WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 9 |

Автоматы с магазинной памятью 10. Автоматы с магазинной памятью 10.1. Определение автомата с магазинной памятью [Гин, 2.4], [АхоУль, 2.5.1, 2.5.2], [ХопМотУль, 6.1, 6.2], [Гла, 4.5], [ГлаМел, с. 136–149], [ГорМол, с. 418–420], [СокКушБад, с. 36–38], [ЛПИИ, 5.2.5, 5.2.6], [Бра, с. 109–116], [ГроЛан, 9.1, 9.2], [LewPap2, 3.3], [Sip, 2.2], [Рей, с. 79–83] Определение 10.1. Автомат с магазинной памятью (МП-автомат, магазинный автомат, стековый автомат) (pushdown automaton) — это шестёрка M = Q,,,, I, F, где Q,, и — конечные м ножества, I Q, F Q и (Q ) (Q ). Здесь Q — множество состояний, — входной алфавит, — алфавит магазинной памяти (stack alphabet), — множество переходов (transition relation), элементы I называются начальными состояниями, элементы F — заключительными или допускающими состояниями.

Пример 10.2. Пусть Q = {1, 2}, ={a, b}, ={A, B}, ={ 1, a,, 1, A, 1, b,, 1, B, 1,,, 2,, 2, a, A, 2,, 2, b, B, 2, }, I = {1}, F = {2}. Тогда Q,,,, I, F — МП-автомат.

Определение 10.3. Конфигурацией МП-автомата называется любая тройка q, w,, где q Q, w,.

Определение 10.4. Определим на множестве всех конфигураций МП-автомата M = Q,,,, I, F бинарное отношение (такт работы) следующим образом. Если M p, x,, q,, w и, то p, xw, q, w,.

M Замечание 10.5. Обычно из контекста ясно, о какомМП-автомате идёт речь. Тогда вместо будем писать.

M Пример 10.6. Для МП-автомата Q,,,, I, F из примера 10.2 выполняется 1, abba, 1, bba, A и 1, abba, 2, abba,.

Определение 10.7. Бинарное отношение определяется как рефлексивное, транзитивное замыкание отношения.

Автоматы с магазинной памятью Пример 10.8. Для МП-автомата Q,,,, I, F из примера 10.2 выполняется 1, abba, 1, ba, BA и 1, abba, 2,,.

Лемма 10.9. Если p, x, 1 q,, 2 и q, y, r,, 4, то p, xy, 13 r,, 4.

Доказательство. Индукция по количеству тактов в вычислении, ведущем из конфигурации p, x, 1 в конфигурацию q,, 2.

Определение 10.10. Слово w допускается МП-автоматом M = Q,,,, I, F, если найдутся такие состояния s I и q F, что s, w, q,,.

Определение 10.11. Язык, распознаваемый МП-автоматом, —м ножество всех слов, допускаем ых этим МП-автом атом.

Язык, распознаваемый МП-автоматом M, обозначается L(M).

Замечание 10.12. Обычно в учебниках используется более узкое определение МП-автомата, но это не меняет класса языков, распознаваемых МП-автоматами.

Пример 10.13. Пусть M — МП-автомат из примера 10.2.

R Тогда L(M) ={uu | u {a, b}}.

Пример 10.14. Пусть ={a, b, c}. Рассмотрим МП-автомат M = Q,,,,I,F, где Q = {1, 2, 3, 4, 5}, ={A, B}, I = {1}, F = {4, 5} и ={ 1, a,, 1, A, 1, b,, 1, B, 1, c,, 2,, 2, a, A, 2,, 2, b, B, 2,, 2, a, B, 3,, 2, b, A, 3,, 2,, A, 4,, 2,, B, 4,, 2, b,, 5,, 2, a,, 5,, 3, a,, 3,, 3, b,, 3,, 3,,, 4,, 4,, A, 4,, 4,, B, 4,, 5, a,, 5,, 5, b,, 5, }.

R Тогда L(M) ={ucv | u {a, b}, v {a, b}, u = v }.

Автоматы с магазинной памятью Определение 10.15. Два МП-автомата эквивалентны, если они распознают один и тот же язык.

Замечание 10.16. В данном пособии не рассматриваются преобразователи с магазинной памятью (pushdown transducer) — обобщение автоматов с магазинной памятью посредством добавления “выходного” потока (см. [Гин, 3.5] или [АхоУль, 3.1.4]).

Замечание 10.17. Некоторые авторы изменяют определение допускаемых слов следующим образом: слово w допускается МП-автоматом Q,,,, I, F, если найдутся такие состояния s I и q F и последовательность, что s, w, q,,. Такое определение не изменяет класса языков, распознаваемых МП-автоматами.

