WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 |

Uзад= 1 e(t) X(t) c p-c (-) 1 + Kos P Рис. 14.В этой системе имеется дифференциатор в цепи обратной связи.

За счёт переключения реле все переходные процессы имеют две стадии: вначале происходит относительно медленное перемещение до момента переключения реле, а затем последнее начинает переключаться с очень большой (теоретически бесконечной) частотой, удерживая при этом переходный процесс на некоторой линии фазовой плоскости. Эта линия называется линией скольжения, так как движение вдоль неё может происходить очень быстро.

X(t) t XЛиния скольжения XРис. 14.3 Скользящий процесс в следящей системе с реле.

Ясно видна линия переключения, являющаяся также и линией скольжения. Она выделена жирно на фазовой плоскости.

Кружочком обозначена точка покоя Х1=1; Х2=0.

Быстрое движение по линии скольжения обуславливает следующие возможности, возникающие в нелинейных системах:

• Возможность получения с использованием релейного регу- лятора гораздо меньшего времени переходного процесса, чем, например, при использовании стандартного ПИД-регулятора.

• Возможность получения практически конечного времени переходного процесса (времени достижения заданного состояния).

Всё это хорошо видно на результатах моделирования Рис.14.3.

Также видно, что переходный процесс апериодический и заканчивается за конечное время.

Реализация скользящих режимов в реальных системах встречает некоторые трудности.

• Во-первых, скользящий режим всегда является идеализацией.

• Во-вторых, при программной реализации релейного элемента часто имеются сложности численного интегрирования дифференциальных уравнений при автоматическом выборе шага.

На практике всегда реализуется режим близкий к скользящему, но отличающийся от истинно скользящего конечной частотой преключения. В самом деле, реальный релейный элемент не может переключаться с бесконечной частотой вне зависимости от способа его реализации: аппаратной (реле), электронной (электронная ключевая схема) или программной. Яркий пример скользящего режима на практике - регулятор зарядки аккумулятора в автомобиле, где реле (контроллер) зарядки включает и отключает обмотку возбуждения генератора с достаточно высокой частотой, достигающей сотни Герц. При этом, в силу большой ёмкости аккумулятора, переходные процессы близки к скользящему режиму. Если напряжение уже достигло номинального уровня, реле(контроллер) с большой частотой включает и отключает зарядную цепь так, что колебания вокруг номинала очень малы. Преимущества такого регулирования очевидны:

• чрезвычайно высокий КПД при малых потерях энергии в самом регуляторе;

• максимально возможная скорость переходных процессов зарядки, так как при зарядке всегда используется вся возможная мощность генератора (реле просто напрямую его подключает к аккумулятору).

Эти два свойства вообще являются характерными для релейных систем автоматического управления.

• Лекция 15.

Функция Ляпунова и ее использование для исследования устойчивости нелинейной системы.

Общего эффективного с инженерной точки зрения метода исследования устойчивости произвольной нелинейной системы не существует.

Теоретическое решение проблемы устойчивости было дано А.М.

Ляпуновым в 1891г. Основную роль эдесь играет возможность построения специальной скалярной функции векторного аргумента, то есть скалярной функции на фазовом пространстве системы. Эта функция называется функцией Ляпунова.

Идея Ляпунова очень проста. Рассмотрим двухмерный случай и функцию Ляпунова L(x1, x2 ). Пусть имеется нелинейное уравнение движения в двухмерном фазовом пространстве x = f (x,t) & • Движение будет устойчивым, если функция Ляпунова удовлетворяет следующим требованиям:

1. Линии уровня функции Ляпунова замкнуты;

2. Функция Ляпунова неотрицательна;

3. Скалярное произведение градиента функции Ляпунова и вектора скорости в любой точке отрицательно:

(gradL, x) = (gradL, f (x)) = gradL f cos < 0 ;

& В самом деле, скалярное произведение градиента функции Ляпунова и вектора скорости в любой точке своим знаком показывает тупой или острый угол. Если L(x1, x2)= 0.5x14+ 5x22- 0.5x1xугол тупой, то вектор скорости направлен внутрь линии уровня, и траектория движения стремится войти внутрь линии уровня и далее двигаться к Угол - тупой началу координат.

XЕсли, наоборот, Xострый, то траектоgrad L рия стремится от Линии уровня L скорость f начала координат.

Очевидно, что в пер- Рис. 15.1 Функция Ляпунова вом случае система устойчива, а во втором случае - нет.

Данное скалярное произведение есть также полная производная функции Ляпунова по времени.

d dL dx & L(x(t)) = = (gradL, x) = (gradL, f (x)) (15.1) { dt dx dt т.к.

x-вектор Теперь дадим формулировку теоремы Ляпунова.

Теорема Ляпунова (эскиз формулировки) Пусть найдется функция L(x) 0 такая, что ее производная вдоль траектории системы x = f (x,t) отрицательна, т.е. выражение & (15.1) отрицательно. Тогда система устойчива.

