WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 9 |

Определение 2.3. Путь (path) конечного автомата — это кортеж q0, e1, q1, e2,..., qn, где n 0 и ei = qi-1, wi, qi для каждого i. При этом q0 — начало пути, qn — конец пути, n — длина пути, w1... wn — метка пути.

Замечание 2.4. Для любого состояния q Q существует путь q. Его м етка —, начало и конец совпадают.

Определение 2.5. Путь называется успешным, если его начало принадлежит I, а конец принадлежит F.

Пример 2.6. Рассмотрим конечный автомат из примера 2.2.

Путь 2, 2,, 1, 1, 1, aaa, 1, 1, 1, b, 2, 2 является успешным. Его метка — aaab. Длина этого пути —3.

Определение 2.7. Слово w допускается (is accepted, is recognized) конечным автоматом M, если оно является меткой некоторого успешного пути.

Определение 2.8. Язык, распознаваемый конечным автоматом M, —этоязыкL(M), состоящий из меток всех успешных путей (то есть из всех допускаемых даннымавтоматомслов). Будем также говорить, что автомат M распознаёт (accepts) язык L(M).

Замечание 2.9. Если I F =, то язык, распознаваем ый конечным автоматом Q,,, I, F, содержит.

Пример 2.10. Пусть M = Q,,, I, F, где Q = {1, 2}, ={a, b}, ={ 1, a, 2, 2, b, 1 }, I = {1} и F = {1, 2}. Тогда L(M) ={(ab)n | n 0}{(ab)na | n 0}.

Определение 2.11. Два конечных автомата эквивалентны, если они распознают один и тот же язык.

Определение 2.12. Язык L называется автоматным (finite-state language), если существует конечный автомат, распознающий этот язык.

Замечание 2.13. Обычно в учебниках используется более узкое определение недетерминированного конечного автомата, но это не меняет класса автоматных языков (см. лемму 2.30).

Пример 2.14. Рассмотрим однобуквенный алфавит ={a}.

При любых фиксированных k N и m N язык {ak+mn | n N} является автоматным.

Конечные автоматы Замечание 2.15. Каждый конечный язык является автоматным.

Определение 2.16. Состояние q достижимо (reachable) из состояния p, если существует путь, началомкоторого является p, а концом —q.

Лемма 2.17. Каждый автоматный язык распознаётся некоторым конечным автоматом, в котором каждое состояние достижимо из некоторого начального состояния и из каждого состояния достижимо хотя бы одно заключительное состояние.

Пример 2.18. Рассмотрим конечный автомат Q,,, I, F, где Q = {1, 2, 3, 4}, = {a, b, c, d}, I = {1, 2, 4}, F = {1, 3, 4}, = { 1, a, 2, 1, b, 4, 3, c, 4, 4, d, 1 }. Удалим те состояния (и содержащие их переходы), которые не удовлетворяют требованиям леммы 2.17. Получается эквивалентный конечный авто мат Q,,, I, F, где Q = {1, 4}, = { 1, b, 4, 4, d, 1 }, I = {1, 4} и F = {1, 4}.

Замечание 2.19. Естественным обобщением конечного автомата является конечный преобразователь (finite-state transducer), позволяющий на каждом такте отправить несколько символов в дополнительный “выходной” поток (см. [Гин, 3.3], [АхоУль, 3.1.3] или [ТраБар, 0.1, 2.1–2.6]). В некоторых книгах конечными автоматами называют именно такие устройства (с выходным потоком).

В данном пособии конечные преобразователи рассматриваться не будут.

2.2*. Конфигурации конечного автомата [АхоУль, 2.2.3], [ГорМол, с. 391], [СокКушБад, с. 20], [LewPap2, 2.2] Определение 2.20. Конфигурацией конечного автомата называется любая упорядоченная пара q, w, где q Q и w.

Замечание 2.21. Содержательно конфигурация представляет собой “мгновенное описание” конечного автомата. Если представить, что исходное слово, принадлежность которого рассматриваемому языку надо проверить, дано в некотором “входном потоке”, то в конфигурации q, w слоКонечные автоматы во w есть та часть исходного слова, которая пока осталась во входном потоке (это некоторый суффикс исходного слова), а q — текущее состояние “управляющего устройства”.

Определение 2.22. Определим на множестве всех конфигураций конечного автомата M бинарное отношение (такт работы (step)) следующим образом. Если p, x, q и w, то p, xw q, w. Иногда вм есто пишут.

