WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 8 |

4.1. Описание модели Рассмотрим модель проекта – многоэлементную детерминированную двухуровневую организационную систему (ОС), состоящую из центра – руководителя проекта – и n исполнителей – активных элементов (АЭ). Стратегией АЭ является выбор действий, стратегией центра – выбор функции стимулирования, то есть зависимости вознаграждения каждого АЭ от его действий и, быть может, действий других АЭ или других агрегированных показателей их совместной деятельности.

Обозначим yi Ai – действие i-го АЭ, i I = {1, 2, …, n} – n Ai множество АЭ, y = (y1, y2,..., yn) A' = – вектор действий i=АЭ, y-i = (y1, y2, …, yi-1, yi+1, …, yn) A-i = Aj – обстановка игры ji для i-го АЭ.

Пусть результат деятельности z A0 = Q(A’) ОС, состоящей из n АЭ, является функцией (называемой функцией агрегирования) их действий: z = Q(y). Интересы и предпочтения участников ОС – центра и АЭ – выражены их целевыми функциями. Целевая функция центра является функционалом (, z) и представляет собой разность между его доходом H(z) и суммарным вознаграждением n (z), выплачиваемым АЭ: (z) = (z), где (z) – стимулирова i i i=ние i-го АЭ, (z) = ( (z), (z), …, (z)), то есть 1 2 n n (1) ( ( ), z) = H(z) – (z).

i i=Целевая функция i-го АЭ для простоты считается сепарабельной (все результаты обобщаются на случай несепарабельных целевых функций по аналогии с тем, как это делается в [41-43]) является функционалом fi(, yi) и представляет собой разность между i стимулированием, получаемым им от центра, и затратами ci(yi, ri), где ri = [di; Di] 1 – тип АЭ, отражающий эффективность i + его деятельности, то есть:

(2) fi( ( ), yi) = (z) – ci(yi, ri), i I.

i i Отметим, что индивидуальное вознаграждение i-го АЭ в общем случае явным или неявным образом зависит от действий всех АЭ (случай сильно связанных АЭ [36, 43]).

Примем следующий порядок функционирования ОС. Центру и АЭ на момент принятия решения о выбираемых стратегиях (соответственно – функциях стимулирования и действиях) известны целевые функции и допустимые множества всех участников ОС, а также функция агрегирования. Центр, обладая правом первого хода, выбирает функции стимулирования и сообщает их АЭ, после чего АЭ при известных функциях стимулирования выбирают действия, максимизирующие их целевые функции.

Рассмотрим случай, когда центр наблюдает только результат деятельности ОС, от которого зависит его доход, но не знает и не может восстановить индивидуальных действий АЭ, то есть, имеет место агрегирование информации – центр имеет не всю информацию о действиях АЭ, а ему известен лишь некоторый их агрегат.

Обозначим r = (r1, r2,.., rn) и введем относительно параметров ОС следующие предположения, которые, если не оговорено особо, будем считать выполненными в ходе всего последующего изложения материала настоящего раздела:

А.1. i I Ai – отрезок 1 с левым концом в нуле.

+ А.2. i I 1) функция ci( ) непрерывна по всем переменным;

2) yi Ai, ri ci(yi, ri) неотрицательна, не убывает по yi и не i возрастает по ri, i I; 3) ri ci(0, ri) = 0, i I.

i А.3. Функции стимулирования принимают неотрицательные значения.

А.4. Функция дохода центра непрерывна и достигает максимума при ненулевом результате деятельности ОС.

m А.5. Q: A’ A0 – однозначное непрерывное отображение, где 1 m < n.

Обозначим P( ) – множество реализуемых (выбираемых АЭ при данной системе стимулирования) действий. Минимальными затратами центра на стимулирование по реализации действий АЭ y’ A’ будем называть минимальное значение суммарных выплат элементам, при которых данный вектор действий является равновесием Нэша в игре АЭ, то есть решение следующей задачи:

(Q( y' )) miny'), где (y’) = { () | y’ P( )}. Как и в i ()( iI одноэлементной ОС [10, 38], гарантированной эффективностью (далее просто "эффективностью") стимулирования является минимальное значение целевой функции центра на соответствующем множестве решений игры (всюду, где встречаются минимумы и максимумы, будем предполагать, что они достигаются):

(3) K( ( )) = min ( ( ), Q(y)).

yP( ()) Задача синтеза оптимальной функции стимулирования заклю* чается в поиске допустимой системы стимулирования, имеющей максимальную эффективность:

* (4) = arg max K( ( )).