Замечание 10.18. Некоторые авторы добавляют в определение МП-автомата седьмую компоненту — Z0, называем ую маркером магазинной памяти (start pushdown symbol), и изменяют определение допускаемых слов следующим образом: слово w допускается МП-автоматом Q,,,, I, F, Z0, если найдутся такие состояния s I и q F, что s, w, Z0 q,,. Такое определение не изменяет класса языков, распознаваемых МП-автоматами.

Замечание 10.19. Класс языков, распознаваемых МП-автоматами, не изменится также, если использовать следующую естественную комбинацию двух предыдущих определений: слово w допускается МП-автоматом Q,,,, I, F, Z0, если найдутся такие состояния s I и q F и последовательность, что s, w, Z0 q,,.

Замечание 10.20. Некоторые авторы добавляют в определение МП-автомата маркер магазинной памяти Z0, отбрасывают множество F и изменяют определение допускаемых слов следующим образом: слово w допускается МП-автоматом Q,,,, I, Z0, если найдутся такие состояния s I и q Q, что s, w, Z0 q,,. И это не изменяет класса языков, распознаваемых МП-автоматами.

Автоматы с магазинной памятью 10.2. Характеризация контекстно-свободных языков [Sip, 2.2], [Гин, 2.5], [АхоУль, 2.5.3], [ХопМотУль, 6.3], [Гла, 4.5], [ГлаМел, с. 149–150], [ГорМол, с. 420–422], [Бра, с. 116–120], [ГроЛан, 9.3, 15.3], [LewPap2, 3.4], [Рей, с. 84–87] Теорема 10.21. Если язык L является контекстно-свободным, то существует МП-автомат, распознающий этот язык.

Доказательство. Пусть язык L порождается грамматикой N,, P, S, в которой каждое правило имеет вид A w, где A N, w и N (в силу теоремы 8.8 такая грамматика существует). Положим =N, Q = {1, 2}, I = {1}, F = {2} и ={ 1,,, 2, S } { 2, w, A, 2, | (A w) P }.

Можно доказать, что 2, u, S 2,, тогда и только тогда, когда существует левосторонний вывод S u (здесь u и lm N).

Пример 10.22. Пусть ={a, b, c, d}. Контекстно-свободная грамматика S SS, S a, S bcT S, T cSS, T dT T и МП-автомат {1, 2},, {S, T },, {1}, {2}, где ={ 1,,, 2, S, 2,, S, 2, SS, 2, a, S, 2,, 2, bc, S, 2, TS, 2, c, T, 2, SS, 2, d, T, 2, TT }, задают один и тот же язык.

Лемма 10.23. Каждый МП-автомат эквивалентен некоторому МП-автомату Q,,,, I, F, где |I| =1, |F | =1 и каждый переход p, x,, q, удовлетворяет требованиям |x| 1 и || + || =1.

Пример 10.24. Рассмотрим МП-автомат M = = Q,,,, I, F, где Q = I = F = {1}, = {a, b, c, d}, ={A, B}, ={ 1, a, A, 1,, 1, b, B, 1,, 1, c,, 1, A, 1, d, A, 1, AB }.

Автоматы с магазинной памятью Он эквивалентен МП-автомату M = Q,,,, I, F, где Q = = {1, 2, 3} и = { 1, a, A, 1,, 1, b, B, 1,, 1, c,, 1, A, 1, d, A, 2,, 2,,, 3, B, 3,,, 1, A }.

Пример 10.25. Рассмотрим МП-автомат M = = Q,,,, I, F, где Q = I = F = {1}, = {a, b, c}, = = {A}, ={ 1, a,, 1, A, 1, b, A, 1,, 1, c,, 1, }.

Он эквивалентен МП-автомату M = Q,,,, I, F, где Q = {1, 2}, = {A, T } и = { 1, a,, 1, A, 1, b, A, 1,, 1, c,, 2, T, 2,, T, 1, }.

Пример 10.26. Рассмотрим МП-автомат M = = Q,,,, I, F, где Q = I = F = {1, 2}, ={a, b}, ={C}, ={ 1, a,, 1, C, 1, b, C, 1,, 2, b,, 2, C, 2, a, C, 2, }.

Он эквивалентен МП-автомату {0, 1, 2, 3},,,, {0}, {3}, где ={ 0,,, 1,, 0,,, 2,, 1,,, 3,, 2,,, 3, }.

Теорема 10.27. Если язык L распознаётся некоторым МП-автоматом, то L является контекстно-свободным.

Доказательство. Пусть язык L распознаётся МП-автоматом Q,,,, I, F. Без ограничения общности можно считать, что I = {qs}, F = {qa} и каждый переход p, x,, q, удовлетворяет требованию || + || = 1. Построим искомую контекстно-свободную грамматику N,, P, S, положив N = {Ap,q | p Q, q Q}, S = Aq,qa и s P = {Ap,p | p Q} {Ap,t xAq,ryAs,t | p, x,, q, C, r, y, C, s,, C, t Q}.

