WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |

X (a, x) Y (a, x) Y (a, x) X (a, x) - 4c = (1- 3T *2 ) = > 0, - a=a*, a=a*, a a (a*)2 cT =* =* то есть, необходимое условие устойчивости выполнено.

Конкретный вид автоколебаний исследуется другими методами - решением соответствующих нелинейных дифференциальных уравнений или моделированием на цифровой модели. При этом исследуются и достаточные условия наличия и устойчивости автоколебаний.

Ниже приведён график переходных процессов в системе при зад= и параметрах системы: Т=0.3с.; С=1.

X(t) Переходные процессы в релейной следящей системе t Рис. 10.Отчётливо наблюдается устойчивые колебания при различных начальных условиях. Амплитуда этих колебаний около 0.2, период колебаний примерно равен 1.9с., что хорошо совпадает с результатами расчётов.

Обращает на себя внимание тот факт, что амплитуда и форма установившегося колебания не зависит от начальных условий и является неотъемлемой частью переходного процесса в такой системе с реле. Выбором параметров (в том числе, самого реле) можно повлиять на амплитуду и период колебаний.

В следующем примере попытаемся оценить точность, типичную для метода гармонической линеаризации.

Пример 2. Генератор треугольных колебаний.

Рассмотрим схему, состоящую из компаратора с гистерезисом (электронный аналог реле с гистерезисом) и интегратора. Покажем, что в такой схеме возникают треугольные колебания на выходе интегратора и вычислим их амплитуду и частоту методом гармонической линеаризации.Ширина петли гистерезиса - b, x(t) -b - амплитуда пере- -1 b p ключения - 1.

Интегратор - c ин- Рис. 10.версией знака. Построим вполне очевидный график выходного сигнала х(t), предполагая, что начальное состояние интегратора равно 0 и начальное состояние реле равно (-1).

x(t) b первая гармоника 0.81b Понятно, что период ко- лебания Т = 4b, то есть точное* 1.57/b.

-0.81b b 2b 3b 4b Амплитуда колебаний a* = b.

-b Рис. 10.Вычислим * и а* методом гармонической линеаризации (10.2).

Следует проверить, выполняется ли гипотеза фильтра.

Очевидно, что частотная характеристика линейной части имеет слишком пологий вид с наклоном -20дб./дек. = -6дб./окт., поэтому надеяться, что результаты расчёта будут иметь очень высокую точность, не приходится. Тем не менее, продолжим:

4 b2 4b Q(j)= 0; P(j)= 1/; q(a) = 1- ; q'(a) = - ;

a a2 a4 b2 4b Подставим в (22): - ( j /*)( 1- - j ) = -a * a *2 a *Выделяя вещественную и мнимую части имеем: а* = b;

*= 4/(b)1.27/b. Сравнивая с точным значением: *0.81точное*.

Таким образом, методом гармонической линеаризации совершенно точно определена амплитуда автоколебания, а при определении частоты имеется погрешность порядка 20%. Сравним эту погрешность с погрешностью, полученной при отбрасывании старших гармоник в треугольном колебании. Для этого достаточно в нашем случае сравнить амплитуду 1 гармоники с амплитудой всего колебания. Коэффициент Фурье bк для треугольного колебания имеет величину (см. справ.) bк =2b(Sin(k/2))2/((k/2))2.

Откуда получаем, что амплитуда первой гармоники b1 0.81, что хорошо согласуется с полученной погрешностью вычислений.

• Лекция 11.

Фазовое пространство и фазовая плоскость нелинейной системы Понятие "фазовое пространство" связано с процедурой перехода от нелинейных дифференциальных уравнений высокого порядка n к системе из n нелинейных дифференциальных уравнений1-го порядка.