Пример 2.23. Рассмотрим конечный автомат из примера 2.2.

Тогда 1, abba 2, ba.

Определение 2.24. Бинарное отношение определяется как рефлексивное, транзитивное замыкание отношения.

Пример 2.25. Для конечного автомата из примера 2. выполняется 1, aaaab 1, aaaab и 1, aaaab 2,.

Лемма 2.26. Пусть дан конечный автомат M = = Q,,, I, F. Слово w принадлежит языку L(M) тогда и только тогда, когда для некоторых p I и q F верно p, w q,.

Лемма 2.27. Если q1, x q2, и q2, y q3,, то q1, xy q3,.

2.3. Конечные автоматы с однобуквенными переходами [ХопМотУль, 2.5], [Рей, с. 51–53] Лемма 2.28. Каждый автоматный язык распознаётся некоторым конечным автоматом, не содержащим переходов с метками длины больше единицы и имеющим ровно одно начальное состояние и ровно одно заключительное состояние.

Пример 2.29. Рассмотрим язык, заданный конечным автоматом Q,,, I, F, где Q = {1, 2}, = {a, b, c, d}, = { 1, ab, 2, 2, cd, 1 }, I = {1, 2}, F = {1, 2}. Тот же язык распознаётся конечным автоматом Q,,, I, F, где Q = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, I = {0}, F = {5}, = = { 1,a,3, 3,b,2, 2,c,4, 4,d,1, 0,,1, 0,,2, 1,,5, 2,,5 }.

Здесь первые два перехода заменяют старый переход 1, ab, 2 и Конечные автоматы следующие два перехода заменяют старый переход 2, cd, 1. Чтобы обеспечить единственность начального состояния, добавлены переходы 0,, 1 и 0,, 2. Последние два перехода в обеспечивают единственность заключительного состояния.

Лемма 2.30. Каждый автоматный язык распознаётся некоторым конечным автоматом, содержащим только переходы с метками длины единица и имеющим ровно одно начальное состояние.

Доказательство. Согласно лемме 2.28 можно предположить, что исходный язык задан конечным автоматом Q,,, I, F, не содержащим переходов с метками длины больше единицы, причём |I| = 1. Построим искомый конечный автомат Q,,, I, F, положив Q = Q, I = I, ={ p, a, r | a и найдётся такое q Q, что q, a, r и существует путь из p в q с м еткой }, F = {p Q | найдётся такое q F, что существует путь из p в q с м еткой }.

2.4. Характеризация праволинейных языков [Гин, 2.2], [Сал, 2.1], [ХопМотУль, с. 196], [Гла, 5.1], [Лал, с. 186–187], [ЛПИИ, 5.2.3, 5.2.4], [АхоУль, 2.2.4], [ГорМол, с. 408–413], [Бра, с. 107–108], [ГроЛан, 10.2.4], [LewPap1, 3.2], [Рей, с. 48–50], [КукБей, с. 340–342], [АхоСетУль, с. 180] Теорема 2.31. Каждый автоматный язык является праволинейным.

Доказательство. Без ограничения общности можно предположить, что исходный язык задан конечным автоматом Q,,, I, F, где Q = и I = {q0}. Положим N = Q, S = q0 и P = {p xq | p, x, q }{p | p F }.

Пример 2.32. Язык, распознаваемый конечным автоматом из примера 2.2, порождается грамматикой K2 K1, K1 aaaK1, K1 abK2, K1 bK2, K2.

Теорема 2.33. Каждый праволинейный язык является автоматным.

Конечные автоматы Доказательство. Без ограничения общности можно предположить, что исходный язык задан праволинейной грамматикой, не содержащей правил вида A u, где u +. Положим Q = N, I = {S}, F = {A N | (A ) P } и ={ A, u, B | (A uB) P }.

Пример 2.34. Пусть ={a, b}. Язык, порождаемый грамматикой S aa, S T, T baT, T a, распознаётся конечным автоматом Q,,, I, F, где Q = {S, T, E}, I = {S}, F = {E} и ={ S, aa, E, S,, T, T, ba, T, T, a, E }.

2.5*. Нормальная форма праволинейных грамматик [АхоУль, с. 145], [ГорМол, с. 387–390], [Бра, с. 77–78] Определение 2.35. Праволинейная грамматика в нормальной форме (автоматная грамматика, регулярная грамматика) (finite-state grammar) — это праволинейная грамматика, в которой каждое правило имеет вид A, A a или A aB, где A N, B N, a.