Можно доказать, что p, x, q,, тогда и только тогда, когда Ap,q x (здесь x ).

Автоматы с магазинной памятью Пример 10.28. МП-автомат M = {1, 2},,,, {1}, {2}, где ={a, b}, ={D, E}, ={ 1, ab,, 1, E, 1, aa, E, 1,, 1, b,, 2, D, 2, a,, 1, D, 2,, D, 2,, 2, b, E, 2, }, и контекстно-свободная грамматика S abT aaS, S abSbU, S bUU, T abT aaT, T, U aSU, U задают один и тот же язык. Здесь S, T и U соответствуют символам A1,2, A1,и A2,2 из доказательства теоремы 10.27.

10.3*. Автоматы с магазинной памятью с однобуквенными переходами [АхоУль, с. 218], [Гла, 6.2], [Бра, с. 124–125] Теорема 10.29. Каждый МП-автомат эквивалентен некоторому МП-автомату Q,,,, I, F, где |Q| = 2 и каждый переход p, x,, q, удовлетворяет требованиям |x| =1, || 1 и || 2.

Доказательство. Пусть исходным МП-автоматом распознаётся контекстно-свободный язык L. Согласно теорем е 8.16 язык L -{} порождается некоторой контекстно-свободной грамматикой N,, P, S, в которой каждое правило имеет вид A a, где A N, a, N и || 2. Аналогично тому, как было сделано при доказательстве теоремы 10.21, положим = N, Q = {1, 2}, I = {1}, ={ 2, a,A, 2, |(Aa)P }{ 1, a,, 2, |(S a)P }, {1, 2}, если L, F = {2}, если L.

/ Теорема 10.30. Каждый МП-автомат эквивалентен некоторому МП-автомату Q,,,, I, F, в котором каждый переход p, x,, q, удовлетворяет требованиям |x| =1, || 1 и || 1.

Доказательство. Пусть исходным МП-автоматом распознаётся контекстно-свободный язык L. Согласно теорем е 8.Дополнительные свойства контекстно-свободных языков язык L-{} порождается некоторой контекстно-свободной грамматикой G = N,, P, S, в которой каждое правило имеет один из следующих трёх видов: A a, A aB, A aBC, где A N, B N, C N, a. Легко добиться того, чтобы B = S и C = S в правилах грамматики G.

Положим Q = N {}, где N. Далее, положим =N, / {S, }, если L, I = {S}, F = {}, если L, / ={ A, a,, B, C | (A aBC) P } { A, a,, B, | (A aB) P } { A, a, D, D, | (A a) P, D N} { A, a,,, | (A a) P }.

11. Дополнительные свойства контекстно-свободных языков 11.1*. Деление контекстно-свободных языков [АхоУль, с. 236], [LewPap2, с. 148–149] Теорема 11.1. Пусть L1 — контекстно-свободный язык над алфавитом и L2 — автоматный язык над алфавитом.

Тогда язык {x | (y L2) xy L1} является контекстно-свободным.

Доказательство. Пусть Q1,, 1, 1, I1, F1 — МП-автомат, распознающий язык L1. Без ограничения общности можно считать, что для каждого перехода p, x,, q, 1 выполняется неравенство |x| 1.

Пусть Q2,, 2, I2, F2 — конечный автомат, распознающий язык L2. Без ограничения общности можно считать, что Q1 (Q1 Q2) = и для каждого перехода p, x, q 2 выполняется равенство |x| =1.

Дополнительные свойства контекстно-свободных языков Тогда язык {x | (y L2) xy L1} распознаётся МП-автоматом Q,, 1,, I, F, где Q = Q1 (Q1 Q2), I = I1, F = F1 F2 и ={ p,,, p1, p2, | p1 Q1, p2 I2} { p1, p2,,, q1, q2, | p1, a,, q1, 1, p2, a, q2 2 для некоторого a } { p1, p2,,, q1, p2, | p1,,, q1, 1, p2 Q2}.

Упражнение 11.2. Существует ли такой контекстно-свободный язык L, что язык Subw(L) {w | w — подслово некоторого слова из L} не является контекстно-свободным Ответ. Нет. Положив в теореме 11.1 L1 = L и L2 =, получим, что множество всех префиксов слов из языка L является контекстно-свободным. То же верно для множества суффиксов.

Далее рассуждаем, как в упражнении 3.7.

11.2. Гомоморфизмы и контекстно-свободные языки [АхоУль, 2.6.2], [ХопМотУль, 7.3.5], [Гла, 4.2], [LewPap2, с. 148] Теорема 11.3. Для любого гомоморфизма h: и 1 контекстно-свободного языка L язык h(L) является контекстно-свободным.