(n) (m) (n) F(Y,K,Y,U,K,U ) = 0, где Y – n-я производная, F() – нелинейная (n) (n-1) функция, Y = (Y K) – нелинейное дифференциальное уравнение k-го порядка относительно Y. Фазовое пространство нелинейной системы – это многомерное x Y (t) = x1(t) векторное пространство, точки x x которого имеют координаты:

x1(t) = x2(t) x = & M x (t) = x3(t) Фазовое пространство полностью & xn иллюстрирует решение данного KKKKK дифференциального уравнения.

xn (t) = (xn-1(t), xn-2(t),K) & Эффективность этого понятия наиболее видна в двухмерном фазовом пространстве.

Это хорошо согласуется со следующим, принятым в автоматике рассуждением: "Всякий переходный процесс может в первом приближении быть представлен в виде системы не сложнее 3-го порядка; система 2-го порядка описывает колебательность с затуханием и добавление 3-го порядка (в случае необходимости) усложняет процесс затухания". То есть часто бывает достаточно 2-го порядка.

В случае когда фазовое пространство двухмерно, а этот случай часто встречается на практике, использование этого пространства становится очень наглядным и используется в двух видах:

– обычное фазовое пространство, – расширеное фазовое пространство, когда добавляют координату t.

Обычное фазовое пространство:

Если правая часть дифференциального уравнения является дифференцируемой функцией и может быть разложена в ряд Тейлора, исследование фазового портрета (совокупности фазовых траекторий) на фазовой плоскости упрощается. Вид фазового портрета определяется наличием и типом особых точек.

&& & x = f (x, x), где f(…,…) – разложение в ряд Тейлора.

x(0) = x введём обозначение : x1 = x, и далее :

x(0) = x0 н.у.

& & x1 = x & & x = f (x1, x2 ) н.у.: x1(0) = x0; x2 (0) = x0.

& В более общем случае имеется система:

& x1 = 1(x1, x2 ) (11.1) & = 2 (x1, x2 ) xОсобой точкой системы (1) называется точка ее покоя:

& x1 = – точка покоя, «особая точка» (11.2) & = xФазовые траектории могут пересекаться только в особых точках. Вне особых точек фазовые траектории устроены просто и через каждую точку проходит единственная фазовая траектория, т.е. в окрестности неособой точки ничего интересного нет - множество практически параллельных траекторий. Чем меньше рассматриваемая окрестность точки, тем больше ход фазовых траекторий похож на расслоение Окрестность неособой точки параллельными линиями. Конечно, при увеличении окрестности выясняется, что все эти линии оказываются не прямыми, а изогнутыми, как множество меридианов на географической карте.

Если найдены все особые точки изображения на фазовой плоскости, и для каждой из этих точек определено, как именно в ней пересекаются траектории, после этого фазовые траектории достраиваются почти автоматически.

Тип особой точки определяется линеаризацией правой части уравнений в окрестности особой точки.

* * Пусть у нас (x1, x2 ) – особая точка, * * (x1, x2 ) = (11.3) * * (x1, x2 ) = Линеаризуем уравнение (11.1) в окрестности этой точки:

1 & x1 x1 * x1 x2 - x = * 0 + 2 2 x2 - x2 + 0(...) & x * x1 x2 & x1=x * & x2 =xПерейдя к уравнениям в отклонениях, получаем:

& x = Ax (11.4) A = x1 x=x* Т.к. замена базиса лишь поворачивает плоскость и изменяет масштаб вдоль осей, то замена базиса не меняет качественно картину особой точки. Удачным выбором базиса можно легко исследовать тип особой точки. Выберем базис таким образом, чтобы матрица привелась к диагональной форме (не только в двухмерном, но и в общем случае):

z =T-1ATz & Заменим базис: x = Tz; x = Tz x = Ax, тогда Tz = Ax = ATz ;

& & & & 1 0 K K 0 O K K M - В базисе собственных векторов приводим T AT = M K i K M матрицу к диагональному виду.

M K K O 0 K K 0 n Если матрица не обладает базисом собственных векторов, то вместо диагональной формы будет форма Жордана; построения несколько усложняются, мы, однако, ограничимся диагональным случаем.

