WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 8 |

Введем дополнительно следующее предположение: модель ОС может отличаться от оригинала только предпочтениями АЭ, то ~ ~ есть m = { ( ), f ( ), U, A}). В качестве обоснования данного предположения можно привести следующие рассуждения. Так как исследователь операций находится на позициях центра, то его ~ предпочтения (целевая функция ( )) и множество допустимых управлений U ему известны. Основную сложность при построении теоретико-игровой модели, как правило, представляет идентификация именно предпочтений АЭ (отметим, что в [23] показано, что при неточном описании предпочтений управляющего органа на соответствующую величину уменьшается гарантированная эффективность управления; кроме того, в [37, 40] построены обобщенные решения детерминированных задач стимулирования в ОС, модели которых отличаются от оригинала по всем параметрам).

Для описания близости моделей введем псевдометрику () – числовую функцию, определенную на M M, и удовлетворяющую следующим условиям: m1, m2, m3 M выполнено:

(m1, m1) = 0, (m1, m2) + (m2, m3) (m1, m3).

Ограничимся рассмотрением критериальных принципов оптимальности, задаваемых критерием эффективности K(u, m), где u U, m M. Оптимальными (точнее, -оптимальными, 0) будут стратегии из множества1:

(1) R (m) = {u U | K(u, m) sup K(t, m) – }.

tU Соответствующий принцип оптимальности (в общем случае [32] принцип оптимальности – точечно-множественное отображение, ставящее в соответствии каждой модели или реальной ОС подмножество множества допустимых управлений) называется критериальным.

Так как и реальная ОС, и ее модель в силу введенных предположений принадлежат одному «пространству», то там, где это не приведет к неоднозначности понимания, будем опускать индекс «~», соответствующий модели. Так, например, множество -оптимальных решений (1) ~ ~ может определяться и для модели m M: R ( m ) и т.д.

Задача синтеза оптимального ( = 0) управления ОС заключается в поиске допустимого управления, максимизирующего эффективность для заданной ОС или ее модели (различий между ними пока мы не делаем):

(2) K(m) = sup K(u, m).

uU То есть «классическому» принципу оптимальности K(m) соответствует множество решений R0(m).

Будем считать, что U – метрическое пространство с метрикой, которая порождает метрику Хаусдорфа H (B1, B2), определяющую «расстояние» между подмножествами B1 и B2 множества U1.

~ Принцип оптимальности R (m) устойчив на модели m M [32], если (3) 0 0: m M:

~ ~ (m, m ) H (R ( m ), R (m)).

Определение устойчивости (3) близко к определению устойчивости по Ляпунову и качественно означает, что малые возмущения модели приводят к малым изменениям множеств оптимальных решений.

Критериальный принцип оптимальности R0(m) называется ус~ тойчивым на модели m M, если функция K(m), определяемая ~ (2), непрерывна на модели m. Более общие определения устойчивости принципов оптимальности можно найти, например, в [32].

Отметим, что когда речь идет об устойчивости принципа оптимальности, в (3) используется «расстояние» между множествами оптимальных решений (1). В то же время, если результаты моделирования используются на практике, то для внедрения предлагается, как правило, единственное решение, поэтому введем определение устойчивости отдельного решения, удовлетворяющего тому или иному принципу оптимальности. Для критериального принципа ~ оптимальности устойчивость решения u U на модели m опреде~ ляется как непрерывность функции K(u, m) на модели m.

Особо следует отметить, что выбор метрик и должен в каждой конкретной задаче отражать прикладные потребности и соответствовать содержательным интерпретациям.

Конкретное решение u U абсолютно устойчиво в области B(, u) M, если (4) m B(, u) u R (m).

Другими словами, область абсолютной устойчивости (точнее – абсолютной -устойчивости) можно определить следующим образом: B(, u) = {m M | u R (m)}.

Качественно абсолютная устойчивость конкретного решения u U в некоторой области означает, что оно -оптимально для любой ОС (и модели) из этой области. Понятно, что u U, 0 B(0, u) B(, u) B(, u), то есть с ростом область 1 2 2 абсолютной устойчивости конкретного решения не сужается.

Конкретные результаты анализа устойчивости решений ряда задач управления ОС приведены в [37].

Таким образом, с одной стороны, каждой модели (и реальной ОС) принцип оптимальности R ставит в соответствие (см. рисунок 1а) множество стратегий, которые -оптимальны в данной модели (данной реальной ОС). С другой стороны, каждому управлению u U можно поставить в соответствие (см. рисунок 1б) множество B(, u) моделей (реальных ОС), в которых данное управление оптимально. Отметим, что в обоих случаях величина является параметром (см. рисунок 1) и на обоих рисунках (1а и 1б) модель ~ m M, ОС m M и управление u U одни и те же.