Теорема 2.36. Каждая праволинейная грамматика эквивалентна некоторой праволинейной грамматике в нормальной форме.

Теорема 2.37. Если праволинейный язык не содержит пустого слова, то он порождается некоторой праволинейной грамматикой в нормальной форме без -правил.

2.6. Детерминированные конечные автоматы [Гин, 2.1], [Сал, 2.2], [АхоУль, 2.2.3], [ХопМотУль, 2.2], [Гла, 5.1], [ГорМол, с. 392–395], [СокКушБад, с. 21], [Лал, с. 174–178, 185], [Бра, с. 101–102], [ГроЛан, 10.2], [ТраБар, 0.1, 0.2, 1.7], [LewPap2, 2.1], [Sip, 1.1, 1.2], [Рей, с. 44–48], [КукБей, с. 320–327], [АхоСетУль, 3.6] Определение 2.38. Конечный автомат Q,,, I, F называется детерминированным (deterministic), если 1) множество I содержит ровно один элемент, 2) для каждого перехода p, x, q выполняется равенство |x| =1, Конечные автоматы 3) для любого символа a и для любого состояния p Q существует не более одного состояния q Q со свойством p, a, q.

Пример 2.39. Конечный автомат из примера 2.10 является детерминированным.

Определение 2.40. Детерминированный конечный автомат Q,,, I, F называется полным (complete), если для каждого состояния p Q и для каждого символа a найдётся такое состояние q Q, что p, a, q.

Пример 2.41. Конечный автомат из примера 2.10 эквивалентен полному детерминированному конечному автомату Q,,, I, F, где Q = {1, 2, 3}, = {a, b}, = = { 1, a, 2, 1, b, 3, 2, a, 3, 2, b, 1, 3, a, 3, 3, b, 3 }, I = {1}, F = {1, 2}.

Замечание 2.42. Некоторые авторы используют в определении полного детерминированного конечного автомата вместо отношения функцию : Q Q. От функции можно перейти к отношению, положив ={ p, a, (p, a) | p Q, a }.

Теорема 2.43. Каждый автоматный язык распознаётся некоторым полным детерминированным конечным автоматом.

Доказательство. Без ограничения общности можно предположить, что исходный язык задан конечным автоматом Q,,, I, F, содержащим только переходы с метками длины единица. Для любых a и H Q обозначим a(H) {q Q | p, a, q для некоторого p H}.

Обозначим через P(Q) множество всех подмножеств множества Q. Построим искомый полный детерминированный конечный автомат Q,,, I, F, положив Q = P(Q), = { H, a, a(H) | H Q, a }, I = {I} и F = {H Q | H F = }.

Пример 2.44. Пусть = {a, b}. Рассмотрим конечный автомат M = {1, 2, 3},,, {1}, {3}, где = { 1, a, 1, 1, b, 1, 1, a, 2, 2, b, 3 }. Если применить конструкцию из доказательства теоремы 2.43 и потом удалить Основные свойства автоматных языков состояния, не достижимые из начального состояния, то получится полный детерминированный конечный автомат M = = {{1}, {1, 2}, {1, 3}},,, {{1}}, {{1, 3}}, где = { {1}, a, {1, 2}, {1}, b, {1}, {1, 2}, a, {1, 2}, {1, 2}, b, {1, 3}, {1, 3}, a, {1, 2}, {1, 3}, b, {1} }.

Определение 2.45. Для любого состояния p полного детерминированного конечного автомата Q,,, I, F и любого слова w обозначим через w(p) такое состояние q, что существует путь из p в q с м еткой w (в силу полноты и детерминированности такое состояние существует и единственно).

3. Основные свойства автоматных языков 3.1. Свойства замкнутости класса автоматных языков [Гин, 2.1], [Сал, 2.3, с. 58], [ХопМотУль, 3.2.3, 4.2.2, 4.2.5], [АхоУль, 2.3.3], [Гла, 5.2], [ГроЛан, 10.4.1, 10.4.3], [ТраБар, 1.1, 1.6], [LewPap2, 2.3], [Sip, 1.2], [Рей, с. 40–43], [КукБей, с. 327–330], [АхоСетУль, 3.7], [ГорМол, с. 413] Теорема 3.1. Класс автоматных языков замкнут относительно итерации, конкатенации и объединения.