Вернёмся теперь к двухмерному случаю. Уравнение в новом базисе получаем такого вида:

1 z =, Замечание: собственные векторы матрицы A задают & 0 2 z направление осей z1… zn.

Метод построения фазовых траекторий Можно построить фазовые траектории двумя способами:

1. Параметрическое задание фазовой траектории;

Решаем систему, находим z1(t), z2(t). Из начальной точки строим параметрическую кривую.

2. Нахождение прямой зависимости z2(z1) или, наоборот, z1(z2).

Второй способ проще, т.к. порядок системы дифференциальных уравнений уменьшается на единицу, и получающееся уравнение первого порядка можно легко исследовать, часто и решить явно.

Применим второй метод к нашей системе из двух уравнений:

dx = 1(x1, x2 ) dt (11.5) dx = 2 (x1, x2 ) dt Разделим 2-ое уравнение на 1-ое:

dx1 1(x1, x2 ) = Это- нелинейное уравнение 1-го (!) порядка. (11.6) dx2 2 (x1, x2 ) Теперь этот способ применим к результату линеаризации в окрестности особой точки:

z1 = 1z & dz2 2 z= далее решаем, разделяя переменные:

z = 2zdz1 1 z& dz2 2 dz= ; z2 = C | z1 |, C - произвольная постоянная z2 1 zДальнейшее зависит от того, какие значения принимают 1, 2.

• Лекция 12.

Прием определения направления стрелок.

Если нужно определить направление стрелки в любой точке фазовой плоскости (то есть определить направление движения по фазовой траектории), то берется исходное уравнение и в правую часть подставляется искомая точка.

В правой части получаются числа, которые являются производными.

Если производная положительна, то соответствующая переменная возрастает со временем, если отрицательна, то убывает.

Рассмотим возможные случаи.

1. Если 1, 2 - вещественные, то такая особая точка называется узлом.

1.а) 1, 2 – вещественные, причем 1<0, 2<рис. 12.1. Получаем устойчивый узел.

Вдоль всех траекторий движение происходит в сторону начала координат.

XXРис.12.1 Получаем устойчивый узел.

1.b) 1, 2 – вещественные, причем 1>0, 2>XXРис. 12.2 Получаем неустойчивый узел.

Вдоль всех траекторий движение происходит от начала координат.

2. 1, 2 – вещественные, причем 1>0, 2

3. 1, 2 –чисто мнимые 1= j, 2= – j z = z & 1 z = - z & 2 Поделим второе уравнение на первое.

dz2 z= - dz1 zПроинтегрируем по частям.

z2dz2 = - z1dz Учтём произвольную постоянную, зависящую от начальных условий.

2 2 z2 z= - + C Это, очевидно, есть семейство эллипсов.

2 2 2 z2 + z1 = RXXРис. 12.4. Эта точка называется центром.

Движение вдоль фазовых траекторий происходит по часовой стрелке.

4. 1, 2 – комплексно сопряженные корни, 1 = a + j, 2 = a - j 4.1. a<0. Вещественные части корней отрицательны.

XXРис. 12.5. Этот фазовый портрет называется устойчивым фокусом.

Траектории "сворачиваются" к началу координат.

4.2. a>0. Вещественные части корней положительны.

XXРис. 12.6. Этот фазовый портрет называется неустойчивым фокусом.

Траектории "разбегаются" от начала координат.

• Лекция 13.

Пример построения фазового портрета с бесконечным числом особых точек. Реальный маятник без затухания.

Приведём в качестве примера построение фазового портрета реального маятника без затухания. Известны уравнения идеального (математического) и реального маятника без затухания. Очевидно, при малых перемещениях: x Sin(x), и поэтому их решения близки.

Но при немалых х отклонения в поведении значительны.

x = && -x - уравнение математического маятника;

- уравнение реального маятника.

x = && -sin x Перейдём к фазовой плоскости для реального маятника.

