WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 9 |

Доказательство. Пусть язык L распознаётся автоматом Q,,, I, F, содержащим только переходы с метками длины единица. Положим p = |Q|. Пусть слово w является меткой успешного пути q0, e1, q1, e2,..., qn и |w| = n p. Согласно принципу Дирихле найдутся такие индексы j и k, что Основные свойства автоматных языков 0 j

Пример 3.11. Пусть ={a, b}. Рассмотрим автоматный язык L = {(ab)n | n 0} {a(ab)n | n 0}. Положим p = 3.

Тогда для любого слова w L длины не меньше p найдутся слова x, y, z, соответствующие утверждению леммы 3.10.

Действительно, если w = abu для некоторого слова u, то положим x =, y = ab, z = u; иначе w = aabu им ожно положить x = a, y = ab, z = u.

3.4. Примеры неавтоматных языков [АхоУль, 2.3.2], [ХопМотУль, 4.1], [ГорМол, с. 415], [LewPap2, 2.4] Пример 3.12. Рассмотрим язык L = {abnan | n 0} над алфавитом ={a, b}. Утверждение леммы 3.10 не выполняется ни для какого натурального числа p. Действительно, если w = abpap, то x = abk, y = bm, z = bp-k-map для некоторых k 0 и m 1 или x =, y = abl, z = bp-lap для некоторого l 0. В обоих случаях xyyz L. Таким образом, язык L не / является автоматным.

Упражнение 3.13. Пусть = {a, b, c}. При каких словах u {a, b} и v {a, b} язык {umcvm | m > 0} является автоматным Ответ. Этот язык является автоматным тогда и только тогда, когда u = или v =.

Замечание 3.14. Условие, сформулированное в лемме 3.10, является необходимым для автоматности, но не достаточным.

Пример 3.15. Пусть = {a, b}. Рассмотрим язык L = = {akbman | k = 0 или m = n}. Положим p = 1. Тогда для любого слова w L длины не меньше p найдутся слова x, y, z, соответствующие утверждению лемм ы 3.10. Тем не м енее язык L не является автоматным, так как L {abman | m 0, n 0} = {abnan | n 0}.

Дополнительные свойства автоматных языков 4. Дополнительные свойства автоматных языков 4.1. Гомоморфизмы и автоматные языки [АхоУль, с. 161], [ХопМотУль, 4.2.3, 4.2.4], [LewPap2, с. 85–86] Теорема 4.1. Для любого гомоморфизма h: и 1 автоматного языка L язык h(L) является автоматным.

Доказательство. Пусть исходный язык L задан конечным автоматом M = Q, 1,, I, F. Положим = = { p, h(x), q | p, x, q }. Тогда язык h(L) распознаётся конечным автоматом Q, 2,, I, F.

Теорема 4.2. Для любого гомоморфизма h: и ав1 томатного языка L язык h-1(L) является автоматным.

Доказательство. Без ограничения общности можно предположить, что исходный язык L задан конечным автоматом M = Q, 2,, I, F, где не содержит переходов с метками длины больше единицы. Положим = = { p, a, q | a 1 и существует путь из p в q с м еткой h(a)}.

Тогда язык h-1(L) распознаётся конечным автоматом M = = Q, 1,, I, F.

4.2*. Длины слов в автоматных языках [Гин, 2.1], [АхоУль, с. 147], [Сал, с. 40] Определение 4.3. Пусть A N, m N и m > 0.

Множество A называется заключительно периодическим (ultimately periodic) с периодом m, если выполнено условие (n0 N)(n n0)(n An + m A).

Лемма 4.4. Пусть A N. Тогда равносильны следующие утверждения:

1) множество A является заключительно периодическим;

2) найдутся положительное целое число m и конечные множества M N и K {0, 1,..., m - 1}, такие что A = {k N | (k mod m) K} -M;

3) множество A является объединением конечного семейства арифметических прогрессий.

Дополнительные свойства автоматных языков Теорема 4.5. Язык L над однобуквенным алфавитом {a} является автоматным тогда и только тогда, когда множество {k N | ak L} является заключительно периодическим.

Доказательство. Для доказательства необходимости достаточно рассмотреть детерминированный конечный автомат, распознающий язык L.

Теорема 4.6. Если язык L является автоматным, то множество {|w| | w L} является заключительно периодическим.

Доказательство. Рассмотрим конечный автомат, распознающий язык L. Заменим все символы в метках переходов на символ a. Осталось применить теорему 4.5 к полученному автоматному языку над однобуквенным алфавитом {a}.