M ~ M 1 (m) ~ m m M 2 (m) ~ M 1 (m) M 2 (m) U ~ R 2 (m) R 2 (m) u ~ R 1 (m) R 1 (m) Рис. 1а. Множества -оптимальных решений ( 0) 1 M ~ m m B(, u) B(, u) U u Рис. 1б. Области абсолютной устойчивости решения u U ( 0) 1 Перейдем к определению адекватности. Фиксируем некоторую ~ модель m M и принцип оптимальности R. Интуитивно понятно, что при = 0 адекватность соответствует, в отличие от устойчивости (когда требуется непрерывность sup K(t, m) по модели [32]), t U ~ непрерывности по модели из малой окрестности m следующей ~ функции: K(u, m), u R ( m ). Поэтому можно считать, что модель ~ m с принципом оптимальности R -адекватна (в смысле задачи ~ полного выбора [32]) множеству реальных ОС M ( m ), определяемому следующим образом:

~ ~ (5) M ( m ) = {m M | R ( m ) R (m) } M, то есть тем реальным ОС, в которых хотя бы одно из решений, оптимальное в модели, также оптимально. На рисунке 1а показан ~ ~ случай, когда m M 2 (m), но m M 1 (m).

~ Другими словами, модель m с принципом оптимальности R ~ -адекватна множеству реальных ОС M ( m ), если u U:

~ m B(, u), m B(, u) (см. рисунок 1б). Еще один эквивалентный способ формулировки того же определения следующий:

~ M ( m ) M (m). Следовательно, адекватность модели определяется через абсолютную устойчивость оптимальных в ней решений.

Отметим, что определение (5) симметрично относительно ре~ альной ОС и ее модели, поэтому можно считать, что модель m ~ адекватна реальной ОС m, если m M (m). Понятно, что ~ ~ ~ ~ m M, 0 M0( m ) M (m) M (m).

1 2 Совокупность решений (с параметром 0): {u U; B(, u)} в [37] названа обобщенным решением задачи управления. Совокуп~ ность {u R ( m ); B(, u)} является обобщенным решением задачи ~ управления для модели m M.

Следует отметить, что приведенное определение адекватности слишком широко, так как в нем фигурирует множество всех оптимальных (для модели или реальной ОС) решений.

Следовательно, для каждого решения u U, помимо его эффективности (эффективности управления, «допустимое» отклонение которого от максимального значения определяется параметром ), существует еще одна характеристика – множество тех ОС B(, u), в которых оно -оптимально, то есть абсолютно устойчиво.

~ Областью -адекватности модели m M назовем следующее ~ множество ОС: M( m, ) = B(, u), то есть множество тех ОС, ~ uR (m) для которых любое решение, -оптимальное в модели, также является -оптимальным. Аналогичным образом можно определить область -адекватности реальной ОС m M:

M(m, ) = B(, u).

uR (m) Итак, появляется возможность сравнения оптимальных решений. Естественно считать, что из двух решений, удовлетворяющих принципу оптимальности, решение, эффективное в большей облас~ ти ОС, "лучше". Введем на множестве R ( m ) следующее отношение " " (в общем случае не полное):

~ (6) 0 u1, u2 R ( m ) u1 u2 B(, u1) B(, u2).

Понятно, что с точки зрения практического использования результатов математического моделирования целесообразен выбор из ~ R ( m ) элемента, максимального по отношению " " (если таковой существует).

Итак, для фиксированных модели и принципа оптимальности можно указать множество реальных ОС (множество моделей ОС), в которых существует решение, гарантированно удовлетворяющее принципу оптимальности. Это множество заведомо не пусто, так как содержит саму модель (см. рисунок 2).

M ~ m M ~ M( m, ) ~ M( m, ) Рис. 2. Области адекватности ( 0) 1 Если существует решение, -оптимальное в модели, которое оптимально и в реальной ОС, то будем считать, что модель адекватна. Таким образом, критерием -адекватности модели является эффективность управления реальной ОС.

~ Знание множества B(, u), u R ( m ), позволяет на этапе вне~ дрения результатов анализа модели m оценить возможные потери от практического использования решения и, быть может, при необходимости, пересмотреть модель ОС или принцип оптимальности.

Модификация принципа оптимальности даже при фиксированных параметрах модели представляется достаточно перспективной. Например, снижая требования к эффективности управления, можно для каждого из решений расширить область его устойчивости и, следовательно, расширить множество реальных ОС, в которых решения, удовлетворяющие ослабленному принципу оптимальности, будут гарантированно оптимальными (точнее, в классической терминологии – гарантированно -оптимальными).

Приведенные качественные рассуждения свидетельствуют, что существует определенный дуализм между эффективностью решения задачи управления и областью его гарантированной применимости (областью его абсолютной устойчивости или областью адекватности). Конкретные зависимости между эффективностью и областью адекватности для ряда моделей ОС приведены в [37].