() В [41, 43] доказано, что в частном случае, когда действия АЭ наблюдаются центром, и типы АЭ также достоверно известны n центру, оптимальной (точнее – -оптимальной, где = ) i i=^ является квазикомпенсаторная система стимулирования, завиK сящая от наблюдаемых действий АЭ:

^ ci ( yi*, ri ) +, yi = yi* i (5) =, i I, i K 0, yi yi* где – сколь угодно малые строго положительные константы, а i оптимальное действие y*, реализуемое системой стимулирования (5) как единственное равновесие в доминантных стратегиях (РДС) [38, 74], является решением следующей задачи оптимального согласованного планирования [10, 38]:

^ y*(r) = arg max { H (y) – ( yi, ri ) }, ci yA iI ^ где H () – функция дохода центра, зависящая от наблюдаемых ^ действий АЭ. Взаимосвязь между функциями H() и H (), а также ^ ( ) и () исследовалась в [2, 3]. В частности, можно считать, что ^ H (y) = H(Q(y)). В ходе дальнейшего изложения мы будем предполагать, что функция дохода центра H( ) и функция стимулирования ( ) зависят от агрегированного результата деятельности z A0.

n Обозначим K0(r) = H(Q(y*(r))) – ( yi*, ri ).

ci i=Определим множество векторов действий АЭ, приводящих к заданному результату деятельности ОС:

Y(z) = {y A’ | Q(y) = z} A’, z A0.

В [41] доказано, что в случае наблюдаемых действий и типов АЭ минимальные затраты центра на стимулирование по реализации вектора действий y A’ равны суммарным затратам АЭ ( yi, ri ). По аналогии вычислим: минимальные суммарные ci iI затраты АЭ по достижению результата деятельности z An * (z, r) = min ci(yi, ri), максимальные суммарные затраты АЭ yY (z) i=по достижению результата деятельности z An (z, r) = max) ci(yi, ri), а также множества действий * yY ( z i=n n Y*(z, r) = Arg min ci(yi, ri) и Y*(z, r) = Arg max) ci(yi, ri), yY ( z yY (z) i=1 i=на которых достигаются соответствующие минимум и максимум.

Фиксируем произвольный результат деятельности x A0 и произвольный вектор y*(x) Y*(x) Y(x). В [42, 43] доказано, что при использовании центром следующей -оптимальной системы стимулирования ci ( yi*(x), ri ) +, z = x * i (6) (z) =, i I, ix z x 0, вектор действий АЭ y*(x, r) реализуется как единственное РДС с минимальными затратами центра на стимулирование равными * (x, r). На втором шаге решения задачи стимулирования ищется наиболее выгодный для центра результат деятельности ОС x* Aкак решение задачи оптимального согласованного планирования:

* x*(r) = arg max [H(x) – (x, r)].

xAПо аналогии можно определить «пессимистические» значения планов:

x*(r) = arg max [H(x) – (x, r)], * xAчто дает две оценки эффективности управления: r K*(r) = ( (), x*(r)) K*(r) = ( (), x*(r)).

x*(r) x*(r) В [42, 43] доказана "теорема об идеальном агрегировании в моделях стимулирования", которая утверждает, что в случае, когда функция дохода центра зависит только от результата деятельности ОС, эффективности стимулирования одинаковы как при использовании стимулирования АЭ за наблюдаемые действия, так и при стимулировании за агрегированный результат деятельности, несущий в силу предположения А.5 меньшую информацию, чем вектор действий АЭ. Этот результат справедлив при условии, что центру известны функции затрат АЭ и, в том числе, их типы. Поэтому обобщим рассмотренную модель на случай, когда типы АЭ центру достоверно неизвестны.

