A+ / n)], i = 2, n.

В частности, для линейных функций затрат ci(yi) = ki yi, i I, получаем:

(2) q1 = k1 A+/n, = qi – qi-1 = ki A+ / n, i = 2, n.

i Утверждение 6. Если используется равномерное разбиение множества A, то при линейных функциях затрат АЭ УНРСС является прогрессивной и вогнутой функцией.

Доказательство. Из предположения А.4 следует, что ci(i A+ / n) ci((i – 1) A+ / n), i = 2, n, что совместно с (1) обусловливает прогрессивность, а предположение об упорядочении затрат АЭ (см. А.4) совместно с (2) дает – 0, i = 2, n, откуда и следует вогнутость. • i i-Возникает предположение – может быть всегда УНРСС являются монотонными и вогнутыми (или монотонными и вогнутыми).

Ответ на первый вопрос – утвердительный, так как из (1) следует монотонность УНРСС для любых функций затрат, удовлетворяющих А.2-А.4 (см. также теорему 1 в пятом разделе). Ответ на второй вопрос неоднозначен – в зависимости от функций затрат и соотношения типов АЭ УНРСС может быть вогнутой, линейной, выпуклой или ни вогнутой, ни выпуклой. Приведем иллюстративный пример.

Пример 3. Пусть АЭ имеют квадратичные функции затрат типа Кобба-Дугласа. Тогда из (1) следует, что = (A+)2(2 i – 1) / 2 n2 ri, i I.

i Получаем, что «вторая производная» равна (A+ )2 (2i -1)ri-1 - (2i - 3)ri – =, i = 2, n.

i i-2n2 ri-1ri Учитывая, что в силу предположения А.4 ri > ri-1, i = 2, n, 2i -имеем, что при ri-1 < ri < ri-1, i = 2, n, УНРСС является 2i - 2i -прогрессивной и выпуклой, при ri > ri-1, i = 2, n – вогнутой, 2i - 2i -а при ri = ri-1, i = 2, n – линейной.

2i - Следовательно, имея распределение АЭ по типам можно для каждого класса функций их затрат предсказывать какими свойствами должна обладать оптимальная УНРСС. Например, если последовательность типов АЭ с квадратичными функциями затрат типа Кобба-Дугласа является монотонно возрастающей и лежит в области I на рисунке 4, то соответствующая оптимальная УНРСС является выпуклой, если – в области II, то вогнутой, на границе этих областей – линейной, а если пересекает границу, то ни выпуклой, ни вогнутой. • ri II 3rI ri 1 2 … Рис. 4. Выпуклость, линейность и вогнутость оптимальных УНРСС Перейдем к исследованию УНРСС, в которых равномерны вознаграждения, то есть qi = i q1, i I. Из выражения (15) пятого раздела получаем, что -(3) Y1 = c1 (q1), Yi = ci-1 (q1 + ci(Yi-1)), i = 2, n, где c-1( ) – функция, обратная к функции затрат.

i Для линейных функций затрат АЭ имеем: Yi = q1 k, 1/ j j=n i I. Из условия Yn = A+ окончательно получаем: q1 = A+/ k, 1/ j j=i n (4) Yi = [A+ k ] / k, i I.

1/ j 1/ j j=1 j=Введем в рассмотрение показатель «равномерности» нормативов n (5) = Yi – Yi-1 = q1 / ki = A+ / [ki k ], i = 2, n.

i 1/ j j=Из выражения (5) следует справедливость следующего утверждения.

Утверждение 7. В УНРСС при линейных функциях затрат АЭ и равномерных вознаграждениях (прямо пропорциональных номеру норматива) оптимальные приросты нормативов увеличиваются с ростом эффективности деятельности АЭ.

Аналогично тому, как это делалось для УНРСС, исследуем типовые решения с равномерными нормативами и вознаграждениями для СРСС.

Пусть множество A = [0; A+] разбито на (n – 1) равный отрезок [Yi, Yi+1], i = 1, n -1, Y1 = 0, Yn = A+, то есть Yi = (i – 1) A+ / (n – 1), i I. Тогда из выражения (24) пятого раздела получаем, что размеры вознаграждений должны удовлетворять следующему соотношению:

(6) q1 = 0, qi = qi-1 + [ci-1((i–1)A+/(n–1)) – ci-1((i–2)A+/(n–1))], i = 2, n.