& x1 = x2 = 1(x1, x2 ) & -sin x1 = 2 (x1, x2 ) = x* x1 = уравнение особых точек * x2 = 1(x1, x2 ) = 0 x2 2 (x1, x2 ) = 0 sin x1 = x1 = k Этот фазовый портрет построен на компьютере. Выясним характер особых точек, их здесь, очевидно, бесконечное число.

Рис. 13.1. Фазовый портрет маятника без затухания. Вдоль оси Хкартинка периодична с периодом 2.

Произведем линеаризацию в окрестности каждой точки (x*11= 0+2k) и (x*12 = +2k).

1) x* = x* = 0 :

1 1 0 1 0 x1 x = A = = * 2 - cos x1 0 x1 =0 -1 * x2 =x1 x* * x1,x2 =1= i, 2= – i, то есть, эта точка - центр.

2) x* =, x* = 0;

1 1 0 x1 x A = = 1 2 x1 x2 * x1 = * x2 =1= 1, 2= – 1, то есть, эта точка - седло.

Очевидно, что далее картина повторяется периодически вдоль оси X1.

Линии переключения на фазовой плоскости Если правая часть дифференциального уравнения не дифференцируемая функция (релейная система), то особые точки могут сливаться в целые линии – линии переключения, и по разные стороны от них нелинейный элемент НЭ системы переключается в разные состояния.

НЭ ЛЧ зад= 0 e(t) (t) -b -1 b (p+1)p (-) Рис. 13.2 Нелинейная следящая система с гистерезисом.

Обозначим X1(t)= (t) и перейдём к системе из двух уравнений в фазовом пространстве:

x1 = x & = & -x2 - F(x1) xОсновная идея: там, где нелинейный элемент находится в одном из своих устойчивых состояний, дифференциальное уравнение сильно упрощается и его надо решить отдельно в каждой из этих областей и на границе линии переключения.

x1 b или 1) Область N1: F(x)=+1 при условии: b x1 < b система x < x1 = x& упрощается: = & -x2 -1 ; уравнение фазовых тракторий:

xЭто уравнение можно явно проинтегрировать:

dx2 - x2 -= ;

Ниже приведён фазовый портрет системы.

dx1 xТолстой линией показана линия переключения на x2 - ln(x2 -1) = x1 + C;

фазовой плоскости. Правее этой линии реле находится в состоянии +1, левее - в состоянии -1.

2) Область N2: F(x)=-1 в остальной части плоскости.

Линия переключения Предельный цикл Область F(x) = Область F(x)= -Рис. 13.3. Фазовый портрет следящей системы с гистерезисом.

Видим, что на фазовой плоскости имеется устойчивый предельный цикл - колебательный процесс, к которому стягиваются близкие траектории. Этот предельный цикл является предельным колебательным процессом, который устанавливается в системе.

• Лекция 14.

Чтобы оценить время движения по траектории поступают очень просто. Выбирают начальные условия. Решают уравнение до момента попадания в точку t*на линии переключения. Рассмотрим состояние в момент t* как начальное условие для движения в следующей области.

Переходим в другую область. Используя уравнения для этой области, находим t**- время перехода в следующую область и так далее.

Решение по областям и сопряжение граничных условий называется методом припасовывания.

Заметим, кстати, что в Примерах 1 и 2 Лекции 10 также имеются устойчивые предельные циклы на фазовой плоскости. Особенно интересен здесь Пример 1, в котором фазовое пространство трехмерно, поэтому предельный цикл будет в трехмерном пространстве, но мы можем рассмотреть его проекцию на фазовую плоскость.

X(t) t XПроекция цикла XX Истинный X2 Xпредельный цикл Рис. 14.1 Фазовый портрет системы из Примера 1 Лекции 10 и трёхмерное фазовое пространство этой системы.

Наряду с предельными циклами, в нелинейных системах имеются так называемые скользящие режимы, при которых возможно существенно увеличить быстродействие в следящей системе.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.