4.2. Обобщенные решения задачи стимулирования Обозначим d = (d1, d2, …, dn) – вектор нижних границ эффективностей (значений типов) АЭ (как будет видно из последующего изложения, значения верхних границ {Di} несущественны).

В соответствии с принципом гарантированной компенсации затрат [30, 38, 39, 43] центр вынужден компенсировать в условиях неопределенности максимальные затраты, то есть, рассчитывать на * наихудшие значения типов АЭ. Обозначим (z, ) минимальные затраты на стимулирование по реализации агрегата z A0, которые зависят от информации об области возможных значений типов:

n * (7) (z, ) = min ci(yi, di).

yY (z) i=Аналогичным образом можно определить максимальные затраты n на стимулирование (z, ) = max) ci(yi, di).

* yY ( z i=Знание величины (7) позволяет определить оптимальные в условиях существующей неопределенности относительно типов АЭ значение агрегатов * (8) x*( ) = arg max {H(z) – (z, )}, zA(9) x*( ) = arg max {H(z) – (z, )}.

* zAПомимо решений (5), (8) и (5), (9), будем рассматривать два типовых решения, в соответствии с которыми всем АЭ либо назначаются одинаковые планы, либо коллективу АЭ выплачивается общее стимулирование (z) = z, пропорциональное величине L z A0. Будем называть соответствующие управления однородным и линейным. Для анализа этих решений введем следующее предположение об однородности АЭ.

А.6. Ai = A, сi(yi, ri) = c(yi, ri), i I; A0 = Q( y, y,..., y).

yA Определим оптимальное однородное управление xU(r) = Q(yU(r)), где n (10) yU(r) = arg max {H(Q(y, y, …, y)) – c(y, ri)}.

yA i=При использовании центром линейного управления со ставкой оплаты центр должен гарантированно компенсировать АЭ затра* ты: (r) z (z, r) и обеспечить согласованность стимулирования, то есть учитывать, что АЭ выберут действия из множества * * Arg max { (r) z – (z, r)}. Предположим, что (z, r) – выпуклая zAпо z A0 функция (этот предположение выполнено, в частности, если АЭ имеют функции затрат типа Кобба-Дугласа) и обозначим (x, r) – решение следующего уравнения:

* (z, r) (r) =.

z z=x Обозначим (x, r) = (x, r) x и определим оптимальное линейное L управление:

(11) xL(r) = arg max {H(z) – (x, r)}.

L zAИсследуем устойчивость и адекватность четырех управлений – x*(r), x*(r), однородного управления xU(r) и линейного управления xL(r). Для этого вычислим для них приведенные в третьем разделе характеристики.

Области абсолютной устойчивости при = 0 имеют вид:

* (12) B(0, x*(r)) = {t | ti ri, i I, x*(r) Arg max {H(z) – (z, t)}}, zAn n (13) B(0, x*(r)) = {t | minr )) ci(yi, ti) maxr )) ci(yi, ri), yY ( x*( yY ( x*( i=1 i=* x*(r) Arg max {H(z) – (z, t)}}, zA(14) B(0, xU(r)) = {t | min {ti} min {ri}, iI iI * xU(r) Arg max {H(z) – (z, t)}}, zA* (15) B(0, xL(r)) = {t | (xL(r), r) (xL(r), t), L * xU(r) Arg max {H(z) – (z, t)}}.

zAОчевидно, что для решений (8) и (9) области абсолютной устойчивости совпадают с, так как это – гарантирующие стратегии центра. Обозначив K*( ) = ( (), x*( )), x*() K*( ) = ( (), x*( )), можно выписать следующие сравниx*() тельные оценки эффективностей:

K*( ) K*( ); r K*(r) K*( ), K*(r) K*( ).

Отметим, что области абсолютной устойчивости определялись для = 0. В общем случае соответствующие выражения имеют менее конструктивный вид (см. выражения (16) и (17)).

Утверждение 1. r а) B(0, x*(r)) B(0, x*(r)), б) B(0, x*(r)) B(0, xU(r)), * (16) B(, xU(r)) = {t | (x, r) (x, t), U n H(xU(r)) – c(yU(r), ti) K*(t) – }, i=* (17) B(, xL(r)) = {t | (xL(r), r) (xL(r), t), L H(xL(r)) – (xL(r), t) K*(t) – }.