В частности, для линейных функций затрат ci(yi) = ki yi, i I, получаем:

(7) q1 = 0, = qi – qi-1 = ki-1 A+ / (n–1), i = 2, n.

i По аналогии с доказательством утверждения 6, используя (7), можно доказать справедливость следующего утверждения.

Утверждение 8. Если используется равномерное разбиение множества A, то при линейных функциях затрат АЭ СРСС является прогрессивной и вогнутой функцией.

Пример 4. Пусть АЭ имеют квадратичные функции затрат типа Кобба-Дугласа. Тогда из (6) следует, что = (A+)2(2 i – 3) / 2 (n–1)2 ri-1, i = 2, n.

i Получаем, что «вторая производная» равна (A+ )2 (2i -1)ri-1 - (2i - 3)ri – =, i = 1, n -1.

i+1 i 2(n -1)2 ri-1ri В рассматриваемом примере можно по аналогии с тем, как это делалось в примере 3, построить области возрастающих последовательностей типов АЭ, при которых УНРСС является выпуклой, вогнутой, линейной или ни выпуклой, ни вогнутой. • Перейдем к исследованию СРСС, в которых равномерны вознаграждения, то есть qi = (i–1) q2, i = 2, n. Из выражения (24) пятого раздела получаем, что (8) Y1 = 0, Yi = ci-1 (q2 + ci-1(Yi-1)), i = 2, n.

-i Для линейных функций затрат АЭ имеем: Yi = q2 k, 1/ j-j=i = 2, n. Из условия Yn = A+ окончательно получаем:

n q2 = A+/ k (отметим, что в СРСС основные показатели не 1/ j-j=зависят от эффективности деятельности победителя конкурса – АЭ, имеющего минимальные затраты), i n (9) Yi = [A+ k ] / k, i I.

1/ j 1/ j j=1 j=Введем в рассмотрение показатель «равномерности» нормативов n (10) = Yi – Yi-1 = q2 / ki-1 = A+ / [ki-1 k ], i = 2, n.

i 1/ j j=Из выражения (10) следует справедливость следующего утверждения.

Утверждение 9. В СРСС при линейных функциях затрат АЭ и равномерных вознаграждениях (прямо пропорциональных номеру норматива) оптимальные приросты нормативов увеличиваются с ростом эффективности деятельности АЭ.

Применение используемой в настоящем разделе техники анализа типовых решений дает возможность изучать свойства оптимальных УНРСС и СРСС для различных (конкретных) функций затрат и распределений типов АЭ. Кроме того, сравнивая выражения (1)-(5) с, соответственно, выражениями (6)-(10), можно в каждом конкретном случае исследовать сравнительные свойства типовых решений в УНРСС и СРСС.

Исследовав статические свойства ранговых систем стимулирования, вспомним, что проект является существенно динамическим объектом, поэтому исследуем временные характеристики таких типовых решений как различные шкалы оплаты труда (восьмой раздел) и мероприятия по сокращению продолжительности проекта (девятый раздел).

7. Шкалы оплаты трудаПри расчетах центра с АЭ – исполнителями работ по проекту, заказчика – с исполнителями работ по договору, а также во многих других реальных ситуациях, размер оплаты, получаемой АЭ, зависит от процента завершения работ. В качестве «процента завершения», в частности, могут выступать показатели освоенного объема [15-18, 28, 62-64].

Предположим, что сумма договора, или стоимость работы или пакета работ согласована центром и АЭ и равна C. Шкалой оплаты труда называется кумулятивная зависимость размера вознаграждения (доли от стоимости договора), выплаченного центром АЭ, от процента завершения.

Обозначим через процент завершения, через – процент от суммы C, выплаченный АЭ. Тогда шкалой оплаты труда будет зависимость ( ). Эта зависимость обладает следующими свойствами (содержательные интерпретации которых очевидны):

- функция ( ) – неубывающая и непрерывная справа;

- (0) = 0;

- [0;1] ( ) [0; 1];

- (1) = 1.

Если ввести зависимость ( ) размера вознаграждения, получаемого АЭ (а не уже полученного за весь выполненный текущий объем работ) от процента завершения, то, очевидно, что этот размер вознаграждения с точностью до мультипликативной константы (стоимости договора) совпадает со скоростью изменения уже полученных АЭ сумм, то есть, если ( ) – кусочнодифференцируемая2 функция, то Настоящий раздел написан совместно с С.В. Садовниковым и К.А. Сухачевым.

Условимся считать, что значение производной в точке скачка равна функции Дирака, умноженной на амплитуду скачка.