К сожалению, не существует общего метода построения функции Ляпунова для произвольной нелинейной системы.

Однако, к настоящему времени функции Ляпунова построены практически для всех наиболее важных классов нелинейных систем, встречающихся на практике.

Более того, если построена функция Ляпунова, то через нее удается выразить такие показатели качества переходного процесса как перерегулирование время переходного процесса и т.д.

Один из важнейших классов нелинейных систем, для которых можно построить функцию Ляпунова, это случай наличия единственной нелинейности F(x) в системе, как в методе гармонической линеаризации. Тогда функцию Ляпунова можно выбрать в виде:

x L(x) = xT + q F( )d, где q - некоторое положительное число. (15.2) 1Qx функция Ляпунова линейной части Замечание: в случае линейной системы функцию Ляпунова можно всегда выбрать в виде квадратичной формы.

Теорема Лурье об устойчивости Эта теорема основана на использовании предыдущей формулы для широкого класса практически встречающихся систем.

Uзад (t) u(t) x(t) Линейный.

объект u = F() (-) r y(t) cT Рис. 15.2 Нелинейная система Лурье CТ – измеритель (косвенный) состояния x(t) объекта, r – коэффициент местной OОС, F( ) – нелинейность.

F(0) = (I и III квадрант) (15.3) F( ) > & x = Ax + bu Объект: (15.4) y = CT x Требование: объект устойчив, то есть матрица А устойчива.

Метод Лурье заключается в построении функции Ляпунова, причем предварительно делается замена переменных:

& & & (x,u)замена(z,&) z = Ax + bu Относительно этой пары уравнений получаем:

& z = Az + bF( ) (15.5) & = -CT & x - rF( ) = -CT z - rF( ) Последняя система уравнений является соединением линейной части и единственной нелинейности, поэтому функцию Ляпунова мы выбираем в форме (15.1):

L(z, ) = zT Pz + F( )d dL По теореме Ляпунова вычисляем. Путем сложных выкладок dt получаем следующее неравенство:

T 1 r > Pb + C G-1 Pb + C, где G = -AT P + PA (15.6) 2 Решением этого неравенства должна быть положительно определенная симметричная матрица P.

Замечание: как ни странно, сюда вообще не вошли параметры нелинейности, поэтому ясно, что Лурье получил очень сильные условия устойчивости для нелинейности любого вида в рамках ограничений.

Замечание: Лурье также получил связь показателей качества переходного процесса через матрицу P.

Таким образом, мы столкнулись со случаем, когда условия устойчивости не зависят от конкретного вида нелинейности и начальных условий. Устойчивость, не зависящая от начальных условий, называется устойчивостью в целом, не зависящая от конкретного вида нелинейности - абсолютной устойчивостью.

• Лекция 16.

Абсолютная устойчивость нелинейных систем. Критерий П'опова (Popov V.M., Румыния 1958г.).

Подобно теореме Лурье критерий Попова позволяет установить устойчивость нелинейной системы сразу для целого класса нелинейности, лежащих в секторе.

Пусть нелинейность F(x) удовлетворяет частному условию:

F(x) kx F(x) F(x) 0 k x х (16.1) F(0) = Рис. 16.То есть нелинейность не выходит за рамки сектора в 1 и квадрантах, при этом её конкретный вид не имеет значения, например, она может иметь петли или быть сильно ломаной.

F(x) kx Понятно, что требования к виду нели- F(x) нейности очень слабы, поэтому к дан- х ному классу нелинейностей относятся такие нелинейности, которые не поддаются обычным методам линеаризаРис. 16.ции вследствие недифференцируемости. Класс нелинейностей, умещающихся в секторе, очень широк, например, сюда относится большинство нелинейностей датчиков и приводов.

С другой стороны, сюда не попадает, например, обычное реле с гистерезисом.

Абсолютная устойчивость – это устойчивость для любой нелинейности внутри заданного сектора.

Устойчивость в целом (пространстве) – это устойчивость при любом начальном условии.

С другой стороны, устойчивость в целом является развитием вполне интуитивно понятной инженеру идеи: если график нелинейности F(x) зажат границами сектора Кх, то коэффициент усиления нелинейности не "превышает К", и если устойчива линейная система, в которой вместо F(x) стоит Кх, то должна быть устойчива и нелинейная система. Но для проверки устойчивости линейной системы можно использовать обычные критерии устойчивости, например, частотные.

Именно частотный подход используется в критерии Попова.

Критерий Попова дает критерий абсолютной устойчивости в целом и формулировка его подобна критерию устойчивости Найквиста.

Пусть линейная часть задана передаточной функцией W(p), нелинейная часть находится в секторе k. Пусть можно найти такое число q, что выполняется следующее частотное неравенство:

Re [1 + jq ]W ( j ) + > 0 (16.2) k Тогда система является абсолютно устойчивой в целом и, кроме того: x(t) 0 при t.