Доказательство. Приведём доказательство, основанное на МП-автоматах, хотя эту теорему легко доказать и с помощью контекстно-свободных грамматик. Пусть язык L распознаётся МП-автоматом Q, 1,,, I, F. Тогда язык h(L) распознаётся МП-автоматом Q, 2,,, I, F, где = { p, h(x),, q, | p, x,, q, }.

Дополнительные свойства контекстно-свободных языков Пример 11.4. Пусть 1 = {a, b, c} и 2 = {a, b}. Рассмотрим контекстно-свободный язык L, порождаемый грамматикой S aSSc, S b, и гом ом орфизм h:, заданный равен1 ствами h(a) =a, h(b) =bba и h(c) =a. Тогда язык h(L) порождается контекстно-свободной грамматикой S aSSa, S bba.

Теорема 11.5. Для любого гомоморфизма h: и 1 контекстно-свободного языка L язык h-1(L) является контекстно-свободным.

Доказательство. Обозначим A = {x | x h(a) для некоторого a 1}.

Пусть язык L распознаётся МП-автоматом Q, 2,,, I, F.

Без ограничения общности можно считать, что для каждого перехода p, x,, q, выполняется неравенство |x| 1.

Можно проверить, что язык h-1(L) распознаётся МП-автоматом Q, 1,,, I, F, где Q = AQ, I = {}I, F = {}F и = {, p, a,, h(a), p, | a 1, p Q} { xw, p,,, w, q, | p, x,, q,, xw A}.

Пример 11.6. Пусть 1 = {c, d, e} и 2 = {a, b}. Рассмотрим гомоморфизм h:, заданный равенствами h(c) = aa, 1 h(d) = b и h(e) = bba. Пусть контекстно-свободный язык L распознаётся МП-автоматом Q, 2,,, I, F, где Q = {p}, = {A}, = { p, a,, p, A, p, b, A, p, }, I = {p} и F = {p}. Тогда язык h-1(L) распознаётся МП-автоматом Q, 1,,, I, F, где Q = {p, pa, paa, pb, pba, pbba}, I = {p}, F = {p} и = { p, c,, paa,, p, d,, pb,, p, e,, pbba,, pa,,, p, A, paa,,, pa, A, pb,, A, p,, pba,, A, pa,, pbba,, A, pba, }.

Язык h-1(L) также порождается контекстно-свободной грамматикой S, S cT UdS, T, T cT UU, U dT, U eT.

Дополнительные свойства контекстно-свободных языков 11.3*. Представления контекстно-свободных языков посредством гомоморфизмов [Сал, с. 103–109, 115], [Лал, с. 331–333], [Гла, 6.5], [ГроЛан, 15.2] Теорема 11.7. Рассмотрим алфавит 0 = {a1, a2, b1, b2, c} и язык L0, порождаемый контекстно-свободной грамматикой G0: S Cb1b2b1RC, C c, C cDC, D A, D AD, A a1, A a2, A b1, A b2, R, R Ta1Tb1, R Ta2Tb2, T R, T RCC.

Произвольный язык L является контекстно-свободным тогда и только тогда, когда существует такой гомоморфизм h:, что L = h-1(L0) или L = h-1(L0 {}).

Доказательство. Достаточность следует из теоремы 11.5.

Приведём теперь идею доказательства необходимости (полное доказательство можно найти в [Сал, с. 103–109]).

Пусть дан произвольный контекстно-свободный язык L. Согласно теореме 8.16 язык L -{} порождается некоторой контекстно-свободной грамматикой {A1,..., An},, P, A1, в которой каждое правило имеет один из следующих трёх видов:

Ai a, Ai aAj, Ai aAjAk, где a.

Определим вспомогательную функцию h, ставящую в соответствие каждому символу из конечный язык над алфавитом 0 следующим образом:

h(a) ={b1bi b1 | (Ai a) P } {b1bi b1a1aj a1 | (Ai aAj) P } 2 {b1bi b1a1aka1a1aj a1 | (Ai aAjAk) P }.

2 2 Искомый гомоморфизм h определяется так: если h(a) = = {w1, w2,..., wk}, то положим h(a) =cw1cw2c... cwkc.

Пример 11.8. Пусть = {d, f, g}. Рассмотрим язык L, порождаемый грамматикой A1 f, A1 dA1A2, A2 fA3, A2 fA2A3, A3 g. Тогда L = h-1(L0), где гом ом орфизм h задан равенствами h(d) =cb1b2b1a1a2a2a1a1a2a1c, h(f) =cb1b2b1cb1b2b2b1a1a2a2a2a1cb1b2b2b1a1a2a2a2a1a1a2a2a1c, h(g) =cb1b2b2b2b1c.

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 9 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.