WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 8 |

Завершив изучение модели с агрегированием информации, перейдем к изучению такого класса типовых решений как ранговые системы стимулирования.

5. Ранговые системы стимулирования: обзор известных моделей В большинстве рассматриваемых в работах по управлению социально-экономическими системами моделей вознаграждение АЭ зависит от абсолютных значений их действий и/или результата деятельности [1, 19, 20, 25, 26, 33, 52, 60, 61, 62, 66, 67, 79 и др.]. В то же время, на практике достаточно распространены ранговые системы стимулирования (РСС), в которых величина вознаграждения АЭ определяется либо принадлежностью показателя его деятельности некоторому наперед заданному множеству – так называемые нормативные РСС, либо местом, занимаемым АЭ в упорядочении показателей деятельности всех АЭ – так называемые соревновательные РСС [10, 51, 59]. Преимуществом ранговых систем стимулирования является в основном то, что при их использовании центру иногда не обязательно знать достоверно значения всех действий, выбранных АЭ, а достаточна информация о диапазонах, которым они принадлежат, или об упорядочении действий.

Подробный обзор результатов отечественных и зарубежных авторов по исследованию РСС (турниров – rank-order tournaments – в терминологии теории контрактов [65-67, 70, 72, 73]) приведен в [36, 43]. В работах [7, 43] рассматривался следующий аспект: так как РСС являются подклассом систем стимулирования, каких случаях использование РСС не приводит к потерям эффективности управления (стимулирования), а если приводит, то какова величина этих потерь Приведем основные результаты, следуя [43].

Нормативные РСС (НРСС) характеризуются наличием процедур присвоения рангов АЭ в зависимости от показателей их деятельности (выбираемых действий и т.д.). Введем следующие предположения, которые будем считать выполненными на протяжении настоящего раздела.

А.1. Множества возможных действий АЭ одинаковы:

Ai = A = 1, i I.

+ А.2. Функции затрат АЭ монотонны.

А.3. Затраты от выбора нулевого действия равны нулю.

Пусть = {1, 2,... m} – множество возможных рангов, где m – размерность НРСС, {qj}, j=1, m – совокупность m неотрицательных чисел, соответствующих вознаграждениям за "попадание" в различные ранги; : Ai, i=1, n – процедуры классификации.

i НРСС называется кортеж {m,, { }, {qj}}.

i В работе [59] доказано, что для любой системы стимулирования существует НРСС не меньшей эффективности. В [43] подробно рассмотрены НРСС, в которых процедуры классификации одинаковы для всех АЭ, то есть так называемые универсальные НРСС (УНРСС), при использовании которых АЭ, выбравшие одинаковые действия, получают одинаковые вознаграждения.

Введем вектор Y = (Y1, Y2,..., Ym), такой, что 0 Y1 Y2... Ym < +, который определяет некоторое разбиение множества A. Универсальная НРСС задается кортежем {m, {Yj}, {qj}}, причем вознаграждение i-го АЭ определяется i m следующим образом: (yi) = qj I(yi [Yj,Yj+!)), где I(.) – функi j =ция-индикатор, Y0 = 0, q0 = 0. Универсальная НРСС называется прогрессивной, если q0 q1 q2... qm [59].

Так как УНРСС кусочно-постоянна, то в силу монотонности функций затрат очевидно, что АЭ будут выбирать действия с минимальными затратами на соответствующих отрезках. Иначе говоря, условно можно считать, что при фиксированной системе стимулирования множество допустимых действий равно Y = {Y1, Y2,..., Ym}, причем, так как ci(0) = 0, то q0 = 0. Действие yi*, выбираемое i-ым АЭ, определяется парой векторов (Y, q), то есть имеет место yi* (Y, q) =, где Yki (1) ki = arg max {qk – ci(Yk)}, i I.

k =0,m * * * Обозначим y*(Y, q) = ( y1 (Y, q), y2 (Y, q),..., yn (Y, q)). Задача синтеза оптимальной УНРСС заключается в выборе размерности УНРСС m и векторов q и Y, удовлетворяющих заданным ограничениям, которые максимизировали бы целевую функцию центра:

(2) (y*(Y, q)) max.