Частотное неравенство (16.2) имеет геометрическую интерпретацию подобную критерию Найквиста. Раскроем выражение (16.2):

Re{(1+ jq)(ReW + j ImW )}= Re(ReW + jq ReW + j ImW - q ImW ) = ReW - q ImW То есть (16.2) фактически означает: ReW - q ImW + > 0 (16.3) k Если ввести модифицированный годограф:

~ W ( j) = ReW ( j) + j ImW ( j), (16.4) то частотное неравенство для модифицированного годографа получает вид:

~( 1 ~( ReW j) + > q ImW j) (16.5) k В самом деле, условие (16.5) просто означает, что модифицированный годограф должен находиться правее прямой, проходящей через точку (-1/к ; j0) с угловым коэффициентом q.

(ReW;ImW ) на комплексной плоскости с координатами.

С другой стороны, выберем в качестве "нелинейности" границу сектора: F(x)=кx. Такая нелинейность входит в рассматриваемый класс, но при её наличии система линейна, и для неё, как для линейной, можно использовать необходимое и достаточное условие Найквиста. Это в данном случае означает, что обычная АФЧХ линейной части не должна "охватывать" точку -1/к. (т.к.

W(j)• К не должна "охватывать" точку -1.) • Следовательно, необходимым условием, дополнительным к критерию Попова, будет условие, чтобы обычный (немодифицированный) годограф линейной части не пересекал вещественную ось левее точки -1/к.

• Отметим, что условие Попова - лишь достаточное, поэтому критерий позволяет отсеять неустойчивые системы.

На самом деле, возможны три характерных случая. Рассмотрим пример, в котором нелинейность заключена в секторе с К=1. Тогда для устойчивости прямая в критерии Попова должна проходить через точку -1 с некоторым наклоном наклоном q, и график модифицированного годографа должен быть целиком правее.

Модифицированный Немодифицированный годограф АФЧХ. годограф АФЧХ: W(j).

Прямая Попова с наклон. q Рис.16.3 Устойчивость, Рис.16.4 Неустойчивость, т.к. выполнены доста- т.к. не выполнены необходимые точные условия. условия для немодифициро- ванного годографа W(j).

На рис.16.3 возможно провести через точку -1 прямую так, что годограф целиком оказывается справа. На рис.16.4 годограф немоди-фицированной АФЧХ линейной части пересекает вещественную ось левее точки -1/к = -1.

На рис.16.5 невозможно провести Модифицированный годограф АФЧХ.

прямую через точку -1 так, чтобы годограф оказался целиком правее, но это не значит, что система неустойчива. В этом случае требуется дополнительное исследование другими методами, отличными от критерия Прямая Попова с наклон. q Попова.

Рис.16.5 Ничего нельзя утверждать на основе критерия Попова.

Правило применения критерия Попова 1. На комплексной плоскости строим модифицированный годограф.

2. Отмечаем точку -1/к, определяемую сектором нелинейности.

3. Пытаемся провести через эту точку какую-нибудь прямую с наклоном q так, чтобы годограф оказался правее. Система будет абсолютно устойчивой, если это возможно.

4. Учитываем, что критерий Попова – только достаточное условие.

Итак, необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости не совпадают. Чтобы сблизить необходимое и достаточное условия приходится накладывать более жесткие ограничения на нелинейность. Двигаясь по этому пути, можно получить много обобщений критерия Попова, в частности, при дополнительных ограничениях на нелинейность можно использовать не модифицированный, а обычный годограф АФЧХ. Если нелинейность удовлетворяет такому дополнительному условию:

F(x1) - F(x2) то есть, скорость возрастания нелинейности огра0 k x1 - xничена в каждой точке величиной к, то в этом случае вместо модифицированного годографа можно использовать обычный (критерий Чо-Нареандры).

Подобных обобщений проделано великое множество, упомянем лишь одно, по-видимому, важнейшее. Это - так называемый круговой критерий, который позволяет исследовать устойчивость при нелинейностях в более сложном секторе и, кроме того, нестационарных.

Имеются также обобщения критерия Попова на случаи других свойств линейной части, например, при наличии интеграторов.

В заключение заметим, что метод гармонической линеаризации, понятие абсолютной устойчивости и методы её исследования а также методы исследования фазовой плоскости дают поистине мощнейший инструментарий анализа и синтеза сложных нелинейных систем автоматического управления.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. А.А. Алексеев, Д.Х.Имаев, Н.Н. Кузьмин, В.Б. Яковлев Теория управления. СПбГ:, Издательство "ЛЭТИ" 1999, 434с.

2. Р.Дорф, Р.Бишоп. Современные системы управления.

М:,Юнимедиастайл 2002, 822с.

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.