Доказательство. Без ограничения общности можно предположить, что каждый из исходных языков задан конечным автоматомс однимначальными однимзаключительнымсостоянием.

Тогда во всех трёх случаях результирующий автомат получается из исходных путём добавления нескольких -переходов и состояний и назначения новых начальных и заключительных состояний.

Пример 3.2. Пусть M1 = {1, 2, 3},, 1, {1}, {2}, где = {a, b, c} и 1 = { 1, a, 2, 2, b, 3, 3, c, 1 }. Тогда язык L(M1) распознаётся конечным автоматом M2 = = {1, 2, 3, 4},, 1 { 4,, 1, 2,, 4 }, {4}, {4}.

Основные свойства автоматных языков Пример 3.3. Пусть = {a, b, c}. Рассмотрим конечный автомат M1 из примера 3.2 и конечный автомат M2 = = {4, 5},, 2, {4}, {5}, где 2 = { 4, c, 4, 4, a, 5, 5, c, 5 }.

Тогда язык L(M1) · L(M2) распознаётся конечным автоматом M3 = {1, 2, 3, 4, 5},, 1 2 { 2,, 4 }, {1}, {5}, а язык L(M1) L(M2) распознаётся конечным автоматом M4 = = {1, 2, 3, 4, 5},, 1 2, {1, 4}, {2, 5}.

Упражнение 3.4. Существует ли такой автоматный язык L, R что язык L не является автоматным Ответ. Нет. Пусть язык L распознаётся конечным автоматом R R Q,,, I, F. Положим = { q, x, p | p, x, q }. Тогда R R язык L распознаётся конечным автоматом Q,,, F, I.

Упражнение 3.5. Существует ли такой автом атный язык L, что язык Pref(L) {w | w — префикс некоторого слова из L} не является автоматным Ответ. Нет. Пусть язык L распознаётся конечным автоматом Q,,, I, F, причём 1) в нет переходов с метками длины больше единицы и 2) из каждого состояния достижимо некоторое заключительное состояние.

Легко проверить, что язык Pref(L) распознаётся конечным автоматом Q,,, I, Q.

Упражнение 3.6. Существует ли такой автом атный язык L, что язык Suf(L) {w | w — суффикс некоторого слова из L} не является автоматным R R Ответ. Нет. Suf(L) =Pref(L ).

Упражнение 3.7. Существует ли такой автоматный язык L, что язык Subw(L) {w | w — подслово некоторого слова из L} не является автоматным Ответ. Нет. Subw(L) = Suf(Pref(L)).

Основные свойства автоматных языков 3.2. Пересечение и дополнение автоматных языков [Гин, 2.1], [ХопМотУль, 4.2.1], [АхоУль, 2.3.3], [Сал, 2.2], [Гла, 5.2], [ГроЛан, 10.4.2], [ТраБар, 1.1, 1.6], [LewPap2, 2.3], [Рей, с. 50–51], [КукБей, с. 329], [ГорМол, с. 413] Теорема 3.8. Класс автоматных языков замкнут относительно дополнения и пересечения.

Доказательство. Если язык L распознаётся полным детерминированным конечным автоматом Q,,, I, F, то язык - L распознаётся конечным автоматом Q,,, I, Q- F.

Пересечение выражается через объединение и дополнение (закон де Моргана).

Замечание 3.9. Автоматность пересечения двух автоматных языков можно легко доказать и без привлечения теоремы 2.43. Для этого достаточно построить по двум конечным автоматам с однобуквенными переходами M1 = Q1,, 1, I1, F1 и M2 = Q2,, 2, I2, F2 новый конечный автомат M = Q1 Q2,,, I1 I2, F1 F2, где = = { p1, p2, a, q1, q2 | p1, a, q1 1, p2, a, q2 2}.

3.3. Лемма о разрастании для автоматных языков [АхоУль, 2.3.2], [ХопМотУль, 4.1], [ГорМол, с. 414–415], [LewPap2, 2.4], [Sip, 1.4], [Сал, с. 37], [Рей, с. 62] Лемма 3.10 (pumping lemma, лемма о разрастании, лемма о накачке, лемма-насос). Пусть L —автоматный язык над алфавитом. Тогда найдётся такое положительное целое число p, что для любого слова w L длины не меньше p найдутся слова x, y, z, для которых верно xyz = w, y =, |xy| p и xyiz L для всех i 0.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 9 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.