Y,q Фиксируем некоторый вектор действий y* A', который мы хотели бы реализовать с помощью УНРСС. Известно, что минимально возможные (среди всех систем стимулирования) затраты на стимулирование по реализации этого вектора соответствуют использованию квазикомпенсаторной системы стимулирования (системы стимулирования QK-типа) и равны [38 43]:

n (3) (y*) = (yi*).

QK ci i=Из того, что при использовании УНРСС АЭ выбирают действия только из множества Y, следует, что минимальная размерность системы стимулирования должна быть равна числу попарно различных компонент вектора действий, который требуется реализовать. Следовательно, использование УНРСС размерности, большей, чем n, нецелесообразно. Поэтому ограничимся системами стимулирования, размерность которых в точности равна числу АЭ, то есть, положим m = n.

* Для фиксированного y* A' положим Yi = yi, i I, и обозначим cij = ci(Yj), i, j I. Из определения реализуемого действия (см.

(1)) следует, что для того, чтобы УНРСС реализовывала вектор y* A' (то есть побуждала АЭ выбирать соответствующие действия) необходимо и достаточно выполнения следующей системы неравенств:

(4) qi – cii qj – cij, i I, j = 0, n.

Запишем (4) в виде (5) qj – qi, i I, j = 0, n, ij где = cij – cii. Обозначим суммарные затраты на стимулирование ij по реализации действия y* УНРСС n (6) (y*) = (y*), УНРСС qi i =где q(y*) удовлетворяет (4).

Задача синтеза оптимальной (минимальной) УНРСС заключается в минимизации (6) при условии (5).

Из того, что qi cii, i I, следует, что y* A' выполнено:

(y*) (y*), то есть минимальные затраты на стимулироваУНРСС QK ние по реализации любого вектора действий АЭ при использовании универсальных нормативных систем стимулирования не ниже, чем при использовании квазикомпенсаторных систем стимулирования. Следовательно, для эффективностей стимулирования справедлива следующая достаточно "грубая" оценка: KУНРСС KQK.

Потери от использования УНРСС обозначим (УНРСС, QK) = (y*) – (y*) 0.

УНРСС QK Введем в рассмотрение n-вершинный граф G (y*), веса дуг в котором определяются || (y*)||.

ij Задача минимизации (6) при условии (5) является задачей о минимальных неотрицательных потенциалах вершин графа G, для существования решения которой необходимо и достаточно отсутствия контуров отрицательной длины [6]. Таким образом, справедлива следующая лемма.

Лемма 1 [7, 43]. Для того чтобы вектор y* A' был реализуем в классе УНРСС, необходимо и достаточно, чтобы граф G (y*) не имел контуров отрицательной длины.

Рассмотрим следующую задачу о назначении:

n (7) min c x ij ij { } x ij i, j =n n (8) xij {0;1}, i, j, I; = 1, j I; = 1, i I.

x x ij ij i =1 j =Лемма 2 [7, 43]. Для того чтобы xii = 1, i I, xij = 0, j i, необходимо и достаточно, чтобы граф G (y*) не имел контуров отрицательной длины.

Из леммы 2 следует, что назначение * * * (9) yi = y1, yi = y2,..., yi = yn 1 2 n минимизирует (7).

Следствием лемм 1 и 2 является следующая теорема, характеризующая множество всех действий, реализуемых универсальными нормативными ранговыми системами стимулирования.

Теорема 1 [7, 43]. Для того чтобы вектор y* A' был реализуем в классе УНРСС, необходимо и достаточно, чтобы он являлся решением задачи о назначении (7)-(8).

Из теории графов известно [6], что в оптимальном решении задачи (5)-(6) минимальна не только сумма потенциалов вершин графа G (суммарные затраты на стимулирование), но и минимальны все потенциалы вершин (индивидуальные вознаграждения). То есть решение задачи о назначении (7)-(8) и двойственной к ней задачи (5)-(6) минимизирует не только суммарные выплаты АЭ со стороны центра, но обеспечивает минимальные значения всем индивидуальным вознаграждениям.