Упражнение 4.7. Существует ли такой автоматный язык L над алфавитом {a}, что язык {an | an L} не является автоматным Ответ. Нет. Пусть L — автоматный язык. Согласно теореме 4.5 найдутся положительное целое число m и конечные множества M N и K {0, 1,..., m - 1}, такие что {k N | ak L} = {k N | (k mod m) K} - M.

Положим M = {n N | n2 M} и K = = {n N | n

Упражнение 4.8. Существует ли такой автоматный язык L n над алфавитом {a}, что язык {an | a2 L} не является автоматным Ответ. Нет. Пусть L — автоматный язык. Согласно теореме 4.5 найдутся положительное целое число m и конечные множества M N и K {0, 1,..., m - 1}, такие что {k N | ak L} = {k N | (k mod m) K} - M. Осталось проверить, что язык {an | (2n mod m) K} распознаётся конечным автоматом Q, {a},, I, F, где Q = {0, 1,..., m- 1}, ={ k, a, (2k mod m) | k Q}, I = {20 mod m} и F = K.

Упражнение 4.9. Существует ли такой автоматный язык Lнад алфавитом, что язык L2 = {w | wx L1, |x| =2|w| для некоторого слова x} не является автоматным Регулярные выражения Ответ. Нет. Пусть язык L1 распознаётся конечным автоматом Q,,, I, F, не содержащим переходов с метками длины больше единицы. Обозначим Mq = Q,,, I, {q} и Mq = Q,,, {q}, F. Тогда L2 = (L(Mq) Aq), qQ где Aq = {w | x L(Mq), |x| =2|w| для некоторого x}.

Из ответа на предыдущее упражнение следует (по теоремам 4.и 4.2), что языки Aq являются автоматными.

5. Регулярные выражения 5.1. Определение регулярного выражения [Сал, 2.3], [АхоУль, 2.2.1], [ХопМотУль, 3.1], [Гла, 5.2], [СокКушБад, с. 25–26], [ГорМол, с. 397–398], [LewPap2, 1.8], [Sip, 1.3], [Рей, с. 54–55], [КукБей, с. 335], [АхоСетУль, 3.3] Определение 5.1. Регулярное выражение над алфавитом определяется рекурсивно следующим образом: 0 является регулярным выражением; 1 является регулярным выражением; если a, то a является регулярным выражением; если e и f являются регулярными выражениями, то (e+f), (e·f) и e тоже являются регулярными выражениями.

Для экономии скобок будем считать, что умножение связывает теснее, чем сложение. Вместо e·f часто пишут просто ef.

Пример 5.2. Пусть ={a, b}. Тогда ((a·b)·(1+a)) является регулярным выражением над алфавитом.

Определение 5.3. Каждое регулярное выражение e над алфавитом задаёт (denotes, represents) некоторый язык над алфавитом (обозначение L(e)), определяемое рекурсивно следующим образом:

L(a) {a}, если a, L(0), L(1) {}, L(e+f) L(e) L(f), Регулярные выражения L(e·f) L(e) · L(f), L(e) L(e).

Заметим, что в правой части последнего выражения символом обозначена итерация языка (см. определение 1.28).

Вместо L(e) часто пишут просто e.

Пример 5.4. Пусть = {a, b}. Согласно определению L((ab)·(1+a)) = {(ab)n | n 0}{(ab)na | n 0}.

Определение 5.5. Язык L называется регулярным, если он задаётся некоторым регулярным выражением.

Определение 5.6. Пусть e — регулярное выражение. Тогда e+ ee.

5.2*. Свойства регулярных выражений [АхоУль, 2.2.1], [ХопМотУль, 3.4], [Сал, с. 37], [СокКушБад, с. 27–28], [ГорМол, с. 398], [Рей, с. 55–56], [КукБей, с. 335–336] Лемма 5.7. Регулярные выражения образуют ассоциативное полукольцо с операциями (0, +, 1, ·), то есть для любых регулярных выражений e, f и g выполняются следующие тождества:

1) e+f = f+e, 2) e+0 = e, 3) (e+f)+g = e+(f+g), 4) e·1 =e, 5) 1·e = e, 6) (e·f)·g = e·(f·g), 7) e·(f+g) =e·f+e·g, 8) (f+g)·e = f·e+g·e, 9) e·0 =0, 10) 0·e =0.

Равенство понимается как равенство языков, задаваемых регулярными выражениями.