L Справедливость пунктов а) и б) утверждения 1 следует из сравнения множеств (13)-(15). Справедливость выражений (16) и (17) следует из определения области устойчивости управления (см.

третий раздел) и того, что рассматриваемое управление должно побуждать АЭ выбирать требуемые для центра действия.

Отметим, что в соответствии с определением области устойчивости в выражениях (16), (17) эффективность типовых решений (которые, как правило, не оптимальны даже при точном совпадении модели и реальной системы) сравнивается с эффективностью абсолютно оптимального компенсаторного управления, что обуславливает малую область устойчивости. Если интерпретировать область устойчивости как множество реальных систем, в которых оптимальное в модели типовое решение -оптимально в том же классе типовых решений, то получим более широкие области.

Рассмотрим иллюстративный пример.

Пример 1. Пусть имеются два АЭ с квадратичными функциями затрат типа Кобба-Дугласа, а доход центра пропорционален агрегированному результату деятельности z = yi, то есть:

iI (z) = z – (z), ci(yi, ri) = (yi)2 / 2 ri, i = 1, 2.

* Вычисляем: (z, r) = z2 / 2 (r1 + r2), (z, r) = z2 / 2 min {r1; r2}, * (z, r) = z2 (r1 + r2) / 8 r1 r2, x*(r) = (r1 + r2), x*(r) = min {r1; r2}, U xU(r) = 4 r1 r2 / (r1 + r2), (x, r) = x / (r1 + r2), xL(r) = (r1 + r2) / 2.

Области абсолютной устойчивости (12)-(15) примут соответственно вид:

B(0, x*(r)) = {t | t1 + t2 = r1 + r2}, B(0, x*(r)) =, B(0, xU(r)) = {t | 4 t1 t2 / (t1 + t2) = r1 + r2}, B(0, xL(r)) = {t | 2 (t1 + t2) = r1 + r2}, B(, xU(r)) = {t | t1 + t2 4 r1 r2 / (r1 + r2), 4 r1 r2 / (r1 + r2) [2 – r1 r2 (t1 + t2) / (r1 + r2) t1 t2] t1 + t2 – 2 }.

B(, xL(r)) = {t | t1 + t2 (r1 + r2) / 2, (r1 + r2) [2 – (r1 + r2) / (t1 + t2)] 2 (t1 + t2) – 4 } Оценим эффективности управлений: K*(r) = (r1 + r2) / 2, K*(r) = min {r1, r2} / 2, KU(r) = 2 r1 r2 / (r1 + r2). Видно, что r K*(r) K*(r), K*(r) KU(r).

Области адекватности в рассматриваемой модели можно вводить в упрощенном виде – как множество моделей, в которых эффективность типового решения отличается от эффективности оптимального решения не более, чем на заданную величину:

M (xU) = {t | K*(t) – KU(t) } = = {t | (t1 – t2)2 / 2 (t1 + t2) }.

Очевидно, что в ОС, в которой все АЭ одинаковы, однородные решения оптимальны. •4.3. Задача выбора оператора агрегирования До сих пор, рассматривая задачу оценки эффективности типовых решений в модели агрегирования информации, мы предполагали, что оператор агрегирования Q( ) задан. В то же время, можно рассматривать задачу выбора оператора агрегирования как одного из параметров модели ОС, влияющей на эффективность управления, в том числе – на эффективность типовых решений.

Необходимость агрегирования обусловлена ограниченностью возможностей управляющих органов (руководителей проектов) по переработке информации о деятельности управляемых субъектов (исполнителей работ проектов). С одной стороны, введение агрегирования снижает информационную нагрузку, с другой стороны – приводит к снижению эффективности управления (то есть, к снижению эффективности состояний системы, в которых она оказывается под влиянием управлений, выбираемых в рамках той или иной модели – системы ограничений). Поиск рационального баланса Символ « » здесь и далее обозначает окончание примера, доказательства и т.д.

между этими двумя противоположными тенденциями как раз и составляет суть задачи выбора оператора агрегирования.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 8 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.