Жертвуя эффективностью управления, можно расширить множество ОС, в которых применимы результаты моделирования.

Особенно ярко этот эффект проявляется при анализе областей устойчивости решений, удовлетворяющих тем или иным критериальным принципам оптимальности. Величина, фигурирующая в определении критериального принципа оптимальности, фактически, характеризует те потери эффективности, на которые мы готовы пойти, считая решение еще «оптимальным» (такое общее определение оптимальности несколько противоречит широко распространенному определению, в соответствии с которым оптимальным считается допустимое решение, имеющее максимально возможную эффективность).

Качественно отмеченный выше дуализм между эффективностью и адекватностью (областью устойчивости) для критериальных принципов оптимальности имеет следующий формальный вид:

множество ОС, адекватных фиксированной модели с критериальным принципом оптимальности, не уменьшается с ростом ; кроме того, область абсолютной устойчивости фиксированного решения, оптимального в модели, не сужается с ростом [37,40]. Данный факт (с ослаблением требований к эффективности некоторого решения область его абсолютной устойчивости расширяется и, следовательно, расширяется область адекватности) свидетельствует, что для решения проблем устойчивости и адекватности достаточно указать конкретную зависимость между величиной и множеством ОС, котором требуется обеспечить заданную эффективность управления, то есть, например, найти по модели минимальное значение, обеспечивающее выполнение требования адекватности.

Отметим, что во многих случаях [37] области абсолютной устойчивости оптимальных (при = 0) решений задач управления очень узки и иногда состоят из одной точки. Возможность расширения областей устойчивости "неустойчивых" решений, установленная выше и в [32, 37, 40, 75], свидетельствуют, что критерий оптимальности является регуляризирующим (в смысле [53]) для критерия K(u, m).

Таким образом, мы привели известные подходы к определению понятий устойчивости решений задач управления ОС и адекватности моделей ОС реальным системам. Конструкцией, которая использовалась при этом, явилось понятие обобщенного решения, включающего в себя в явном виде зависимость между эффективностью управления и областью его устойчивости и адекватности.

Приведенная методология может быть использована и для анализа проблем унификации управления проектами.

В заключение настоящего раздела определим, что будет пониматься под эффективностью типового решения.

~ Пусть имеется ОС m M и ее модель m M. Определим ми~ нимальную величину (m, m ) потерь эффективности, при которой ~ существует хотя бы одно решение, которое (m, m )-оптимально и в модели, и в ОС:

~ ~ (7) (m, m ) = min { 0 | M( m, ) M(m, ) }.

Если задано множество ОС M1 M, то можно определить для ~ заданной модели m M минимальную величину потерь в эффек~ ~ тивности ( m, M1), при которой любое решение, ( m, M1)~ оптимальное в модели будет гарантированно ( m, M1)оптимальным во множестве реальных ОС M1:

~ ~ (8) ( m, M1) = min { 0 | M1 M( m, )}.

Величина (8) может рассматриваться как критерий «качества» ~ модели m M. Следовательно, для заданного класса ОС M1 можно ставить задачу поиска наилучшей модели, то есть модели, которая давала бы максимальное гарантированное значение эффективности управления:

~ ~ (9) m (M1) = arg min ( m, M1).

~ mM Минимальные потери эффективности, которые достигаются при использовании «оптимальной» модели (9), равны:

~ (10) (M1) = min ( m, M1).

~ mM Понятно, что M2 M1 M (M2) (M1) (M), то есть с расширением класса ОС, для которого решается задача синтеза управлений, гарантированная эффективность не возрастает. Так как множество реальных ОС, фигурирующее в выражении (10), отражает ту информацию о моделируемом объекте, которой обладает исследователь операций, то сделанный вывод можно переформулировать следующим образом: с ростом информированности (с уменьшением неопределенности) гарантированная эффективность управления не убывает, что вполне согласовано с результатами, приведенными в [39].

Отметим, что эффективность управления (10) существенно зависит от той априорной информации, которую имеет исследователь операций, то есть от множества M1. Если в течение времени поступает новая более точная информация M2 M1 о том классе ОС, которому принадлежит моделируемая система, то, используя эту новую информацию, можно уточнить модель, то есть перейти ~ ~ от модели m (M1) к модели m (M2), что даст возможность повысить гарантированную эффективность управления: (M2) (M1) (см. рисунок 3).

M ~ m (M2) ~ m (M1) MMРис. 3. Повышение гарантированной эффективности управления с ростом информированности 4. Обобщенные решения в управлении проектами:

агрегирование информации В настоящем разделе рассматривается применение приведенных выше общих результатов построения и анализа обобщенных решений к такой задаче управления проектами как агрегирование информации (см. описание задач календарно-сетевого планирования и управления с агрегированием информации в [5, 6, 9, 14]).

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 8 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.