Лемма 5.8. Для любых регулярных выражений e и f выполняются следующие тождества:

1) e+e = e, 2) (1+e+ee+... +en-1)(en) = e для любого n 1, 3) (ef)e =(e+f), Регулярные выражения 4) 1+e(fe)f =(ef).

Лемма 5.9. Для любых регулярных выражений e, f и g, если e = ef+g и L(f), то e = gf.

/ Упражнение 5.10. Упростить регулярное выражение 0.

Ответ. 0 =1.

5.3. Теорема Клини [Сал, 2.4], [ХопМотУль, 3.2], [Гла, 5.2], [ГроЛан, 10.4.4], [ГорМол, с. 404–408], [LewPap2, 2.3], [Рей, с. 56–57] Определение 5.11. Назовём обобщённым конечным автоматом аналог конечного автомата, где переходы помечены не словами, а регулярными выражениями. Метка пути такого автомата — произведение регулярных выражений на переходах данного пути. Слово w допускается обобщённым конечным автоматом, если оно принадлежит языку, задаваемому меткой некоторого успешного пути.

Замечание 5.12. Каждый конечный автомат можно преобразовать в обобщённый конечный автомат, допускающий те же слова. Для этого достаточно заменить всюду в метках переходов пустое слово на 1, а каждое непустое слово на произведение его букв.

Замечание 5.13. Если к обобщённому конечному автомату добавить переход с меткой 0, то м ножество допускаем ых этим автоматом слов не изменится.

Пример 5.14. Пусть = {a, b, c}. Обобщённый конечный автомат Q,,, I, F, где Q = {1, 2, 3}, = { 1, a, 2, 2, bba, 2, 2, b, 3 }, I = {1, 2} и F = {3}, допускает все слова в алфавите, кром е слов, содержащих подслово aa.

Теорема 5.15 (теорема Клини). Язык L является регулярным тогда и только тогда, когда он является автоматным.

Доказательство. Пусть e — регулярное выражение. Индукцией по построению e легко показать, что задаваемый им язык является автоматным (см. теорему 3.1).

Регулярные выражения Обратно, пусть язык L распознаётся некоторым (недетерминированным) конечным автоматом с одним начальным состоянием и одним заключительным состоянием. Существует эквивалентный ему обобщённый конечный автомат Q,,, {q1}, {q2}, где q1 = q2. Если есть несколько переходов с общим началом и общимконцом(такие переходы называются параллельными), заменим их на один переход, используя операцию +.

Устранимпо очереди все состояния, кроме q1 и q2. При устранении состояния q надо для каждого перехода вида p1, f1, q, где p1 = q, и для каждого перехода вида q, f2, p2, где p2 = q, до бавить переход p1, f1gf2, p2, где регулярное выражение g — метка перехода из q в q (если такого перехода нет, то считаем, что g =0), и снова всюду заменить параллельные переходы на один переход, используя операцию +.

После устранения всех состояний, кроме q1 и q2, получится обобщённый конечный автомат {q1, q2},,, {q1}, {q2}, где = { q1, e11, q1, q1, e12, q2, q2, e21, q1, q2, e22, q2 }. Очевидно, L = L(e e12(e22+e21e e12)).

11 Пример 5.16. Рассмотрим язык, распознаваемый конечным автоматом M = {q1, q2, q3, q4},,, {q1}, {q2}, где ={a, b, c} и ={ q1, a, q4, q2, cb, q2, q2, bac, q4, q3, a, q1, q3, c, q2, q3, c, q4, q4,, q3, q4, b, q4 }.

Тот же язык порождается обобщённым конечным автоматом M1 = {q1, q2, q3, q4},, 1, {q1}, {q2}, где 1 = { q1, a, q4, q2, cb, q2, q2, bac, q4, q3, a, q1, q3, c, q2, q3, c, q4, q4, 1, q3, q4, b, q4 }.

После устранения состояния q3 получается обобщённый конечный автомат M2 = {q1, q2, q4},, 2, {q1}, {q2}, где 2 = { q1, a, q4, q2, cb, q2, q2, bac, q4, q4, 1·0·a, q1, q4, 1·0·c, q2, q4, b+1·0·c, q4 }.

Можно упростить регулярные выражения и получить = { q1, a, q4, q2, cb, q2, q2, bac, q4, q4, a, q1, q4, c, q2, q4, b+c, q4 }.