Приведенные выше результаты характеризуют множество действий, реализуемых УНРСС. Исследуем теперь эффективность этого класса систем стимулирования.

Имея результат теоремы 1, можно предложить алгоритм вычисления минимальных потенциалов, и, следовательно, количественно оценить потери в эффективности [7, 43].

Рассмотрим задачу (7)-(8). Перенумеруем АЭ таким образом, чтобы оптимальным было диагональное назначение j I ij = j (xii = 1). Поставим в соответствие ограничению (7) двойственную переменную uj, j I, а ограничению (8) – двойственную переменную vi, i I. Ограничения двойственной к (7)-(8) задачи имеют вид:

(10) uj – vi, i, j, I.

ij Заметим, что, так как xii = 1, i I, то ui – = = 0, а значит i ii ui – = qi. Используя этот факт, определим следующий алгоритм:

i Шаг 0. uj = cjj, j I.

Шаг 1. vi:= max {uj – }, i I.

ij jI Шаг 2. uj:= min {vi + }, j I.

ij iI Последовательное повторение шагов 1 и 2 алгоритма конечное число (очевидно, не превышающее n) раз даст оптимальное решение задачи (5)-(6):

(11) qi = ui = vi, i I.

Приведенный выше алгоритм позволяет решать задачу поиска минимальных потенциалов графа G, удовлетворяющих условию (5), то есть реализующих заданный вектор действий АЭ. С одной стороны доказанный выше критерий реализуемости заданных действий и алгоритм синтеза оптимальной УНРСС применимы в широком классе организационных систем, так как при их доказательстве не вводилось практически никаких предположений о свойствах элементов ОС. С другой стороны, для ряда более узких классов ОС, рассматриваемых ниже, существуют более простые алгоритмы синтеза оптимальных УНРСС.

Обозначим dci ( yi ) (12) ci' (yi) =, i I.

dyi и введем следующее предположение:

А.4. Существует упорядочение АЭ, такое, что ' ' ' (13) y A c1 (y) c2 (y)... cn (y).

Фиксируем некоторый вектор y* A', удовлетворяющий следующему условию:

* * * (14) y1 y2... yn.

Предположениям А.2-А.4 удовлетворяют, например, такие распространенные в экономико-математическом моделировании функции затрат АЭ, как: ci(yi) = ki c(yi), ci(yi) = ki c(yi/ki), где c( ) – монотонная дифференцируемая функция, а коэффициенты (отражающие эффективность деятельности АЭ) упорядочены:

k1 k2... kn (частными случаями являются линейные функции затрат, функции затрат типа Кобба-Дугласа и др.).

Лемма 3 [7, 43]. Если выполнены предположения А.1, А.2 и А.4, то в задаче (7)-(8) оптимально диагональное назначение.

Кроме того, если выполнены предположения А.1, А.2 и А.4, то универсальными ранговыми системами стимулирования реализуемы такие и только такие действия, которые удовлетворяют (14).

В организационных системах, удовлетворяющих предположениям А.1-А.4 (включая А.3!), для определения оптимальных потенциалов может быть использована следующая рекуррентная процедура, являющаяся частным случаем (соответствующим А.3А.4) общего приведенного выше алгоритма:

q1 = c11, qi = cii + max {qj – cij}, i = 2, n.

j

i = 2,n max {qj – cij} = qi-1 – cii-1.

j

i (15) qi = (cj( y* ) – cj( y*-1)).

j j j =Подставляя (15) в (6), получаем, что потери от использования универсальных нормативных ранговых систем стимулирования (по сравнению с квазикомпенсаторными) равны:

(16) (УНРСС, QK) = (y*) – (y*) = УНРСС QK n i * = { (cj( y* ) – cj( y*-1 ))} – ci( yi-1 )}.

j j i=1 j =Совокупность полученных выше результатов сформулируем в виде следующей теоремы.