Интуитивно можно интерпретировать ( ) как интегральную функцию некоторого вероятностного распределения, а ( ) – как соответствующую ей плотность распределения (если последняя существует).

d ( ) (1) ( ) = C, [0; 1].

d Верно и обратное соотношение:

(2) ( ) = (w)dw.

C Из выражений (1) и (2) следует, что на участках возрастания () функция () является «выпуклой», на участках убывания () функция () является «вогнутой», а в точке максимума () функция () имеет «перегиб». Кроме того, очевидно, выполняется «условие нормировки»:

(3) (w)dw = C.

Перечислим некоторые типовые решения, то есть типовые шкалы оплаты труда.

Во-первых, это – равномерная оплата, при которой вознаграждение АЭ за каждую единицу процента завершения одинаково (см.

рисунок 5а). Отметим, что именно равномерной оплате соответствуют все рассматриваемые в [39, 43, 58] статические модели стимулирования.

Во-вторых, это – аккордная оплата, при которой вся сумма договора C выплачивается только в момент полного завершения работ (см. рисунок 5б).

В-третьих, это -процентная предоплата ( [0; 1]), при которой сумма C выплачивается в момент начала работ, а сумма (1 – ) C – в момент полного завершения работ (см. рисунок 5в).

Возможны и другие варианты – любой определенной на отрезке [0; 1] измеримой функции соответствует некоторая шкала оплаты труда. Например, на рисунке 5г приведена так называемая квартильная оплата, при которой за четверть объема работ выплачивается четверть стоимости договора. На рисунках 5д-5ж приведены, соответственно, варианты выпуклых шкал, вогнутых шкал и шкал с перегибом.

( ) ( ) 1 0 Рис. 5а. Равномерная шкала ( ) ( ) ( -1)С 1 0 Рис. 5б. Аккордная оплата ( ) ( ) ( -1)(1- )С ( ) С 1 0 Рис. 5в. -процентная предоплата ( ) ( ) 3/ ( -i/4)С/4, i= 1,1/1/1/2 1/0 1/4 3/4 1/4 3/4 Рис. 5г. Квартильная оплата ( ) ( ) 1 0 Рис. 5д. Выпуклая шкала ( ) ( ) 1 0 Рис. 5е. Вогнутая шкала ( ) ( ) 1 0 Рис. 5ж. Шкала с перегибом Введем действие y(t) АЭ в момент времени t 0, характеризующее объем работ выполняемый им в единицу времени в момент времени t 0. Функцию y( ) назовем траекторией. Очевидно, что время T = T(y( )) завершения работы можно определить как минимальное время, такое, что T ( y()) (4) y( )d = 1.

При заданной траектории y( ) можно определить зависимость процента завершения от времени:

t (5) (t, y( )) = y( )d.

Из (5) следует, что (0) = 0, (T(y( )) = 1.

Имея шкалу ( ) и зная зависимость (5) процента завершения от времени, можно найти зависимость от траектории и времени величины процента завершения:

(6) (t, y( )) = ( (t, y( ))) и зависимость от траектории и времени размера вознаграждения, получаемого АЭ:

d ( (t, y()) (7) (t, y( )) = C.

d Введем функции дохода центра H(t, ) и затрат АЭ c(t, y), а также показатели дисконтирования и, отражающие степень учета будущего, соответственно, центром и АЭ.

Теперь мы имеем все необходимое для того, чтобы сформулировать теоретико-игровую задачу управления.

Стратегией центра является выбор стоимости работ C 0 и шкалы оплаты труда ( ) из множества функций, удовлетворяющих введенным выше требованиям. Он выбирает ее и сообщает АЭ, стратегией которого является выбор траектории y(), принадлежащей множеству положительнозначных кусочно-непрерывных функций. АЭ выбирает траекторию, которая в соответствии с выражениями (4)-(7) определяет продолжительность работ, динамику процента завершения и выплат. Целью центра является максимизация дисконтированной разности между доходом и выплатами АЭ:

T ( y()) (8) [H(, (, y())) - (, y())] e- d max, (), C при условии, что АЭ (при известных ему стоимости работ и шкале) выбирает траекторию, максимизирующую дисконтированную разность между вознаграждением, получаемым от центра, и своими затратами:

T ( y()) (9) (, y()) - c(, y())] e- d max, [ y() Задачу (8)-(9) назовем задачей выбора шкалы оплаты труда.

Получим решение этой задачи для различных частных случаев.

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.