Синтаксические моноиды После устранения состояния q4 и упрощения регулярных выражений получается обобщённый конечный автомат M3 = {q1, q2},, 3, {q1}, {q2}, где 3 = { q1, a(b+c)a, q1, q1, a(b+c)c, q2, q2, bac(b+c)a, q1, q2, cb+bac(b+c)c, q2 }.

Следовательно, язык L(M) задаётся регулярным выражением (a(b+c)a)a(b+c)c· ·(cb+bac(b+c)c+bac(b+c)a(a(b+c)a)a(b+c)c).

Упростив это регулярное выражение, получим L(M) =L(a(aa+b+c+c(cb)bac)c(cb)).

6. Синтаксические моноиды 6.1. Множества правых контекстов [АхоУль, с. 157–158], [Лал, с. 179–180], [LewPap2, 2.5], [ТраБар, 1.2], [ГроЛан, 13.2.3, 14.3.1–14.3.5], [Рей, с. 57–59], [Сал, с. 37] Определение 6.1. Пусть L и y. Тогда множество правых контекстов слова y относительно языка L определяется так: C(r)(y) {z | yz L}.

L Пример 6.2. Пусть ={a, b} и L = {anban | n 0}. Тогда 1) C(r)(ai) ={akbak+i | k 0}, L 2) если i j, то C(r)(aibaj) ={ai-j}, L 3) если i 1, то C(r)(y) =.

L Лемма 6.3. Если язык L распознаётся полным детерминированным конечным автоматом Q,,, I, F, то |{C(r)(y) | y }| |Q|.

L Доказательство. Пусть I = {s}. Введём обозначение J {C(r)(y) | y }. Определимфункцию f : J Q, положив L f(A) равным y(s), где y — некоторое слово, для которого выполнено условие C(r)(y) =A (если существует несколько таких L Синтаксические моноиды слов y, то можно использовать, например, первое среди них в лексикографическомпорядке).

Заметим, что для любых слов u и v, если C(r)(u) =C(r)(v), L L то u(s) = v(s). Следовательно, функция f является инъек тивной. Но тогда |J| |Q|.

Пример 6.4. Рассмотрим язык L, порождаемый полным детерминированным конечным автоматом Q,,, I, F из примера 2.41. Тогда {C(r)(y) | y } = {C(r)(), C(r)(a), C(r)(b)}, L L L L C(r)() = {(ab)n | n 0} {(ab)na | n 0}, L C(r)(a) ={b(ab)n | n 0}{(ba)n | n 0} и C(r)(b) =.

L L Лемма 6.5. Если L и множество {C(r)(y) | y } L конечно, то язык L является автоматным.

Доказательство. Язык L распознаётся полным детерминированным конечным автоматом Q,,, I, F, где Q = = {C(r)(y) | y }, I = {C(r)()}, F = {C(r)(y) | y L}, L L L ={ C(r)(y), a, C(r)(ya) | y, a }.

L L Пример 6.6. Пусть ={a, b}. Рассмотрим автоматный язык L = a+b. Обозначимq =C(r)(), qa =C(r)(a), qb =C(r)(b) =, L L L qab =C(r)(ab). Тогда {C(r)(y) | y } = {q, qa, qb, qab}. Язык L L L распознаётся полным детерминированным конечным автоматом Q,,, I, F, где Q = {q, qa, qb, qab}, I = {q}, F = {qa, qab}, ={ q, a, qa, q, b, qb, qa, a, qa, qa, b, qab, qb, a, qb, qb, b, qb, qab, a, qb, qab, b, qab }.

Теорема 6.7. Язык L является автоматным тогда и только тогда, когда множество {C(r)(y) | y } конечно.

L Доказательство. Необходимость доказана в лемме 6.3, достаточность — в лемме 6.5.

Замечание 6.8. В силу леммы 6.3 полный детерминированный конечный автомат, построенный в доказательстве леммы 6.5, является минимальным (по количеству состояний) среди всех полных детерминированных конечных автоматов, распознающих заданный язык. Можно доказать, что любой минимальный полный детерминированный конечный автомат, распознающий заданный язык, изоморфен этому автомату.

Синтаксические моноиды 6.2. Минимизация детерминированных конечных автоматов [АхоУль, 2.3.1], [Сал, с. 36–37], [ХопМотУль, 4.4], [ГорМол, с. 395–397], [Рей, с. 59–61], [LewPap2, 2.5] Определение 6.9. Говорят, что слово w различает (distinguishes) состояния p и q полного детерминированного конечного автомата Q,,, I, F, если одно из состояний w(p), w(q) заключительное, а другое не является заключительным.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 9 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.