Теорема 2 [7, 43]. Если выполнены предположения А.1 – А.4, то:

а) в классе универсальных нормативных ранговых систем стимулирования реализуемы такие, и только такие действия, которые удовлетворяют условию (14);

б) оптимальное решение задачи стимулирования при этом определяется выражением (15);

в) превышение затратами на стимулирование минимально необходимых определяется выражением (16);

г) оптимальная УНРСС является прогрессивной.

Отметим, что выше исследовались УНРСС размерности n.

Частым случаем УНРСС являются унифицированные системы стимулирования С-типа (УНРСС размерности 1) [7, 43]. Поэтому рассмотрим задачу (первого рода) синтеза унифицированной системы стимулирования, в которой центр назначает общий для всех АЭ план и использует унифицированную систему стимулирования С-типа или QK-типа.

Пусть выполнено предположение А.1 и центр должен назначить унифицированную систему стимулирования С-типа с одним "скачком":

C, yi x (17) (x, yi) = 0, yi < x, где С – некоторая неотрицательная величина, x – общий для всех АЭ план.

Введем следующее предположение:

А.5. Существует упорядочение АЭ, такое, что (18) y A c1(y) c2(y)... cn(y).

Отметим, что, если выполнены А.1-А.4, то, очевидно, выполнено и А.5. Под совместным выполнением А.4. и А.5 будем подразумевать, что существует упорядочение элементов, удовлетворяющее одновременно (13) и (18).

Обозначим P(x, С) – множество тех АЭ, у которых затраты в точке x не превышают С, то есть таких элементов, которым выгодно выполнение плана x:

(19) P(x,С) = {i I | ci(x) С}.

Другими словами, из А.5 следует, что P(x, С) = {k(x, C),... n}, где (20) k(x, C) = min {i I | ci(x) C}.

АЭ из множества Q(x, C) = {1, 2,..., k(x, C) – 1} выполнение плана x при вознаграждении С невыгодно (естественно, x A, C 0 P(x, С) Q(x, C) =, P(x, С) Q(x, C) = I), и они выберут действия, минимизирующие затраты (в рамках А.3 – действия, равные нулю).

Тогда действия { yi* }, реализуемые системой стимулирования (17), удовлетворяют:

x, i k(x,C) (21) yi* (x,С) = 0, i < k(x,C).

Суммарные затраты на стимулирование при использовании центром системы стимулирования (17), в силу (21), равны (22) (x,С) = С (N – k(x, C) + 1).

* Как показано в [35], зависимость yi (x, С) не является непрерывной. Поэтому для каждого x A существует конечное число минимальных затрат на стимулирование, при которых изменяется число АЭ, выполняющих план x: {c1(x), c2(x),..., cN(x)}. Аналогично, для фиксированного ограничения C при непрерывных и строго монотонных функциях затрат АЭ существует конечное число планов { ci-1 (C)}, где "-1" обозначает обратную функцию, при которых изменяется число АЭ, которые их выполняют.

Общий (для случая, соответствующего А.5) алгоритм решения задачи синтеза оптимальной унифицированной системы стимулирования приведен в [7, 43]. Ниже мы сравним минимальные затраты на стимулирование. Фиксируем произвольный план x A. Для того чтобы все АЭ выбрали действия, совпадающие с планом необходимо, чтобы k(x, C) = 1, то есть C = c1(x). Тогда из (21)-(22) получаем, что минимальные затраты на стимулирование равны (напомним, что индекс "U" соответствует унифицированным системами стимулирования) (x) = N c1(x). Следовательно, потери в эффективноUQK сти (по сравнению с системами стимулирования QK-типа) составляют:

n (23) (x) = (x) – (x) = (N – 1) c1(x) – ci(x).

UQK QK i=Если АЭ имеют функции затрат ci(yi, ri) = ri c(yi/ri) с типами r1 r2 … rn, то из (23) следует справедливость следующего утверждения.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 8 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.